专题 17 常用逻辑用语
—2021 高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化
【高频考点及备考策略】
复习备考时明确命题的条件和结论之间的关系，关注逻辑联结词和命题，明确命题的否定和否命题的
区别；掌握必要条件、充分条件与充要条件的概念及应用．
考向预测：常用逻辑用语常与函数、数列、三角函数、不等式、立体几何、解析几何、概率统计等知识结
合在一起考查．
1.命题
用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真.的语句叫做真命题, 判断为假的
语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性;
②两个命题为互逆命题或互否命题时,它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
设集合 A＝{x|x 满足条件 p}，B＝{x|x 满中条件 q}，则有
从逻辑观点看 从集合观点看
必备知识p 是 q 的充分不必要条件(p⇒q，q⇒/ p) A B
p 是 q 的必要不充分条件(q⇒p，p⇒/ q) B A
p 是 q 的充要条件(p⇔q) A＝B
p 是 q 的既不充分也不必要条件(p⇒/ q，q⇒/ p) A 与 B 互不包含
4.简单的逻辑联结词
(1)命题 p∨q，只要 p，q 有一真，即为真；命题 p∧q，只有 p，q 均为真，才为真；¬p 和 p 为真假对立的命
题．
(2)命题 p∨q 的否定是(¬p)∧(¬q)；命题 p∧q 的否定是(¬p)∨(¬q)．
5．全(特)称命题及其否定
(1)全称命题 p：∀x∈M，p(x)．它的否定¬p：∃x0∈M，¬p(x0).
(2)特称命题 p：∃x0∈M，p(x)．它的否定¬p：∀x∈M，¬p(x).
【重要结论】
1.否命题与命题的否定:否命题是既否定条件,又否定结论,而命题的否定是只否定命题的结论.
2.(1)互为逆否命题的两个命题等价,注意转化思想的活用.
(2)A 是 B 的充分不必要条件⇔﹁B 是﹁A 的充分不必要条件.
3.充要关系与集合的子集之间的关系,设 A={x|p(x)},B={x|q(x)}.
(1)若 A⊆B,则 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件.
(2)若 A B,则 p 是 q 的充分不必要条件,q 是 p 的必要不充分条件.
(3)若 A=B,则 p 是 q 的充要条件.
4.逻辑联结词“或”“且”“非”对应集合运算中的“并”“交”“补”,可借助集合运算处理含逻辑联结词的命题.
5.含有逻辑联结词的命题真假判断口诀:p∨q→见真即真,p∧q→见假即假,p 与﹁p→真假相反.
6.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”.
7.“p∨q”的否定是“(﹁p)∧(﹁q)”;“p∧q”的否定是“(﹁p)∨(﹁q)”.【易错警示】混淆命题的否定与否命题：
在求解命题的否定与否命题时，一定要注意命题的否定是只对命题的结论进行否定，而否命题既对命题的
条件进行否定，又对命题的结论进行否定.
1.（2020 新课标Ⅱ卷·理科 T16）同（2020 新课标Ⅱ卷·文科 T16）设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线 l 平面 α，直线 m⊥平面 α，则 m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
① ② ③ ④
【答案】①③④
【解析】对于命题 ，可设 与 相交，这两条直线确定的平面为 ；
若 与 相交，则交点 在平面 内，
同理， 与 的交点 也在平面 内，
所以， ，即 ，命题 为真命题；
对于命题 ，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，命题 为假命题；
对于命题 ，空间中两条直线相交、平行或异面，命题 为假命题；
⊂
1 4p p∧ 1 2p p∧ 2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
1p 1l 2l α
3l 1l A α
3l 2l B α
AB α⊂ 3l α⊂ 1p
2p 2p
3p 3p
真题体验对于命题 ，若直线 平面 ，
则 垂直于平面 内所有直线，
直线 平面 ， 直线 直线 ，命题 为真命题.
综上可知， ， 为真命题， ， 为假命题，
为真命题， 为假命题，
为真命题， 为真命题.
故答案为：①③④.
2、（2020 北京卷·T9）已知 ，则“存在 使得 ”是“ ”的
（ ）．
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】(1)当存在 使得 时，
若 为偶数，则 ；
若 为奇数，则 ；
(2)当 时， 或 ， ，即 或
，
亦即存在 使得 ．
所以，“存 使得 ”是“ ”的充要条件.在
4p m ⊥ α
m α
l ⊂ α ∴ m ⊥ l 4p
1 4p p∧ 1 2p p∧
2 3p p¬ ∨ 3 4p p¬ ∨ ¬
, Rα β ∈ k Z∈ ( 1)kkα π β= + − sin sinα β=
k Z∈ ( 1)kkα π β= + −
k ( )sin sin sinkα π β β= + =
k ( ) ( ) ( )sin sin sin 1 sin sink kα π β π π β π β β= − = − + − = − =
sin sinα β= 2mα β π= + 2mα β π π+ = + m Z∈ ( ) ( )1 2kk k mα π β= + − =
( ) ( )1 2 1kk k mα π β= + − = +
k Z∈ ( 1)kkα π β= + −
k Z∈ ( 1)kkα π β= + − sin sinα β=故选：C.
【点睛】本题主要考查充分条件，必要条件的定义的应用，诱导公式的应用，涉及分类讨论思想的应用，
属于基础题.
3、（2020 天津卷·T3）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】求解二次不等式 可得： 或 ，
据此可知： 是 的充分不必要条件.
故选：A.
【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.
4、（2020 浙江卷·T6）已知空间中不过同一点的三条直线 m，n，l，则“m，n，l 在同一平面”是“m，n，l
两两相交”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】依题意 是空间不过同一点的三条直线，
当 在同一平面时，可能 ，故不能得出 两两相交.
当 两两相交时，设 ，根据公理 可知 确定一个平面 ，而
，根据公理 可知，直线 即 ，所以 在同一平面.
综上所述，“ 在同一平面”是“ 两两相交”的必要不充分条件.
故选：B
a ∈ R 1a > 2a a>
2a a> 1a > 0a <
1a > 2a a>
, ,m n l
, ,m n l // //m n l , ,m n l
, ,m n l , ,m n A m l B n l C∩ = ∩ = ∩ = 2 ,m n α
,B m C nα α∈ ⊂ ∈ ⊂ 1 BC l α⊂ , ,m n l
, ,m n l , ,m n l【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查公理 和公理 的运用，属于中档题.
5、【2019 年高考浙江】若 a>0，b>0，则“a+b≤4”是 “ab≤4”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当 时， ，则当 时，有 ，解得 ，充分
性成立；
当 时，满足 ，但此时 ，必要性不成立，
综上所述，“ ”是“ ”的充分不必要条件.
故选 A.
6.【2019 年高考天津理数】设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】由 可得 ，由 可得 ，
易知由 推不出 ，
由 能推出 ，
故 是 的必要而不充分条件，
即“ ”是“ ”的必要而不充分条件.
故选 B.
7.【2019 年高考全国Ⅱ卷理数】设 α，β 为两个平面，则 α∥β 的充要条件是（ ）
A．α 内有无数条直线与 β 平行 B．α 内有两条相交直线与 β 平行
C．α，β 平行于同一条直线 D．α，β 垂直于同一平面
1 2
0, 0a > b > 2a b ab+ ≥ 4a b+ ≤ 2 4ab a b≤ + ≤ 4ab ≤
=1, =4a b 4ab ≤ =5>4a+b
4a b+ ≤ 4ab ≤
x∈R 2 5 0x x− < | 1| 1x − <
2 5 0x x− < 0 5x< < | 1| 1x − < 0 2x< <
0 5x< < 0 2x< <
0 2x< < 0 5x< <
0 5x< < 0 2x< <
2 5 0x x− < | 1| 1x − | | | + |>| - |
| + |2>| - |2 · >0 与 的夹角为锐角，
故“ 与 的夹角为锐角”是“| + |>| |”的充分必要条件.
故选 C.
9.(2018·天津卷，4)设 x∈R，则“|x－1
2 |0；命题 q：若 a>b，则 a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧(¬q)C．(¬p)∧q D．(¬p)∧(¬q)
[解析] ∵x>0，∴x＋1>1，
∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题 p 为真命题，
∴¬p 为假命题．
∵a>b，取 a＝1，b＝－2，而 12＝1，(－2)2＝4，此时 a20.给出下列结论：
高频考点、热点题型强化①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧(¬q)”是假命题；
③命题“(¬p)∨q”是真命题；
④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题．
其中正确的结论是( )
A．②③ B．②④
C．③④ D．①②③
[解析] ∵
5
2 >1，∴命题 p 是假命题．
∵x2＋x＋1＝(x＋1
2)2＋3
4≥3
4>0，
∴命题 q 是真命题，由真值表可以判断“p∧q”为假，“p∧(¬q)”为假，“(¬p)∨q”为真，“(¬p)∨(¬q)”为真，所以只
有②③正确，故选 A．
【备考策略】
(1)一般命题 p 的真假由涉及的相关知识辨别．
(2)四种命题真假的判断依据：一个命题和它的逆否命题同真假，而与它的其他两个命题的真假无关．
(3)形如 p∨q，p∧q，¬p 命题的真假根据真值表判定．
(4)全称命题与特称(存在性)命题真假的判定：
①全称命题：要判定一个全称命题为真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立，要判定
其为假命题时，只需举出一个反例即可；
②特称(存在性)命题：要判定一个特称(存在性)命题为真命题，只要在限定集合 M 中至少能找到一个元素 x0，
使得 p(x0)成立即可，否则，这一特称(存在性)命题就是假命题．
【类比演练】1．设 a，b，c 是非零向量．已知命题 p：若 a·b＝0，b·c＝0，则 a·c＝0；命题 q：若 a∥b，
b∥c，则 a∥c.则下列命题中真命题是( )A．p∨q B．p∧q
C．(¬p)∧(¬q) D．p∨(¬q)
[解析] 由题意知命题 p 为假命题，命题 q 为真命题，所以 p∨q 为真命题．故选 A．
2．以下四个命题中，真命题的个数是( )
①“若 a＋b≥2，则 a，b 中至少有一个不小于 1”的逆命题；
②存在正实数 a，b，使得 lg(a＋b)＝lga＋lgb；
③“所有奇数都是素数”的否定是“至少有一个奇数不是素数”；
④在△ABC 中，A
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