2021高三一轮复习数学（理）模拟试卷-各地优质试题重组卷（新课标版）（全国Ⅰ卷）（解析版）

卷 07-2021 高三一轮复习数学模拟试卷（理）-各地优质试题重组卷（新课标版） 全国Ⅰ卷 注意事项： 1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答 题区域内，写在试题卷。草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。（1-11 每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的；12 小题给出的四个选项中，有两个以上项是符合题目要求的。） 1．(本题 5 分)设集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【来源】湖北省武汉市武昌区 2020 届高三下学期六月适应性考试理科数学试题 【答案】C 【解析】 【分析】 先解两个不等式求出两个集合，再求交集即可. 【详解】 解： ， ， 故选：C 【点睛】 ( ){ }3log 8 4A x y x= = − { }2 9B x x= < A B = ( )3,1− ( )2, 2− − ( )3,2− ( )2,1− ( ){ } ( )3log 8 4 ,2A x y x= = − = −∞ { } ( )2 9 3,3B x x= < = − ( )3,2A B = −考查交集的运算以及运算求解能力；基础题. 2．(本题 5 分)已知复数 的实部和虚部相等，且 ，则 = A． B． C． D． 【来源】四川省泸县第一中学 2020 届高三下学期第二次高考适应性考试数学（理）试题 【答案】A 【解析】 由题意，得 ．因为复数 的实部和虚部相等，所以 ，解得 ，所以 ，故选 A． 3．(本题 5 分)“不到长城非好汉，屈指行程二万”，出自毛主席 1935 年 10 月所写的一首词《清平乐·六盘山》， 反映了中华民族的一种精神气魄，一种积极向上的奋斗精神，其中“到长城”是“好汉”的（ ） A．充要条件 B．既不充分也不必要条件 C．充分条件 D．必要条件 【来源】甘肃省兰州市联片办学 2019-2020 学年高二上学期期末数学（理)试题 【答案】D 【解析】 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】 解：设 为不到长城， 为非好汉，即 ， 则 ，即好汉 到长城， 故“到长城”是“好汉”的必要条件， 故选： ． 【点睛】 本题主要考查充分条件和必要条件的应用，结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础 题． 4．(本题 5 分)设 ， 均为单位向量，当 ， 的夹角为 时， 在 方向上的投影为（ ） z ( ) ( )2 3z i bi b R+ = − ∈ z 3 2 2 2 3 2 3 (3 )(2 ) 6 3 2 2 (2 )(2 ) 5 5 bi bi i b bz ii i i − − − − += = = −+ + − z 6 3 2 5 5 b b− += − 9b = − 2 23 3 3 3 3 2z i= + = + = p¬ q¬ p q¬ ⇒ ¬ q p⇒ ⇒ D a e a e 4 π a eA． B． C． D． 【来源】2020 届四川省内江市高三 3 月网络自测数学（文)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 利用向量投影公式，结合向量数量积的运算，求得 在 方向上的投影. 【详解】 在 方向上的投影为 . 故选：C 【点睛】 本小题主要考查向量投影的计算，属于基础题. 5．(本题 5 分)设正项等比数列 的前 n 项和为 ，若 ， ，则公比 （ ） A． B．4 C． D．2 【来源】福建省漳平市第一中学 2019-2020 学年高三上学期第二次月考试题数学（文)试题 【答案】D 【解析】 【分析】 由 得 ，又 ，两式相除即可解出 ． 【详解】 解：由 得 ， 又 ， ∴ ，∴ ，或 ， 又正项等比数列 得 ， ∴ ， 故选：D． 2 2 − 1 2 2 2 3 2 a e a e 2cos 4 2 a e a e π⋅ = ⋅ =     { }na nS 2 3S = 3 4 12a a+ = q = 4± 2± 2 3S = 1 2 3a a+ = 2 3 4 1 2( ) 12a a a a q+ = + = q 2 3S = 1 2 3a a+ = 2 3 4 1 2( ) 12a a a a q+ = + = 2 4q = 2q = − 2q = { }na 0q > 2q =【点睛】 本题主要考查等比数列的性质的应用，属于基础题． 6．(本题 5 分)已知 ，函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【来源】四川省泸县第二中学 2020 届高三下学期第二次高考适应性考试数学（文）试题 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 由题意可得, ， ， ， ．故 A 正确． 考点：三角函数单调性． 7．(本题 5 分)已知 四点均在球 O 的球面上， 是边长为 6 的等边三角形，点 D 在平面 上的射影为 的中心，E 为线段 的中点，若 ，则球 O 的表面积为（ ） A． B． C． D． 【来源】2020 届重庆市高三 5 月调研（二诊)数学（理)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 设 的中心为 G，连接 并延长 交 于 F，则 F 为 中点，连接 、 ，由题意可得 ，进而可得 平面 ，即可得 ， ， 两两垂直，可把原三棱锥的外接球转化 为以 ， ， 为棱的正方体的外接球，即可得解. 【详解】 设 的中心为 G，连接 并延长 交 于 F，则 F 为 中点，连接 、 ， 0>ω ( ) sin( )4f x x πω= + ( , )2 π π ω 1 5[ , ]2 4 1 3[ , ]2 4 1(0, ]2 (0,2] 32 2 ,2 2 4 4 2k k k Z π π π π ππ ω πω π+ ≤ + < + ≤ + ∈ ∴ 1 54 2 ,2 4k k k Zω+ ≤ ≤ + ∈ 0ω > 1 5 2 4 ω∴ ≤ ≤ , , ,A B C D ABC ABC ABC AD BD CE⊥ 36π 42π 54π 24 6π ABC BG BG AC AC DF DG AC BD⊥ BD ⊥ ACD DA DB DC DA DB DC ABC BG BG AC AC DF DG由题知 平面 ，所以 ，又 ， ， 所以 平面 ，所以 ， 又 ， ，∴ 平面 ，∴ ， ， 又 为正三棱锥，∴ ， ， 两两垂直， 故三棱锥 可看作以 ， ， 为棱的正方体的一部分，二者有共同的外接球， 由 得 ， 故正方体外接球直径 ， 所以球 O 的表面积为 . 故选：C. 【点睛】 本题考查了棱锥的几何特征与外接球半径的求解，考查了线面垂直的性质与判定和空间思维能力，属于中 档题. 8．(本题 5 分)已知定义在 R 上的偶函数 满足 ，且当 时， . 若直线 与曲线 恰有三个公共点，那么实数 a 的取值的集合为（ ） A． （ ） B． （ ） C． （ ） D． （ ） 【来源】2020 届山东省济宁市嘉祥一中高三第四次质量检测数学试题 【答案】B 【解析】 DG ⊥ ABC DG AC⊥ AC GB⊥ DG GB G= AC ⊥ DGB AC BD⊥ BD CE⊥ CE AC C= BD ⊥ ACD BD CD⊥ BD AD⊥ D ABC− DA DB DC D ABC− DA DB DC 6AB = 3 2DA = 2 3 2 3 3 6R = ⋅ = 2 2 3 64 4 542Rπ π π = =    ( )f x ( ) ( )1 1f x f x− = + 0 1x≤ ≤ ( ) 21f x x= − y x a= + ( )y f x= 51, 4k k + +   k Z∈ 52 1,2 4k k + +   k Z∈ 52 ,2 14k k − −   k Z∈ 5 , 14k k − −   k Z∈【分析】 根据偶函数及条件 ，可知 的对称轴及周期，由 时的解析式，画出函数 图像，结合函数图像即可求得直线 与曲线 恰有三个公共点时 a 的取值集合. 【详解】 定义在 R 上的偶函数 满足 ， 所以 的图像关于 对称，且 为周期是 2 的偶函数， 当 时， ，所以画出函数图像如下图所示： ①当 时，结合图像可知 与 （ ）有两个公共点； ②当 与 （ ）相切时，满足 ，即 ，令 ，解得 . 当 时，结合图像可知 与 （ ）有两个公共点； 由图像可知， 时，直线 与 （ ）有三个公共点； 又因为 周期 ，可知 （ ）. 故选：B. 【点睛】 本题考查了函数奇偶性、单调性与周期性的综合应用，直线与曲线交点问题的求法，数形结合的综合应用， ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )f x 0 1x≤ ≤ y x a= + ( )y f x= ( )f x ( ) ( )1 1f x f x− = + ( )f x 1x = ( )f x 1 1x− ≤ ≤ ( ) 21f x x= − 1a = ± y x a= + ( ) 21f x x= − [ )1,1x∈ − y x a= + ( ) 21f x x= − [ )1,1x∈ − 21x a x+ = − 2 1 0x x a+ + − = ( )1 4 1 0a∆ = − − = 5 4a = 5 4a = y x a= + ( )y f x= x∈R 51, 4a  ∈   y x a= + ( )y f x= x∈R ( )f x 2T = 52 1,2 4a k k ∈ + +   k Z∈属于中档题. 9．(本题 5 分)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格 独特，神兽人们喜爱．下图即是一副窗花，是把一个边长为 12 的大正方形在四个角处都剪去边长为 1 的小 正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为 1 的一些小正方形．若在这个窗花内 部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方形内的概率是（ ） A． B． C． D． 【来源】2020 届燕博园联考高三综合能力测试（全国卷 I)数学理科试题 【答案】D 【解析】 【分析】 由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解. 【详解】 由题,窗花的面积为 ,其中小正方形的面积为 , 所以所求概率 , 故选:D 【点睛】 本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题. 10．(本题 5 分) 是定义在 上的奇函数，对 ，均有 ，已知当 时， ，则下列结论正确的是（ ） A． 的图象关于 对称 B． 有最大值 1 C． 在 上有 5 个零点 D．当 时， 【来源】安徽省合肥市肥东县高级中学 2019-2020 学年高三 1 月调研考试数学（理）试题 3 7 4 7 5 7 6 7 212 4 1 140− × = 5 4 20× = 140 20 6 140 7P −= = ( )f x R x R∀ ∈ ( ) ( )2f x f x+ = [0,1)x∈ ( ) 2 1xf x = − ( )f x 1x = ( )f x ( )f x [ ]1,3− [ ]2,3x∈ ( ) 12 1xf x −= −【答案】C 【解析】 【详解】 A. 函数 是定义在 R 上的奇函数，对任意的 ，均有 ， 可得 为周期为 2 的奇函数，可得 ， 即有 的图象关于点 对称，故 A 错误； B. 当 时， 时， ， 即 ，可得 无最小值和最大值，故 B 错误； D. 当 时， ， 由 时， 时， 可得 ，故 D 错误。 故选 C 11．(本题 5 分)已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ，点 在 双曲线上，且 垂直于 轴.若直线 的方程为 ， 的面积为 6，则 （ ） A． B．1 C． D． 【来源】2020 届天一大联考海南省高三年级第三次模拟考试数学试题 【答案】B 【解析】 【分析】 根据直线 的斜率以及勾股定理得出 ， ，由双曲线的定义得出 ，再由三角 形面积公式得出 ，即可得出 的值. 【详解】 根据题意知 ，直线 的斜率为 ，则 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 1( ,0)F c− 2 ( ,0)( 0)F c c > P 2PF x 1PF 3 ( )4y x c= + 1 2PF F∆ a = 3 3 2 2 3 3 1PF 2 3 2PF c= 1 5 2PF c= 2a c= 2c = a 1 2 2F F c= 1PF 3 4 2 1 2 1 2 3tan 4 PFPF F F F ∠ = =则有 ，则 ，则 又因为 的面积为 ，解得 即 . 故选：B 【点睛】 本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的位置关系，属于中档题. 12．(本题5分)对于定义城为R的函数 ，若满足：① ；②当 ，且 时，都有 ； ③当 且 时，都有 ，则称 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数” 的是（ ） A． B． C． D． 【来源】福建省 2019-2020 学年高二年级 6 月联考数学试题 【答案】BC 【解析】 【分析】 运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结 论． 【详解】 解：经验证， ， ， ， 都满足条件①； ，或 ； 当 且 时，等价于 ， 即条件②等价于函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增； A 中， ， ，则当 时，由 ， 得 ，不符合条件②，故 不是“偏对称函数”； 2 3 2PF c= 2 2 1 2 1 2 5 2PF PF F F c= + = 1 22a PF PF c= − = 1 2PF F∆ 1 32 62 2S c c= × × = 2c = 1a = ( )f x (0) 0f = x∈R 0x ≠ ( ) 0xf x′ > 1 20x x< < 1 2| | | |x x< 1 2( ) ( )f x f x< ( )f x ( ) 3 2 1f x x x= − + ( )2 1xf x e x= − − ( ) 3 ln 1 , 0( ) 2 , 0 x xf x x x  − + ≤=  > 4 ( ) sinf x x x= 1( )f x 2 ( )f x 3 ( )f x 4 ( )f x 0( ) 0 ( ) 0 xxf x f x >′ > ⇔  ′ > 0 ( ) 0 x f x ( )2 0f x′ > 0x < 0 1xe< < ( )2 0f x′ < 0x ≠ ( )2 0xf x′ > ( )2 1xf x e x= − − ( ),0−∞ ( )0, ∞+ 2 ( )f x 2 1 1 20x x x x− < < < − < ( )2 1 2 2( )f x f x< − 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 2x xf x f x f x f x e e x−− < − − = − + + ( ) 2x xF x e e x−= − + + 0x > ( ) 2 2 2 0x x x xF x e e e e− −′ = − − + ≤ − + = x xe e−= 0x = = ( )F x [0 )+∞ 2( ) (0) 0F x F< = 2 1 2 2( ) ( )f x f x< 2 ( )f x ( ) 3 ln 1 , 0( ) 2 , 0 x xf x x x  − + ≤=  > 0x < 3 1( ) 01f x x = 3 ( ) 2 0f x′ = > 3 ( )f x ( ),0−∞ ( )0, ∞+ 2 1 1 20x x x x− < < < − < ( )3 1 3 2( )f x f x< − ( ) ln( 1) 2F x x x= + − 0x > 1( ) 2 01F x x ′ = − 4 ( )f x′ 4 ( )f x本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于 难题． 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．(本题 5 分)已知数列{an}满足 （n∈N*），且 a2=6，则{an}的通项公式为_____. 【来源】2020 届山西省太原市高三模拟（二)数学（理)试题 【答案】 【解析】 【分析】 由题意令 n=1 可得 a1，当 时，转化条件可得 ，进而可得 ，即可得解. 【详解】 因为数列{an}满足 （n∈N*），所以 ， ①当 n=1 时， 即 a1=1， ②当 时，由 可得 ， ∴数列 从第二项开始是常数列， 又 ，∴ ， ∴ ， 又 满足上式， ∴ . 故答案为： . 【点睛】 11 1 11 n na an n n n +−  = − + +  22n n− 2n ≥ 11 11 1 n na a n n n n +− −+=− 1 21 na n n − =− 11 1 11 n na an n n n +−  = − + +  111 11 n na an n n n +−  − = − +  1 1 0a − = 2n ≥ 111 11 n na an n n n +−  − = − +  11 11 1 n na a n n n n +− −+=− 1 1 na n n  −   −    2 12 22 1 a − =− 1 21 na n n − =− ( )22 2na n n n= − ≥ 1 1 2 1a = = − 22na n n= − 22n n−本题考查了利用数列的递推公式求数列的通项公式，考查了构造新数列的能力与运算求解能力，合理构造 新数列是解题的关键，同时要注意 n 的取值范围，属于中档题. 14．(本题 5 分)古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系，如图所示，现从五种 不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰是相克关系的概率为________ 【来源】2020 届山东省滨州市高三数学二模试题 【答案】 【解析】 【分析】 基本事件总数 ，利用列举法求出取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有 5 种，由此能 求出取出的两种物质恰是相克关系的概率． 【详解】 解：古典著作《连山易》中记载了金、木、水、火土之间相生相克的关系， 现从五种不同属性的物质中任取两种， 基本事件总数 ， 取出的两种物质恰是相克关系包含的基本事件有： 水克火，木克土，火克金，土克水，金克木，共 5 种， 则取出的两种物质恰是相克关系的概率为 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 1 2 2 5 10n C= = 2 5 10n C= = 5 1 10 2P = = 1 215．(本题 5 分)已知 x，y 为正数，且 ，则 的最小值为________. 【来源】江苏省镇江市 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题 【答案】7 【解析】 【分析】 由题设等式有 ，利用基本不等式可求 的最小值，从而可得 的最小值. 【详解】 ， 由基本不等式有 ，当且仅当 时等号成立， 故 的最小值为 即 的最小值为 . 故答案为： . 【点睛】 应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，则需要 对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 16．(本题 5 分)用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图 1 所示.金元时 期的数学家李治在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天 元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，意即“设 为某某”.如图 2 所示的天元式表 示方程 ，其中 表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常 数项旁边记一“太”字或在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.试 根据上述数学史料，判断图 3 所示的天元式表示的方程是________________ 1 4 12 x y + =+ x y+ ( )45 2 22 yy x xx y = + ++ ++ + 2x y+ + x y+ ( ) ( )41 42 2 25 22 yx y x yx x xy y  = + + × + = + +    ++    +  + + ( )4 42 2xy x y + + ≥+ 1, 6x y= = 2x y+ + 9 x y+ 7 7 x 1 0 1 1 0n n n na x a x a x a− −+ +⋅⋅⋅+ + = 0 1 1, , ,n na a a a−⋅⋅⋅【来源】吉林省白城市洮南市第一中学 2019-2020 学年高二下学期第一次月考数学（文科)试题 【答案】 【解析】 【分析】 根据题目的计数形式和天元式的概念，图 3 是一元二次方程，至上而下是常数项，一次项系数，二次项系 数，再对照图 1，把系数对应出来就可写出图 3 表示的方程. 【详解】 图 3 是一元二次方程，至上而下是常数项、一次项系数、二次项系数分别是 ， 故图 3 所示的天元式表示的方程是 . 故答案为： 【点睛】 本题考查了新文化概念，考查学生的理解和应用能力、类比推理能力. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(本题 12 分)在锐角 中，内角 、 、 的对应的边长分别为 、 、 ，若 的面积 ，且 . （1）求角 ； （2）求 的值. 【来源】江西省重点中学协作体 2020 届高三第一次联考数学（理科)试题 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 21743 286 1 0x x+ + = 1,286,1743 21743 286 1 0x x+ + = 21743 286 1 0x x+ + = ABC A B C a b c ABC 2 sinS a B= sin sin sinA B C= B 2 2 b a 6B π= 2 2 5 2 3b a = −【分析】 （1）由 可得出 ，再由 结合正弦定理边角互化思想可求 得 的值，再由角 为锐角可求得角 的值； （2）由（1）可得 ，再由余弦定理可求得 的值. 【详解】 （1）因为 ，所以 ， 而 ，即 ，所以 ，又因为 为锐角，所以 ； （2）由（1）知 ，又因为 ，则 ， 由余弦定理得 ，因此， . 【点睛】 本题考查正弦定理边角互化思想和三角形面积公式的应用，同时也考查了利用余弦定理解三角形，考查计 算能力，属于基础题. 18．(本题 12 分)如图，在三陵锥 中， 为等腰直角三角形， ， 为 正三角形， 为 的中点. （1）证明：平面 平面 ； （2）若二面角 的平面角为锐角，且棱锥 的体积为 ，求直线 与平面 所成 角的正弦值. 【来源】2020 届山东省济宁市高三 3 月线上数学试题 2 1sin sin2S a B ac B= = 2c a= sin sin sinA B C= sin B B B 2c a= 2 2 b a 2 1sin sin2S a B ac B= = 2c a= sin sin sinA B C= sina c B= 1sin 2B = B 6B π= 2c a= 6B π= 3cos 2B = ( )2 2 2 2 2 232 cos 5 4 5 2 32b a c ac B a a a= + − = − × = − 2 2 5 2 3b a = − P ABC− PAC∆ , 2PA PC AC= = ABC∆ D AC PDB ⊥ PAC P AC B− − P ABC− 3 6 PA PCB【答案】（1）证明见解析；（2） . 【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形三线合一，可证明线线垂直，再根据线面垂直判定定理，即可证明； （2）根据题意，点 在平面 内的射影 在射线 上，再根据锥体体积公式可知 ，由线面 垂直的判定定理，可证 平面 ，则建系：以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法，求线面角. 【详解】 （1） 证明：∵ ， 为 中点，∴ ， 又 为等边三角形， ，∴ ， ，∴ 平面 ， 平面 ，∴平面 平面 ； （2）由（1）知点 在平面 内的射影 在直线 上，又二面角 的平面角为锐角，∴ 在射线 上， ， ，∴ ， 又 ，∴ ，即 为 中点，取 中点 ，连接 ，则 ， ∴ 平面 ，∴ 两两互相垂直， 以 为坐标原点， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 42 7 P ABC O DB 1 2PO = OE ⊥ POB O , ,OE OB OP x y z PA PC= D AC AC PD⊥ ABC∆ BA BC= AC BD⊥ BD PD D= AC ⊥ PDB AC ⊂ PAC PAC ⊥ PDB P ABC O BD P AC B− − O DB 3 4 34ABCS∆ = × = 1 3 3 6P ABC ABCV S PO− ∆= = 1 2PO = 1PD = 3 2OD = O BD AB E OE / /OE AD OE ⊥ POB , ,OE OB OP O , ,OE OB OP x y z则 设平面 的法向量为 由 得 令 ，得平面 的一个法向量为 ， 又 ，设 与平面 所成角为 ， 则 ， ∴直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】 本题考查（1）面面垂直的证明（2）空间直角坐标系求解线面角，考查计算能力，考查逻辑推理能力，属 于中等题型. 19．(本题 12 分)已知椭圆 的左焦点为 且经过点 分 ( ) 3 3 3 10,0,0 , 0, ,0 , 1, ,0 , 1, ,0 , 0,0,2 2 2 2O B A C P        − − −                    ( )3 10, , , 1, 3,02 2PB BC  = − = − −      PCB ( ), ,n x y z= 0 0 n PB n BC  ⋅ =  ⋅ =   3 1 02 2 3 0 y z x y  − =  − − = 1y = PCB ( )3,1, 3= −n 3 11, ,2 2PA  = − −     PA PCB α 2 3 42sin cos , 77 2 n PAn PA n PA α ⋅= = = = ⋅⋅      PA PCB 42 7 2 2 2 2 1( 0)x y a ba bG + = > >： ( )2,0 ,F − ( )2,1 , ,C A B−别是 的右顶点和上顶点，过原点 的直线 与 交于 两点（点 在第一象限），且与线段 交于 点 . （1）求椭圆 的标准方程； （2）若 ，求直线 的方程； （3）若 的面积是 的面积的 倍，求直线 的方程. 【来源】2020 届北京市延庆区高三一模考试数学试题 【答案】（1） ；（2） ；（3） . 【解析】 【分析】 （1）利用椭圆的定义即可求出 的值，从而求出 ，从而得到答案. （2）根据题意设出直线方程，联立方程由根与系数的关系可得 ，再利用弦长公式即可得到答 案. （3）依题设出点 的坐标以及直线 的斜率，根据题目条件即可得坐标之间的关系，从而求出直线 的斜率，从而求出直线直线 的方程. 【详解】 （1）依题知 则椭圆的右焦点为 ， 因为点 在椭圆上，且 ， 又 ，所以 ，所以 所以 ， 所以椭圆的标准方程为 . （2）因为点 在第一象限，所以直线 的斜率存在， 设直线 的斜率为 ，则直线 的方程为 ， 设直线 与该椭圆的交点为 ， G O l G ,P Q Q AB M G 3PQ = l BOP△ BMQ 4 l 2 2 14 2 x y+ = 14 2y x= 9 2 8 14y x ±= a b 1 2 1 2,x x x x+ , ,P Q M l l l 2c = 1 2 0F（ ，） ( )2,1C − 2 2 1| | 2+ 2 +1 =3CF = （ ） | | 1CF = 12 | | | | 4a CF CF= + = 2a = 2 2 2 4 2 2b a c= − = − = 2 2 14 2 x y+ = Q l l ( 0)k k > l y kx= l 1 1 2 2( , ), ( , )P x y Q x y由 可得 ， 易知 ，且 ， 则 ，所以 ， 又 ，所以直线 的方程为 . （3）设 ， ，则 ， 易知 ， .由 ， ， 所以直线 的方程为 ，即 . 若 的面积是 的面积的 4 倍， 则 ,由 关于原点对称，可得 , 所以 ，所以 即 ① . 设直线 的方程为 ， 由 得 ， 由 得 ， 代入①可得 , 化简得 ，解得 ， 所以直线 的方程为： . 【点睛】 2 22 4 y kx x y =  + = 2 2(1 2 ) 4 0k x+ − = > 0∆ 1 2 1 2 2 40, 1 2x x x x k −+ = = + 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 1 ( ) 4PQ x x y y k x x x x= − + − = + + − 2 2 2 2 4 11 0 4 4 31 2 1 2 kk k k − += + − = =+ + 2 7 14,2 2k k= = ± 0k > l 14 2y x= ( , )m mM x y ( )0 0,Q x y ( )0 0,P x y− − 00 2x< < 00 1y< < ( )2,0A (0, 2)B AB 12 2 x y+ = 2 2 0x y+ − = BOP∆ BMQ∆ | | 4 | |OP MQ= ,P Q | | | |OP OQ= | | 4 | |OQ MQ= 3| | | |4OM OQ= 0 3 4mx x= l y kx= + 2 2 0 y kx x y = − = 2 1 2mx k = + 2 22 4 y kx x y =  + = 0 2 2 1 2 x k = + 2 1 2k+ 2 3 2 4 1 2k = ⋅ + 214 18 2 7 0k k− + = 9 2 8 14k ±= l 9 2 8 14y x ±=本题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、弦长公式等，考查运算求解能力，方程思想，体 现了逻辑推理、数学运算等核心素养. 20．(本题 12 分)已知函数 . （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： . 【来源】安徽省滁州市明光中学 2019-2020 学年高二下学期第二次月考数学(理)试题 【答案】（1）见解析（2）证明见解析 【解析】 【分析】 （1）求导数，根据对称轴的正负分类讨论即可求出单调区（2）借助方程有两个不同实根，将 表达为一元新函数 ，再利用其单调性证明. 【详解】 . （1）当 时， 由 解得 或 ， 解得 ， 故函数在 增， 减， 增， 当 时， 当 时， ， 所以函数在 增. （2）由于 有两个极值点 ， ， 则 在 上有两个不等的实根 ， ， ( ) ( )212ln 2f x x x ax a R= + − ∈ ( )f x ( )f x 1x 2x ( ]1 0,1x ∈ ( ) ( )1 2 3 2ln 22f x f x− ≥ − 1 2( ) ( )f x f x− 1( )F x ( ) ( )2 ' 2 2 0x axx a xx xf x − += + − = > 2 2a > ( ) 0f x′ > 2 80 2 a ax − −< < 2 8 2 a ax + −> ( ) 0f x′ < 2 28 8 2 2 a a a ax − − + −< < 2 80, 2 a a − −    2 28 8,2 2 a a a a − − + −    2 8 ,2 a a + − +∞    2 2a ≤ 0x > ( ) 0f x′ > ( )0, ∞+ ( )f x 1x 2x 2 2 0x ax− + = ( )0,x∈ +∞ 1x 2x∴ ， ， 设 ， 所以 ， 所以 在 上递减， 所以 ， 即 . 【点睛】 本题主要考查了利用导数求函数的单调区间，二元函数转化为一元新函数，然后利用其单调性证明不等式， 分类讨论，属于难题. 21．(本题 12 分)高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： .其中 a，b，c 成等差数列且 .物理成绩统计如表.（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分） ( ) 2 1 2 1 1 21 2 2 1 8 0 2 2 0 12 2 02 a ax x a x a x xx x a x x ∆ = − >  >+ =  < ≤ ⇒ = + =     =>   ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 12ln 2ln2 2f x f x x x ax x x ax   − = + − − + −       ( ) ( )( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 12 ln ln 2 2x x x x x x x x= − + − − + − 2 2 1 1 1 1 2 1 2 12 ln ln 2 2x xx x    = − + −        ( )2 1 1 12 1 24ln 2ln 2 0 12 xx xx = + − − < ≤ ( ) ( )2 2 24ln 2ln 2 0 12 xxF x xx = + − − < ≤ ( ) ( )222 4 3 3 3 24 4 4 4 0' xx xxx xx xF x − −− −= − − = = < ( )F x ( ]0,1 ( ) ( ) 31 2ln 22F x F≥ = − ( ) ( )1 2 3 2ln 22f x f x− ≥ − [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ) [ ]80,90 , 90,100 , 100,110 , 110,120 , 120,130 , 130,140 , 140,150 2c a=（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数； （3）若数学成绩不低于 140 分的为“优”，物理成绩不低于90 分的为“优”，已知本班中至少有一个“优” 同学总数为 6 人，从此 6 人中随机抽取 3 人，记 X 为抽到两个“优”的学生人数，求 X 的分布列和期望值. 【来源】2020 届四川省阆中中学高三下学期第一次在线考试（3 月)数学（理)试题 【答案】（1）平均分 （2）中位数为 75 分（3）详见解析 【解析】 【分析】 （1）利用频率之和为 列方程，结合等差中项的性质和已知条件，求得 的值.用每组中点值乘以对应 的频率，然后相加求得数学成绩的平均分. （2）由物理成绩统计表，判断出中位数所在的区间，并估计出物理成绩的中位数. （3）利用超几何分布分布列计算公式，计算出分布列，进而求得数学期望. 【详解】 （1）根据频率分布直方图得， 又因 ， ，解得 ， ， ， 故数学成绩的平均分 ， （2）总人数 50 分，由物理成绩统计表知，中位数在成绩区间 ， 所以物理成绩的中位数为 75 分. 117.8 1 , ,a b c ( )2 0.024 0.020 0.04 10 1a b c+ + + + + × = 2 + =a c b 2c a= 0.008=a 0.012=b 0.016c = 85 0.04 95 0.12 105 0.16 115 0.2 125 0.24 135 0.16 145 0.08 117.8= × + × + × + × + × + × + × =x [ )70,80（3）数学成绩为“优”的同学有 4 人，物理成绩为“优”有 5 人， 因为至少有一个“优”的同学总数为 6 名同学，故两科均为“优”的人数为 3 人， 故 X 的取值为 0、1、2、3. ， ， ， . 所以分布列为： 期望值为： . 【点睛】 本小题主要考查利用频率分布直方图估计平均数，考查根据频数表估计中位数，考查超几何分布的分布列 和数学期望的计算，属于中档题. （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题积分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 22．(本题 10 分)在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）写出直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 ，直线 与曲线 相交于点 ，求 的值. 【来源】山西省太原市 2020 届高三上学期期末数学（文)试题 【答案】（Ⅰ）直线 的普通方程为： ，曲线 的直角坐标方程为： ； （Ⅱ）4 【解析】 【分析】 ( ) 3 3 3 6 10 20 CP X C = = = ( ) 1 2 3 3 3 6 91 20 C CP X C = = = ( ) 2 1 3 3 3 6 92 20 C CP X C = = = ( ) 3 3 3 6 13 20 CP X C = = = ( ) 1 9 9 1 30 1 2 320 20 20 20 2E X = × + × + × + × = xOy l , 5 2 x t y t = = + t O x C 2 cos2 4 0ρ θ + = l C (0, 5)A l C ,M N 1 1 | | | |AM AN + l 2 5 0x y− + = C 2 2 4 0x y− + =（Ⅰ）使用代入法消参，可得直线 的普通方程，根据 ，结合二倍角的余弦公式， 可得曲线 的直角坐标方程 （Ⅱ）写出直线 参数方程的标准形式，然后联立曲线 的方程，可得关于参数 的一元二次方程，根据 的几何意义，可得结果. 【详解】 （Ⅰ）由 （ 为参数），所以 则直线 的普通方程为： 由 ，所以 又 ，所以 则曲线 的直角坐标方程为： （Ⅱ）由（Ⅰ）可知： 直线 参数方程标准形式为： （ 为参数） 将该方程代入曲线 的直角坐标方程 化简可得： 设点 所对应的参数分别为 所以 ，则 所以 则 【点睛】 本题考查参数方程，极坐标方程，普通方程之间的转换，还考查直线参数方程参数的几何意义，熟练公式 以及直线参数方程参数的几何意义，注意直线参数方程的标准化，属中档题 l cos , sinx yρ θ ρ θ= = C l C t t , 5 2 x t y t = = + t 5 2y x= + l 2 5 0x y− + = 2 cos2 4 0ρ θ + = ( )22 2cos s 4 0inθ θρ +− = cos , sinx yρ θ ρ θ= = 2 2 4 0x y− + = C 2 2 4 0x y− + = l 5 ,5 2 55 5 x t y t  =  = + t C 23 20 5 0t t+ + = ,M N 1 2,t t 1 2 1 2 20 5,3 3t t t t+ = − = 1 20, 0t t< < 1 2 1 2 1 1 1 1 1 1 | | | |AM AN t t t t  + = + = − +    1 2 1 2 1 1 4| | | | t t AM AN t t ++ = − =选修 4-5：不等式选讲。 23．(本题 10 分)已知 f（x）＝|x2+2﹣t|+| t﹣3|（x＞0）． （1）若 f（1）＝2，求实数 t 的取值范围； （2）求证：f（x）≥2． 【来源】广东省深圳市 2019-2020 学年高三下学期第一次调研数学（理)试题 【答案】（1）[1，3]；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值三角不等式的性质可得（3﹣t）（t﹣1）≥0，解出即可； （2）利用绝对值三角不等式及基本不等式即可得证． 【详解】 （1）∵f（1）＝|3﹣t|+|t﹣1|≥|3﹣t+t﹣1|＝2，取等号的条件为（3﹣t）（t﹣1）≥0， 解得 1≤t≤3，即实数 t 的取值范围为[1，3]； （2）证明：易知 ， ∵x＞0， ∴ ，当且仅当 ，即 时，取等号. ∴ ， ∴f（x）≥2． 【点睛】 本题主要考查绝对值三角不等式，均值不等式和二次不等式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档 题. 2 x + ( ) 2 2 22 2 22 3 2 3 1f x x t t x t t xx x x = + − + + − ≥ + − + + − = + − 2 2 232 1 1 1 13 3x x xx x x x x + = + + ≥ ⋅ ⋅ = 2 1x x = 1x = 2 2 1 2x x + − ≥