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模块质量评估（B 卷）
(第一至第四章)
(120 分钟 150 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四
个选项中,只有一项符合题目要求)
1.若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为 3,4,5,则该长方体的外
接球表面积为 ( )
A.50π B.100π C.150π D.200π
2.已知直线 l 过点 P( ,1),圆 C:x2+y2=4,则直线 l 与圆 C 的位置关系
是 ( )
A.相交 B.相切
C.相交或相切 D.相离
3.一几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )A.200+9π B.200+18π
C.140+9π D.140+18π
4.已知直线 l1 经过两点(-1,-2),(-1,4),直线 l2 经过两点(2,1),(x,6),
且 l1∥l2,则 x= ( )
A.2 B.-2 C.4 D.1
5.(2016·潍坊高一检测)直线 x+ky=0,2x+3y+8=0 和 x-y-1=0 交于一点,
则 k 的值是 ( )
A. B.- C.2 D.-2
6.(2016·郑州高一检测)圆:x 2+y2-4x+6y=0 和圆:x2+y2-6x=0 交于 A,B
两点,则 AB 的垂直平分线的方程是 ( )
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
7.已知过点 P(2,2)的直线与圆(x-1)2+y2=5 相切,且与直线 ax-y+1=0 垂
直,则 a= ( )
A.- B.1 C.2 D.
8.设球的体积为 V1,它的内接正方体的体积为 V2,下列说法中最合适的
是
( )
A.V1 比 V2 大约多一半
B.V1 比 V2 大约多两倍半
C.V1 比 V2 大约多一倍
D.V1 比 V2 大约多一倍半
9.如图,在四面体 ABCD 中,E,F 分别是 AC 与 BD 的中点,若 CD=2AB=4,EF
⊥BA,则 EF 与 CD 所成的角为 ( )
A.90° B.45° C.60° D.30°
10.设α,β为不重合的平面,m,n 为不重合的直线,则下列命题正确的是
( )
A.若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,则 m⊥α
B.若 m⊂α,n⊂β,m∥n,则α∥βC.若 m∥α,n∥β,m⊥n,则α⊥β
D.若 n⊥α,n⊥β,m⊥β,则 m⊥α
11.(2015·全国卷Ⅱ)已知三点 A(1,0),B(0, ),C(2, ),则△ABC 外
接圆的圆心到原点的距离为 ( )
A. B. C. D.
12.(2016·聊城高一检测)过点(3,1)作圆(x-1) 2+y2=1 的两条切线,切
点分别为 A,B,则直线 AB 的方程为( )
A.2x+y-3=0 B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0 D.4x+y-3=0
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中
的横线上)
13.圆 x2+(y+1)2=3 绕直线 kx-y-1=0 旋转一周所得的几何体的表面积
为 .
14.设 a,b,c 是空间的三条直线,下面给出四个命题:
①若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c;
②若 a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 也是异面直线;
③若 a 和 b 相交,b 和 c 相交,则 a 和 c 也相交;
④若 a 和 b 共面,b 和 c 共面,则 a 和 c 也共面.
其中真命题的个数是 .
15.(2016·大庆高一检测)如图,将边长为 1 的正方形 ABCD 沿对角线 AC折起,使得平面 ADC⊥平面 ABC,在折起后形成的三棱锥 D-ABC 中,给出
下列三种说法:
①△DBC 是等边三角形;②AC⊥BD;③三棱锥 D-ABC 的体积是 .
其中正确的序号是 (写出所有正确说法的序号).
16.(2016 · 杭 州 高 一 检 测 ) 已 知 直 线 l 经 过 点 P(-4,-3), 且 被 圆
(x+1)2+(y+2)2=25 截得的弦长为 8,则直线 l 的方程是 .
三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答时写出必要的文字说明、
证明过程或演算步骤)
17.(10 分)有一块扇形铁皮 OAB,∠AOB=60°,OA=72cm,要剪下来一个扇
环形 ABCD,作圆台容器的侧面,并且在余下的扇形 OCD 内能剪下一块与
其相切的圆形使它恰好作圆台容器的下底面(大底面).试求:
(1)AD 应取多长?
(2)容器的容积为多大?18.(12 分)(2016·兰州高一检测)已知△ABC 的顶点 A 为(3,-1),AB 边
上的中线所在直线方程为 6x+10y-59=0,∠B 的平分线所在直线方程为
x-4y+10=0,求 BC 边所在直线的方程.
19.(12 分)(2015·郑州高一检测)已知圆的半径为 ,圆心在直线
y=2x 上,圆被直线 x-y=0 截得的弦长为 4 ,求圆的方程.
20.(12 分)(2016·北京高一检测)某几何体的三视图如图所示,P 是正
方形 ABCD 对角线的交点,G 是 PB 的中点.(1)根据三视图,画出该几何体的直观图.
(2)在直观图中,①证明:PD∥平面 AGC;
②证明:平面 PBD⊥平面 AGC.21.(12 分)如图,四棱锥 P-ABCD 的底面为正方形,侧面 PAD⊥底面
ABCD,PA⊥AD,E,F,H 分别为 AB,PC,BC 的中点.
(1)求证:EF∥平面 PAD.
(2)求证:平面 PAH⊥平面 DEF.
22.(12 分)(2016·长春高一检测)已知点(0,1),(3+2 ,0),(3-2 ,0)
在圆 C 上.
(1)求圆 C 的方程.(2)若圆 C 与直线 x-y+a=0 交于 A,B 两点,且 OA⊥OB,求 a 的值.答案解析
1.A 设该长方体的外接球半径为 R,
则 4R2=32+42+52,即 R= ,故 S 球=4πR2=50π.
2.C 因为直线 l 过点 P( ,1),而点 P 在圆 C:x2+y2=4 上,故直线 l 和圆
相交或相切.
3.A 由三视图可知该几何体上面是一个半圆柱,下面是一个长方体,因
此该几何体的体积为 V=·π·32×2+10×4×5=200+9π.
【补偿训练】(2014·辽宁高考)某几何体的三视图如图所示,则该几何
体的体积为 ( )
A.8-2π B.8-π
C.8- D.8-
【解题指南】结合三视图的特点可知,该几何体是由一个正方体在相对
的两个角上各割去四分之一个圆柱后剩下的.
B 截得该几何体的原正方体的体积为 2×2×2=8;截去的圆柱(部分)底
面半径为 1,母线长为 2,截去的两部分体积为(π×12×2)×2=π,故该
几何体的体积为 8-π.4.A 因为直线 l1 经过两点(-1,-2),(-1,4),所以直线 l1 的倾斜角为 .
而 l1∥l2,所以,直线 l2 的倾斜角也为 ,又直线 l2 经过两点(2,1),(x,6),
所以,x=2.
5.【解题指南】将直线 2x+3y+8=0 与 x-y-1=0 的交点坐标代入直线
x+ky=0,即可求出 k 的值.
B 解方程组 得 则点(-1,-2)在直线 x+ky=0 上,
得 k=-.
6.C AB 的垂直平分线即是两圆连心线所在的直线,两圆的圆心为
(2,-3),(3,0),则所求直线的方程为 = ,即 3x-y-9=0.
7.【解题指南】根据圆的切线的性质确定切线的斜率,再由两直线垂直
求 a 的值.
C 因为点 P(2,2)为圆(x-1)2+y2=5 上的点,由圆的切线性质可知,圆心
(1,0)与点 P(2,2)的连线与过点 P(2,2)的切线垂直.因为圆心(1,0)与
点 P(2,2)的连线的斜率 k=2,故过点 P(2,2)的切线斜率为-,所以直线
ax-y+1=0 的斜率为 2,因此 a=2.
8.D 设正方体的棱长为 a,则正方体的体积为 V2=a3,则球半径为 a,球
体积 V1= πa3,则 V1-V2= πa3-a3= a3≈1.72a3.
9.D 取 BC 的中点 H,连接 EH,FH,则∠EFH 为所求,
可证△EFH 为直角三角形,EH⊥EF,FH=2,EH=1,
从而可得∠EFH=30°.10.D 选项 A 的已知条件中加上 m⊂β,那么命题就是正确的,也就是面
面垂直的性质定理.选项 B 错误,容易知道两个平面内分别有一条直线
平行,那么这两个平面可能相交也可能平行.选项 C 错误,因为两个平面
各有一条与其平行的直线,如果这两条直线垂直,并不能保证这两个平
面垂直.选项 D 正确,由 n⊥α,n⊥β,可得α∥β,又因为 m⊥β,所以 m
⊥α.
11.B 圆心在直线 BC 的垂直平分线即 x=1 上,
设圆心 D(1,b),
由 DA=DB 得|b|= ,解得 b= ,
所以圆心到原点的距离为
d= = .
12.A 根据平面几何知识,直线 AB 一定与点(3,1),(1,0)的连线垂直,
这两点连线的斜率为,故直线 AB 的斜率一定是-2,只有选项 A 中直线的
斜率为-2.
13.【解析】由题意,圆心为(0,-1),又直线 kx-y-1=0 恒过点(0,-1),所
以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,
所以 S=4π( )2=12π.答案:12π
14.【解析】因为 a⊥b,b⊥c,
所以 a 与 c 可能相交、平行、异面,故①错.
因为 a,b 异面,b,c 异面,
则 a,c 可能异面、相交、平行,故②错.
由 a,b 相交,b,c 相交,
则 a,c 可能异面、相交、平行,故③错.
同理④错,故真命题个数为 0.
答案:0
15.【解析】取 AC 的中点 E,连接 DE,BE,
则 DE⊥AC,BE⊥AC,且 DE⊥BE.
又 DE=EC=BE,所以 DC=DB=BC,
故△DBC 是等边三角形.
又 AC⊥平面 BDE,
故 AC⊥BD.
又 VD-ABC=S△ABC·DE=××1×1× = ,故③错误.
答案:①②
16.【解析】因为(-4+1)2+(-3+2)2=10
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