高中数学人教版必修第一册期末章节复习：第5单元《三角函数》(巩固篇）（解析版）

第5单元三角函数（巩固篇）基础知识讲解一．运用诱导公式化简求值【基础知识】利用诱导公式化简求值的思路1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．二．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RRk∈Z值域[﹣1，1][﹣1，1]R 单调性递增区间：（2kπ﹣，2kπ+）（k∈Z）；递减区间：（2kπ+，2kπ+）（k∈Z）递增区间：（2kπ﹣π，2kπ）（k∈Z）；递减区间：（2kπ，2kπ+π）（k∈Z）递增区间：（kπ﹣，kπ+）（k∈Z）最　值x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ﹣（k∈Z）时，ymin＝﹣1x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ+π（k∈Z）时，ymin＝﹣1无最值奇偶性奇函数偶函数奇函数对称性对称中心：（kπ，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ+，k∈Z对称中心：（kπ+，0）（k∈Z）对称轴：x＝kπ，k∈Z对称中心：（，0）（k∈Z）无对称轴周期2π2ππ三．同角三角函数间的基本关系【基础知识】1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． （2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）sin2α＝2sin_αcos_α；（2）cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）tan2α＝． 【技巧方法】诱导公式记忆口诀：对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．四．两角和与差的三角函数【基础知识】（1）cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）tan（α+β）＝．（6）tan（α﹣β）＝．五．二倍角的三角函数【基础知识】二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα•cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α＝．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可． 六．半角的三角函数【基础知识】半角的三角函数关系主要是指正切函数与正余弦函数之间的关系（正余弦的半角关系其实就是二倍角关系），其公式为：①tan＝＝＝；②tan＝＝＝．七．三角函数的积化和差公式【基础知识】三角函数的积化和差公式：（1）sinαsinβ＝[cos（α﹣β）﹣cos（α+β）]cosαcosβ＝[cos（α﹣β）+cos（α+β）]（2）sinαcosβ＝[sin（α+β）+sin（α﹣β）]cosαsinβ＝[sin（α+β）﹣sin（α﹣β）]（3）tanαtanβ＝tanαcotβ＝．八．三角函数的和差化积公式【基础知识】三角函数的和差化积公式： （1）sinα+sinβ＝2sincossinα﹣sinβ＝2cossin（2）cosα+cosβ＝2coscoscosα﹣cosβ＝﹣2sinsin（3）cosα+sinα＝sin（+α）＝cos（）cosα﹣sinα＝cos（+α）＝sin（﹣α）习题演练一．选择题（共12小题）1．sin600°＋tan240°的值等于（）A．－B．C．－＋D．＋【答案】B【解析】sin600°＝sin(360°＋240°)＝sin240°＝sin(180°＋60°)＝－sin60°＝－，tan240°＝tan(180°＋60°)＝tan60°＝，则sin600°＋tan240°＝.故选：B. 2．函数y=sin2x的图象可能是A．B．C．D．【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C，选D.3．定义运算，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由定义运算知，即，又，又，，．4．下列函数中，既是奇函数又在区间上是增函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项，的定义域为，故A不满足题意；D选项，余弦函数是偶函数，故D不满足题意；B选项，正切函数是奇函数，且在上单调递增，故在区间是增函数，即B正确；C选项，正弦函数是奇函数，且在上单调递增，所以在区间是增函数；因此是奇函数，且在上单调递减，故C不满足题意.故选：B.5．函数ƒ(x)＝sinxcosx＋cos2x的最小正周期和振幅分别是（）A．π，1B．π，2C．2π，1D．2π，2 【答案】A【解析】ƒ(x)＝sin2x＋cos2x＝sin，所以振幅为1，最小正周期为T＝＝＝π，故选：A．6．设，则的大小关系为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】以为圆心作单位圆，与轴正半轴交于点，作交单位圆第一象限于点，做轴，作轴交的延长线于点，如下图所示：由三角函数线的定义知，，，，因为，∴ ∴故选：C7．若，，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，因为，，所以，，因为，，所以，，则．故选：C8．已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度8C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度 【答案】B【解析】因为要得到函数x的图象，只需将f（x）＝sin2x图象向右平移个单位即可，故选：B．9．函数，的最小正周期为（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】解：，，，则函数的最小正周期为．故选：．10．关于函数，，，且在上单调，有下列命题： （1）的图象向右平移个单位后关于轴对称（2）（3）的图象关于点对称（4）在上单调递增其中正确的命题有（）个A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】，或或或或因为在上单调，所以因此或，（验证舍去）或 的图象向右平移个单位得，不关于轴对称，（1）错；，（2）对；，（3）错；当时，，所以在上单调递增，（4）对；故选：B11．函数，的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：函数，则函数是奇函数，排除D， 当时，，则，排除B，C，故选：A．12．已知函数的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为和，图象在y轴上的截距为，给出下列四个结论：①的最小正周期为；②的最大值为2；③；④为奇函数．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【答案】D【解析】由图象，得函数的最小正周期，①正确．，即，又，所以，结合，得，即，又，所以，即， 所以函数的最大值为2，②正确．又，所以③正确．,为奇函数，所以④正确．故选D．一．填空题（共6小题）13．________.【答案】【解析】∵，，∴故答案为14．将函数y=的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.【答案】【解析】 当时故答案为：15．已知，则______．【答案】【解析】因为，则．16．已知，，且，则的值等于__________.【答案】【解析】由于，所以，，由于，，.17．函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论正确的是______. ①的一个周期为；②的图象关于对称；③是的一个零点；④在单调递减；【答案】①②③【解析】解：函数的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，，的一个周期为，故①正确；的对称轴满足：，，当时，的图象关于对称，故②正确；由，得，是的一个零点，故③正确；当时，，在上单调递增，故④错误．故答案为：①②③．18．已知函数，点是直线与函数 的图象自左至右的某三个相邻交点，若，则_____【答案】3【解析】作出示意图如图所示：由，则，则，故的周期，得，即，且，可得，且，得,则，得，则.故答案为：3三．解析题（共6小题）19．若函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，且当时，取得最小值.（1）求的解析式；（2）若，求的值域. 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题意，函数的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为，可得的周期，即，解得，又因为当时，取得最小值，所以，所以，解得，因为，所以，所以.（2）因为，可得，所以当时，取得最小值，当时，取得最大值，所以函数的值域是.20．设.（1）若，求函数的零点； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的零点是或；（2）．【解析】（1）由，令，则，即或，，解得或，∴的零点是或.（2）由可得，所以，（1）当时，易得，由恒成立可得，，即，解得，（2）当时，可得，由恒成立可得 ，即，解得，综上可得，的取值范围是．21．已知函数.（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）若在区间上的最大值为，求的最小值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ），所以的最小正周期为.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.因为，所以.要使得在上的最大值为，即在上的最大值为1. 所以，即.所以的最小值为.22．已知函数.（Ⅰ）化简；（Ⅱ）若，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1），∴∴（2）由，知：，即又，所以23．已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式．（2）写出的递增区间．【答案】（1）；（2），．【解析】解：（1）易知，，∴，∴，将点代入得，，，∴，，∵，∴，∴； （2）由，，解得，，∴的递增区间为，．24．已知函数，.（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值.【答案】（1）；单调递增区间为；（2）最大值为，；最小值为，.【解析】（1），所以，该函数的最小正周期为.解不等式，得.因此，函数最小正周期为，单调递增区间为；（2），.当时，即当时，函数取得最大值，即；当时，即当时，函数取得最小值，即 .