2021高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化专题 函数的概念与基本初等函数(附答案与解析)
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资料简介
专题 02 函数的概念与基本初等函数 —2021 高考数学(理)高频考点、热点题型归类强化 【高频考点及备考策略】 (1)深刻理解函数、分段函数及函数的单调性、奇偶性、最值、周期性等概念. (2)掌握各种基本初等函数的定义、图象和性质,以及幂和对数的运算性质. (3)掌握函数图象的作法、变换法则及利用图象解决函数性质、方程、不等式问题的方法. (4)掌握利用函数性质比较大小、求值、求参数范围等问题的方法. (5)加强对函数零点的理解,掌握函数的零点与方程根的关系.掌握研究函数零点、方程解的问题的方 法. 考向预测: 预测 2021 年命题热点为: (1)求函数定义域及与分段函数有关的求值、求范围等问题. (2)给出函数解析式选图象及利用图象解决交点个数、方程的解、不等式等问题. (3)利用函数的性质求值,求参数取值范围、比较大小等问题. (4)函数的零点、方程的根和两函数图象交点之间的等价转化问题.将实际背景常规化,最后归为二次 函数、高次式、分式及分段函数或指数式、对数式函数为目标函数的应用问题. 1.指数与对数式的七个运算公式 (1)am·an=am+n,am÷an=am-n. (2)(am)n=amn. (3)loga(MN)=logaM+logaN(a>0 且 a≠1,M>0,N>0). 必备知识(4)loga M N=logaM-logaN(a>0 且 a≠1,M>0,N>0). (5)logaMn=nlogaM(a>0 且 a≠1,M>0). (6)alogaN=N(a>0 且 a≠1,N>0). (7)logaN=logbN logba(a>0 且 a≠1,b>0 且 b≠1,M>0,N>0). 2.单调性定义 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,且 x1 ln | | 0x y− < 2 2 3 3x y x y− −− < − 2 3 2 3x x y y− −− < − ( ) 2 3t tf t −= −为 上的增函数, 为 上的减函数, 为 上的增函数, , , , ,则 A 正确,B 错误; 与 的大小不确定,故 CD 无法确定. 故选:A. 【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题,解题关键是能够通过构造函数的方式,利用函数的单调性得 到 的大小关系,考查了转化与化归的数学思想. 3、(2020 新课标Ⅲ卷·理科 T12)已知 55所以不等式 的解集为: . 故选:D. 【点睛】本题考查了图象法解不等式,属于基础题. 11、(2020 天津卷·T3)函数 的图象大致为( ) A B. C. D. 【答案】A 【解析】由函数的解析式可得: ,则函数 为奇函数,其图象关于坐标原点 对称,选项 CD 错误; 当 时, ,选项 B 错误. 故选:A. 【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域, 判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称 性.(4)从函数的特征点,排除不合要求的图象.利用上述方法排除、筛选选项. 12、(2020 天津卷·T6)设 ,则 的大小关系为( ) . ( ) 0f x > ( ) ( ),0 1,−∞ ∪ +∞ 2 4 1 xy x = + ( ) ( )2 4 1 xf x f xx −− = = −+ ( )f x 1x = 4 2 01 1y = = >+ 0.8 0.7 0.7 13 , , log 0.83a b c − = = =   , ,a b cA. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 , , , 所以 . 故选:D. 【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题,在解题的过程中,注意应用指数函数和对数 函数的单调性,确定其对应值的范围. 比较指对幂形式的数的大小关系,常用方法: (1)利用指数函数的单调性: ,当 时,函数递增;当 时,函数递减; (2)利用对数函数的单调性: ,当 时,函数递增;当 时,函数递减; (3)借助于中间值,例如:0 或 1 等. 13、(2020 天津卷·T9)已知函数 若函数 恰有 4 个 零点,则 的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D a b c< < b a c< < b c a< < c a b< < 0.73 1a = > 0.8 0.8 0.71 3 33b a − = = > =   0.7 0.7log 0.8 log 0.7 1c = < = 1c a b< < < xy a= 1a > 0 1a< < logay x= 1a > 0 1a< < 3, 0,( ) , 0. x xf x x x = − = =  2y kx= − 2y x= 2 2 0x kx− + = 0∆ = 2 8 0k − = 2 2k = 2 2k > k ( ,0) (2 2, )−∞ +∞ ∈【答案】C 【解析】因为 ,所以 且 ,设 ,则 的零点 为 当 时,则 , ,要使 ,必有 ,且 , 即 ,且 ,所以 ; 当 时,则 , ,要使 ,必有 . 综上一定有 . 故选:C 【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题,考查学生分类讨论思想,是一道中档题. 二、填空题 1、(2020 新课标Ⅲ卷·理科 T16)关于函数 f(x)= 有如下四个命题: ①f(x)的图像关于 y 轴对称. ②f(x)的图像关于原点对称. ③f(x)的图像关于直线 x= 对称. ④f(x)的最小值为 2. 其中所有真命题的序号是__________. 【答案】②③ 【解析】对于命题①, , ,则 , 0ab ≠ 0a ≠ 0b≠ ( ) ( )( )( 2 )f x x a x b x a b= − − − − ( )f x 1 2 3, , 2x a x b x a b= = = + 0a > 2 3x x< 1 > 0x ( ) 0f x ≥ 2a b a+ = 0b < = −b a 0b < 0b < 0a < 2 3x x> 1 0x < ( ) 0f x ≥ 0b < 0b < 1sin sinx x + 2 π 1 526 2 2f π  = + =   1 526 2 2f π − = − − = −   6 6f f π π   − ≠      所以,函数 的图象不关于 轴对称,命题①错误; 对于命题②,函数 的定义域为 ,定义域关于原点对称, , 所以,函数 的图象关于原点对称,命题②正确; 对于命题③, , ,则 , 所以,函数 的图象关于直线 对称,命题③正确; 对于命题④,当 时, ,则 , 命题④错误. 故答案为:②③. 【点睛】本题考查正弦型函数的奇偶性、对称性以及最值的求解,考查推理能力与计算能力,属于中等题. (2020 北京卷·T11)函数 的定义域是____________. 【答案】 【解析】由题意得 , 故答案为: ( )f x y ( )f x { },x x k k Zπ≠ ∈ ( ) ( ) ( ) ( )1 1 1sin sin sinsin sin sinf x x x x f xx x x  − = − + = − − = − + = − −   ( )f x 1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx π π π    − = − + = +         −    1 1sin cos2 2 cossin 2 f x x x xx π π π    + = + + = +         +   2 2f x f x π π   − = +       ( )f x 2x π= 0xπ− < < sin 0x < ( ) 1sin 0 2sinf x x x = + < < 1( ) ln1f x xx = ++ (0, )+∞ 0 1 0 x x >  + ≠ 0x∴ > (0, )+∞【点睛】本题考查函数定义域,考查基本分析求解能力,属基础题. (2020 江苏卷·T7)已知 y=f(x)是奇函数,当 x≥0 时, ,则 f(-8)的值是____. 【答案】 【解析】 ,因为 为奇函数,所以 故答案为: 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值,考查基本分析求解能力,属基础题. 考点一 函数的性质及其应用 【典例】(1)已知偶函数 f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0.若 f(x-1)>0,则 x 的取值范围是 . [解析] (1)∵f(x)是偶函数,∴图象关于 y 轴对称. 又 f(2)=0,且 f(x)在[0,+∞)单调递减, 则 f(x)的大致图象如图所示, 由 f(x-1)>0,得-2

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