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卷 07-2021 高三一轮复习数学模拟试卷（理）-各地优质试题重组卷（新课标版）
全国Ⅱ卷
注意事项：
1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，
并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草
稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非
答题区域均无效。
4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答
题区域内，写在试题卷。草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．(本题 5 分)已知 i 为虚数单位，则复数 的共轭复数是（ ）
A． B． C． D．
【来源】重庆市第七中学 2019-2020 学年高二下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
由复数的乘除法运算法则，化简 ，即可求出结论.
【详解】
.
故选:C.
【点睛】
本题考查复数的代数运算及共轭复数，属于基础题.
2 2(1 2i) 1 i
+ + −
2 5i+ 2 5i− 2 5i− − 2 5i− +
2 2(1 2i) 1 i
+ + −
2
2
2 2(1 )(1 2 ) 3 4 2 5 , 2 51 1
ii i i z ii i
++ + = − + + = − + ∴ = − −− − 2 / 26
！
2．(本题 5 分)已知集合 ， ，则 （ ）．
A． B． C． D．
【来源】2020 届河北省石家庄市高三五月模拟（七)数学（理)试题
【答案】C
【解析】
【分析】
先解指数不等式，得集合 ，再求并集即可
【详解】
由 ，可得 ，得 ，
所以 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了集合的运算，涉及解指数不等式，属于基础题.
3．(本题 5 分)下列命题中正确命题的个数是（ ）
①对于命题 ，使得 ，则 ，均有 ；
②命题“已知 x， ，若 ，则 或 ”是真命题；
③设 ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的必要不充分条件；
④ 是直线 与直线 互相垂直的充要条件.
A．1 B．2 C．3 D．4
【来源】安徽省 2019-2020 学年高二上学期期末考试数学（理)试题
【答案】A
【解析】
【分析】
①根据特称命题的否定是全称命题，判断①错误；
②原命题与它的逆否命题真假性相同，判断它的逆否命题的真假性即可;
③利用向量的平行四边形法则，转化为平行四边形的对角线的关系，判断即可；
④计算直线 与直线 互相垂直的等价条件为 ，即可.
{ }1 4A x x= − < < { }13 1xB x −= < A B =
{ }1 1x x− < < { }1 4x x< < { }1x x > − { }2x x <
B
13 1x− < 1 0x− < { }1B x x= >
A B = { }1x x > −
:p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < :p x R¬ ∃ ∈ 2 1 0x x+ + >
y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠
a b a b= a b a b+ = −
3m = ( )3 2 0m x my+ + − = 6 5 0mx y− + =
( )3 2 0m x my+ + − = 6 5 0mx y− + = 0,3m = 3 / 26
！
【详解】
对于命题 ，使得 ，则 ，均有 ,故①不正确；
命题“已知 x， ，，若 ，则 或 ”的逆否命题为：“已知 x， ，，若 且
，则 ”为真命题，故②正确；
设 ， 是非零向量，则“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件，故③不正确；
直线 与直线 互相垂直，则 ，故④不正确.
故选：A
【点睛】
本题考查了命题的否定，逆否命题，充要条件等知识点，考查了学生逻辑推理，概念理解，数学运算的能
力，属于基础题.
4．(本题 5 分)已知向量 ， ，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【来源】云南省梁河县第一中学 2019-2020 学年高一下学期开学考试数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
根据向量垂直，数量积为 0，可得关于 的方程，解方程即可得答案；
【详解】
， ，
故选：C.
【点睛】
本题考查向量垂直的充要条件、向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.
5．(本题 5 分)已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）
A．39 B．45 C．50 D．55
【来源】2020 届陕西省高三下学期第二次教学教学质量检测数学(文)试题
【答案】C
:p x R∃ ∈ 2 1 0x x+ + < :p x R¬ ∃ ∈ 2 1 0x x+ + ≥
y R∈ 3x y+ ≠ 2x ≠ 1y ≠ y R∈ 2x =
=1y 3x y+ =
a b a b= a b a b+ = −
( )3 2 0m x my+ + − = 6 5 0mx y− + = 0,3m =
( )1,2a = ( )1,b m= − a b⊥ m
2− 2 1
2
1
2
−
m
a b⊥ ∴ 10 1 ( 1) 2 0 2a b m m⋅ = ⇒ × − + = ⇒ =
{ }na n nS 1 0a = 1 2 1 1n n na a a+ = + + + 5 4a S+ = 4 / 26
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【解析】
【分析】
对已知等式变形得数列数列 是等差数列，从而求得 ，得出结论．
【详解】
∵ ，∴ ，∴ ，即
，∴数列 是等差数列，公差为 1，首项为 ，∴ ，
． ， ，
∴ ．
故选：C．
【点睛】
本题考查数列的递推式，考查等差数列的通项公式和数列的前 项和定义．解题关键是已知变形得出数列
是等差数列．
6．(本题 5 分)在 中，有正弦定理： 定值，这个定值就是 的外接圆的直
径 如图 2 所示， 中，已知 ，点 M 在直线 EF 上从左到右运动 点 M 不与 E、F 重合 ，对
于 M 的每一个位置，记 的外接圆面积与 的外接圆面积的比值为 ，那么
A． 先变小再变大
B．仅当 M 为线段 EF 的中点时， 取得最大值
C． 先变大再变小
D． 是一个定值
【来源】重庆市第七中学 2019-2020 学年高二下学期期中数学试题
【答案】D
【解析】
【分析】
{ 1}na + na
1 2 1 1n n na a a+ = + + + 2
1 1 ( 1 1)n na a+ + = + + 1 1 1 1n na a+ + = + +
1 1 1 1n na a+ + − + = { 1}na + 1 1 1a + = 1na n+ =
2 1na n= − 1 2 3 4 50, 3, 8, 15, 24a a a a a= = = = = 4 0 3 8 15 26S = + + + =
5 5 24 26 50a S+ = + =
n
{ 1}na +
ABC
a b c
sinA sinB sinC
= = = ABC
. DEF DE DF= ( )
DEM DMF λ ( )
λ
λ
λ
λ 5 / 26
！
设△DEM 的外接圆半径为 R1，△DMF 的外接圆半径为 R2，由正弦定理得 R1 ，R2
，结合 DE＝DF，sin∠DME＝sin∠DMF，得 λ＝1，由此能求出结果．
【详解】
设 的外接圆半径为 ， 的外接圆半径为 ，
则由题意， ，
点 M 在直线 EF 上从左到右运动 点 M 不与 E、F 重合 ，
对于 M 的每一个位置，由正弦定理可得： ， ，
又 ， ，
可得： ，
可得： ．
故选：D．
【点睛】
本题考查正弦定理的应用，考查三角形的外接圆、正弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能
力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
7．(本题 5 分)我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆
台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为 2 尺 8 寸，盆底直径为 1 尺 2 寸，盆深 1 尺 8 寸.若盆中积水深 9
寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1 尺等于 10 寸；③台体的体
积 ）（ ）
A．3 寸 B．4 寸 C．5 寸 D．6 寸
【来源】2020 届江西省赣州市赣县三中高三 1 月考前适应性考试数学（文)试题
【答案】A
【解析】
【分析】
作出圆台的轴截面,根据已知条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量
的定义可求得结果.
【详解】
1 DE
2 sin DME∠= ⋅
1 DF
2 sin DMF∠= ⋅
DEM 1R DMF 2R
2
1
2
2
πR λπR
=
( )
1
1 DER 2 sin DME∠= 2
1 DFR 2 sin DMF∠=
DE DF= sin DME sin DMF∠ ∠=
1 2R R=
λ 1=
( )1
3V s s s s= + +下 下上 上 h 6 / 26
！
作出圆台的轴截面如图所示:
由题意知, 寸, 寸, 寸, 寸,
即 是 的中点,
为梯形 的中位线,
寸,即积水的上底面半径为 寸,
盆中积水的体积为 （立方寸）,
又盆口的面积为 （平方寸）,
平均降雨量是 寸,即平均降雨量是 3 寸,
故选:A
【点睛】
本题考查圆台体积的有关计算,关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考查运算能力.
8．(本题 5 分) 是 上的奇函数，满足 ，当 时， ，则
（ ）
A． B． C． D．
【来源】黑龙江省 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的周期性与奇偶性可得 ，结合当 时， ，得到结果.
【详解】
∵
∴ 的周期为 4，
14BF = 6OC = 18OF = 9OG =
G OF
GE∴ OCBF
14 6 102GE
+∴ = = 10
∴ ( )1 100 36 10 6 9 5883
π π× + + × × =
214 196π π=
∴ 588 3196
π
π =
( )f x R ( 2) ( 2)f x f x− = + [ ]2,0x∈ − ( ) 3 1xf x = − (9)f =
2− 2 2
3
− 2
3
(9) (1) ( 1)f f f= = − − [ ]2,0x∈ − ( ) 3 1xf x = −
( 2) ( 2)f x f x− = +
( )f x 7 / 26
！
∴ ，
又 是 上的奇函数，当 时， ，
∴ ，
故选：D
【点睛】
本题考查函数的周期性与奇偶性，解题的关键是根据函数的性质将未知解析式的区间上函数的求值问题转
化为已知解析式的区间上来求，本题考查了转化化归的能力及代数计算的能力.
9．(本题 5 分)在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C．现作一矩形，令边长分别等于线段 AC，CB 的长，则
该矩形面积小于 32cm2 的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】四川省宜宾市叙州区第二中学校 2019-2020 学年高二下学期期中考试数学（理）试题
【答案】A
【解析】
试题分析：令 ,则 .矩形面积为 .当 时，解得
或 ,即 或 .则所求概率为 .故 A 正确.
考点：几何概型概率.
10．(本题 5 分)方程 有解 ，则 在下列哪个区间（ ）
A．(-1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
【来源】黑龙江省 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题
【答案】B
【解析】
【分析】
根据题意，构造函数 ，判断函数在定义域上为单调减函数，分析可得 f（0）＞0，f（1）＜
0，用零点存在定理判断即可．
【详解】
(9) (1 8) (1)f f f= + =
( )f x R [ ]2,0x∈ − ( ) 3 1xf x = −
( )1 2(9) (1) ( 1) 3 1 3f f f −= = − − = − − =
2
3
1
3
1
6
4
5
( ), 0 12AC x x= < < 12CB x= − ( )12S x x= − ( )12 32S x x= − <
4x < 8x > 0 4x< < 8 12x< < (4 0) (12 8) 2
12 3P
− + −= =
1
21 02
x
x − = 0x 0x
( ) 1
21
2
x
f x x = − 8 / 26
！
根据题意，构造函数 ，函数在 上单调递减，
∵ ， ，
∴函数 的零点在区间(0,1)上，
故选：B
【点睛】
本题考查方程与函数之间的联系，考查零点存在定理的运用，关键是掌握函数零点的判定定理．
11．(本题 5 分)已知 为抛物线 ： 的焦点，过 做两条互相垂直的直线 ， ，直线 与 交于
、 两点直线 与 交于 、 两点，则 的最小值为（ ）
A．24 B．28 C．32 D．40
【来源】浙江省绍兴市柯桥区鲁迅中学 2019-2020 学年高二下学期期中数学试题
【答案】C
【解析】
【分析】
设直线 的方程为 ，可以先利用方程联立，利用弦长公式，借助韦达定理求出 ，由于直
线 ，求 时只需要将 k 换成 即可，然后利用基本不等式求最值即得．
【详解】
由题意知，抛物线 的焦点 ，
因为 ，所以直线 ， 斜率存在，且均不为 0．
设直线 的方程为 ，
代入到 中，化简得 ．
则 ， ．
所以
( ) 1
21
2
x
f x x = −
[ )0,+∞
( )0 1 0f = > ( ) 1 11 1 02 2f = − = − <
( ) 1
21
2
x
f x x = −
F C 2 8y x= F 1l 2l 1l C
A B 2l C D E AB DE+
1l ( )2y k x= − AB
1 2l l⊥ DE 1
k
−
2 8y x= ( )2,0F
1 2l l⊥ 1l 2l
1l ( )2y k x= −
2 8y x= ( )2 2 2 24 2 4 0k x k x k− + + =
( )2
2
4 2+
+ =A B
k
x x k
· 4A Bx x =
2 2 21 1 ( ) 4A B A B A BAB k x x k x x x x= + − = + + − 9 / 26
！
．
因为 ，故 的斜率为 ，
同理可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 是取等号，
故 的最小值是 32，
故选：C．
【点睛】
本题考查直线与抛物线的位置关系，抛物线中的弦长问题和取值范围问题，涉及利用不等式求最值，难度
较大.
12．(本题 5 分)若关于 的不等式 在 上恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【来源】安徽省 2019-2020 学年高二下学期第四次线上测试数学(理)试题
【答案】C
【解析】
【分析】
分类讨论当 时，当 时，结合函数单调性求解参数的取值范围.
【详解】
当 时，关于 的不等式 在 上恒成立，
即关于 的不等式 在 上恒成立， ，
， ，
由 得 ， 得 ，
( ) 22
2
2 2
4 2 11 4 4 8 1
k
k k k
+ = + − × = +
1 2l l⊥ 2l 1
k
−
( )28 1DE k= +
( )2 2 2
2 2 2
1 1 18 1 8 1 16 8 16 8 2 · 32AB k k kkE kD k
+ = + + + = + + ≥ + × =
2
2
1k k
= 1k = ±
AB DE+
x ( )( )1 ln 0ax x ax− + ≥ ( )0,+¥ a
1a e
≤ − a e≥ 1a e
≤ − a e= a e≥ 1a e
≤ −
0a ≤ 0a >
0a ≤ x ( )( )1 ln 0ax x ax− + ≥ ( )0, ∞+
x ln 0x ax+ ≤ ( )0, ∞+ ln xa x
≤ −
( ) ln= − xg x x
( ) 2
1 ln xg x x
−′ = −
( ) 2
1 ln 0xg x x
−′ = − > ( ),x e∈ +∞ ( ) 2
1 ln 0xg x x
−′ = − < ( )0,x e∈ 10 / 26
！
在 递减，在 递增，
，所以
当 时， ， ，
所以必有 ， ，
必有 ，即 ， ， ，
考虑函数 ，
在 单调递增，且 ，
所以 ， ，满足题意，
所以 或 .
故选：C
【点睛】
此题考查根据不等式恒成立求参数的取值范围，关键在于熟练掌握导数的应用，利用分类讨论求解.
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。（16 题第一空 2 分，第二空 3 分。）
13．(本题 5 分)已知数列 的前 项和 满足： （ ），则数列 中最
大项等于______.
【来源】2020 届安徽省皖东县中联盟上学期高三期末考试数学（理)试题
【答案】
【解析】
【分析】
( ) ln xg x x
= ( )0,x e∈ ( ),x e∈ +∞
( ) ( )min
1g x g e e
= = − 1a e
≤ −
0a > 10, , 1 0x axa
∈ − >
{ }na 2 3
8
9a a= =
8
9
1n na a+ − 12 / 26
！
基于上述规律，可以推测，当 时，从左往右第 22 个数为_____________.
【来源】2020 届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷(六)数学(理)试题
【答案】253
【解析】
【分析】
根据 ，共有 个数，则所求为这一行的倒数第 个数，找到每一行倒数第 个数的规律，从而得到
所求.
【详解】
当 时，共有 个数，从左往右第 个数即为这一行的倒数第 个数，
观察可知，每一行倒数第 个数（从第 行， 开始）
为 ， ， ， ， ， ，
即为 ， ， ， ， ， ， ，
所以当 时，左往右第 个数为 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查数字中的归纳推理，属于中档题.
15．(本题 5 分)已知 ，且 .则使 恒成立的实数 的取值范围是
_________.
【来源】甘肃省张掖市 2019-2020 学年高二上学期期末数学（文科)试题
【答案】
【解析】
【分析】
将 ，转化为 ，再利用“1”的代换，求 最小值即可.
【详解】
23n =
23n = 24 3 3
23n = 24 22 3
3 3 2n =
1 3 6 10 15 ⋅⋅⋅
1 2
2
× 2 3
2
´ 3 4
2
× 4 5
2
× 5 6
2
× ⋅⋅⋅ ( )1
2
n n −
23n = 22 22 23 2532
× =
253
0, 0x y> > 4 0x y xy+ − = 2 1x y m+ − ≥ m
5 4 2+
4 0x y xy+ − = 1 4 1x y
+ = 2 1x y+ − 13 / 26
！
因为 ，且 ，
所以 ，
所以 ，
当且仅当 ， ，即 时，取等号.
因为 ，对于 ，且 恒成立，
所以 .
故答案为：
【点睛】
本题主要考查基本不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.
16．(本题 5 分)非典和新冠肺炎两场疫情告诉我们：应坚决杜绝食用野生动物，提倡文明健康，绿色环保的
生活方式.在我国抗击新冠肺炎期间，某校开展一次有关病毒的网络科普讲座.高三年级男生 60 人，女生 40
人参加.按分层抽样的方法，在 100 名同学中选出 5 人，则男生中选出________人.再从此 5 人中选出两名同
学作为联络人，则这两名联络人中男女都有的概率是________.（第 1 空 2 分，第 2 空 3 分）
【来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市 2020 届高三第三次联考数学（文)试题
【答案】3
【解析】
【分析】
用男生总人数乘以抽样比即可得解；所求事件只包含抽到 1 名男生和 1 名女生，利用古典概型概率计算公
式即可得解.
【详解】
按分层抽样的方法，在 100 名同学中选出 5 人，则男生中选 人，女生中选 2 人；
从此 5 人中选出两名同学作为联络人，设这两名联络人中男女都有为事件 A，
则 .
0, 0x y> > 4 0x y xy+ − =
1 4 1x y
+ =
( ) 1 4 8 82 1 2 1 5 5 2 5 4 2x y x yx y x y x y y x y x
+ − = + + − = + + ≥ + × = +
8x y
y x
= 1 4 1x y
+ = 1 2, 4 2 2x y= + = +
2 1x y m+ − ≥ 0, 0x y> > 4 0x y xy+ − =
5 4 2m ≤ +
5 4 2+
3
5
560 =3100
×
1 1
3 2
2
5
6 3( )= 10 5
C CP A C
= = 14 / 26
！
故答案为：3；
【点睛】
本题考查分层抽样、古典概型概率计算公式、简单的组合问题，属于基础题.
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生
都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。
17．(本题 12 分)在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
求 的值；
设 的平分线 与边 交于点 ，已知 ， ，求 的值.
【来源】2020 届江苏省南京市、盐城市高三下学期第二次模拟考试数学试题
【答案】 ； .
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简求值即可；
利用两角和差的正弦函数的化简公式，结合正弦定理求出 的值.
【详解】
解： ，由正弦定理得： ，
，
，
，
，
又 ， 为三角形内角，故 ， ，
则 ，故 ， ；
（2） 平分 ，设 ，则 , ,
3
5
ABC A B C a b c cos sina b C c B= +
( )1 B
( )2 BAC∠ AD BC D 17
7AD = 7cos 25A = − b
( )1
4B
π= ( )2 sin
sin
AD ADCb C
∠=
( )1
( )2 b
( )1 cos sina b C c B− = sin sin cos sin sinA B C C B− =
( )sin sin cos sin sinB C B C C Bπ − − − =
( )sin sin cos sin sinB C B C C B+ − =
sin cos sin cos sin cos sin sinB C C B B C C B+ − =
sin Ccos sin sinB C B=
B C sin 0B > sin 0C >
cos sin 0B B= > tan 1B =
4B
π=
AD BAC∠ BAD CAD x∠ = ∠ = ( )2 0,A x π= ∈ 0, 2x
π ∈ 15 / 26
！
， ，则 ，
，又 ，
则
在 中，由正弦定理： ， .
【点睛】
本题考查正弦定理和两角和差的正弦函数的化简公式，二倍角公式，考查运算能力，属于基础题.
18．(本题12分)在如图的空间几何体中，四边形 为直角梯形， ， ，
，且平面 平面 ， 为棱 中点.
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正弦值.
【来源】2020 届湖南省永州市高三第三次模拟数学(理)试题
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】
（1）取 中点为 ，连接 和 ，先证明四边形 为平行四边形，可得 .由题意得
，则 ，即得证；
（2）建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，用向量的方法求解.
【详解】
（1）证明：取 中点为 ，连接 和 ，如图所示
2 7cos cos2 2cos 1 25A x x= = − = − 3cos 5x = 2 4sin 1 cos 5x x= − =
2 24sin 1 cos 25A A= − =
4B
π=
3 3 3 17 2sin sin sin cos cos sin4 4 4 50C A A A
π π π = − − − =
( ) 7 2sin sin sin sin cos cos sin4 4 4 10ADC B x x x x
π π π ∠ = + = + = + =
ACD sin sin
b AD
ADC C
=∠
sin
sin
AD ADCb C
∠=
BCED 90 , 2DBC BC DE°∠ = = 2AB AC= =
3CE AE= = BCED ⊥ ABC F AB
DF AC⊥
B AD E− −
30
6
AC G GE GF GFDE //GE DF
GE AC⊥ DF AC⊥
ABD ADE
AC G GE GF 16 / 26
！
因为 ，且 ，
又因为 ，且 ，
故 ，且 ，
即四边形 为平行四边形，故 ，
， 为 中点， ；
又 ， .
（2） 平面 平面 ，平面 平面 ，
平面 ，
又 平面 ， .
由（1）知 ， 平面 ，
平面 ，而 平面 ， ，
， .
取 中点 连接 和 ，四边形 为直角梯形，则 ，
平面 ，
平面 ，又 平面 ， 平面 ，故 ，
，
分别以 、 、 所在直线为 轴、 轴、 轴建立直角坐标系，如图所示
，
则 ， ， ， ，
故 ， ， ，
//GF BC 1
2GF BC=
//DE BC 1
2DE BC=
//GF DE GF DE=
GFDE //GE DF
CE AE= G AC GE AC∴ ⊥
//GE DF DF AC∴ ⊥
BCED ⊥ ABC BCED ABC BC DB AC= ⊥，
DB∴ ⊥ ABC
AC ⊂ ABC DB AC∴ ⊥
,DF AC BD DF D⊥ ∩ = ,BD DF ⊂ ABC
AC∴ ⊥ ABD AB Ì ABD AC AB∴ ⊥
2AB AC= = 2 2, 2BC DE∴ = =
BC O OE OA BCED / /OE DB
DB ⊥ ABC
OE∴ ⊥ ABC BC ⊂ ABC OA ⊂ ABC OE BC OE OA⊥ ⊥，
,AB AC OA BC= ∴ ⊥
∴ OA OB OE x y z
3, 1CE AE OE= = ∴ =
(0, 2,1)D (0,0,1)E ( 2,0,0)A (0, 2,0)C −
( 2, 2,1)AD = − ( 2,0,1)AE = − ( 2, 2,0)CA = 17 / 26
！
易知平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量为 ，则
，即 ，令 ，
.
设二面角 的为 ，则
，
.
二面角 的正弦值为 .
【点睛】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查利用空间向量求面面角，考查学生的逻辑推理能力
及运算能力，属于中档题.
19．(本题 12 分)阿基米德（公元前 年—公元前 年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，
他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积.已知平面直角坐标系
中，椭圆 ： 的面积为 ，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 的直线 与 交于不同的两点 ，求 面积的最大值.
【来源】福建省三明市 2019-2020 学年高二上学期期末数学试题
【答案】(1) ；(2) .
【解析】
【分析】
（1）根据题意计算得到 ，得到椭圆方程.
ABD ( 2, 2,0)CA =
ADE ( , , )n x y z=
0
0
n AD
n AE
⋅ =
⋅ =
2 2 0
2 0
x y z
x z
− + + =
− + =
2, 1, 0z x y= ∴ = =
(1,0, 2)n∴ =
B AD E− − θ
6| cos | | cos , | 6| || |
n CAn CA
n CA
θ ⋅= 〈 〉 = =
2
6 30sin 1 6 6
θ æ öç ÷ç ÷\ = - =ç ÷ç ÷è ø
∴ B AD E− − 30
6
287 212
π
xOy C
2 2
2 2 1x y
a b
+ = ( )0a b> > 2 3π
C
( )1,0P l C ,A B OAB
2 2
14 3
x y+ = 3
2
2,
3,
a
b
= = 18 / 26
！
（2）设直线 的方程为 ，联立方程，根据韦达定理得到 ， ，
表示出 ，解得答案.
【详解】
(1)依题意有 解得 所以椭圆 的标准方程是 .
(2)由题意直线 的斜率不能为 ，设直线 的方程为 ，
由方程组 得 ，
设 ， ，
所以 ， ，
所以 ，
所以 ，
令 （ ），则 ， ，
因为 在 上单调递增，
所以当 ，即 时， 面积取得最大值为 .
【点睛】
本题考查了椭圆方程，椭圆内三角形面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
20．(本题 12 分)已知函数 ， ， .
(1)求 的极值；
(2)若对任意的 ，当 时， 恒成立，求实数
l 1x my= + 1 2 2
6
3 4
my y m
+ = − + 1 2 2
9
3 4y y m
⋅ = − +
2
2
6 1
3 4
mS m
+= +
2 2 2
2 3,
2 ,
,
ab
a c
a b c
=
=
= +
2,
3,
a
b
= =
C
2 2
14 3
x y+ =
l 0 l 1x my= +
2 2
1,
1,4 3
x my
x y
= + + =
( )2 23 4 6 9 0m y my+ + − =
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1 2 2
6
3 4
my y m
+ = − + 1 2 2
9
3 4y y m
⋅ = − +
( )2
1 2 1 2 1 24y y y y y y− = + − ⋅
2
2
12 1
3 4
m
m
+= +
1 2
1
2OABS OP y y= × × −
2
2
6 1
3 4
m
m
+= +
2 1t m= + 1t ≥ 2 2 1m t= − 2
6 6
13 1 3
OAB
tS t t t
= =+ +
13t t
+ [ )1,+∞
1t = 0m = OAB
3
2
( ) ( )21 1 ln2f x x m x m x= − + + m R∈ ( ) xeg x x
=
( )g x
[ ]( )1 2 1 2, 2,4x x x x∈ ≠ 1 2x x< ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x g x g x− < − m 19 / 26
！
的最大值；
(3)若函数 恰有两个不相等的零点，求实数 的取值范围.
【来源】2020 届江苏省、如皋中学、宿迁中学高三上学期三校联考数学试题
【答案】(1) 的极小值为 ，无极大值；(2) ；(3) .
【解析】
【分析】
(1)求出 ，判断其符号，得出 的单调性即可
(2)将 变形为 ，构造函数
，转化为 在 恒成立即可
(3)求出 ，然后分四种情况讨论
【详解】
(1) ，令 ，得 .
列表如下：
1
－ 0
＋
极小值
∵ ，∴ 的极小值为 ，无极大值.
(2)∵ ，由(1)可知
等价于 ，
( )f x m
( )g x e
2
2 2
e+ 1 ,02
−
( )g x′ ( )g x
( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x g x g x− < − ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x g x f x g x+ < +
( ) ( ) ( )h x f x g x= + ( ) 0h x′ ≥ [ ]2,4
( )f x′
( ) ( )
2
1xe xg x x
−′ = ( ) 0g x′ = 1x =
x ( )0,1 ( )1,+∞
( )g x′
( )g x
( )1 1g = ( )y g x= e
2 1x x> ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2f x f x g x g x− < −
( ) ( ) ( ) ( )1 2 2 1f x f x g x g x− < − 20 / 26
！
即 .
设 ，则 在 为增函数.
∴ 在 恒成立.
∴ 恒成立.
设 ，∵ 在 上恒成立
∴ 为增函数.
∴ 在 上的最小值为 .
∴ ，∴ 的最大值为 .
(3)
①当 时，当 和 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
所以 的极大值为
所以函数 至多一个零点
②当 时， ， 在 上单调递增.
③当 时，当 和 时， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2f x g x f x g x+ < +
( ) ( ) ( ) ( )21 ln 12
xeh x f x g x x m x m x x
= + = + − + + ( )h x [ ]2,4
( ) ( ) ( )
2
1 11 0
x xe xm x eh x x m x mx x x x
− −′ = − + + + = − + ≥
[ ]2,4
xem x x
≤ +
( ) xev x x x
= + ( ) ( )
2
11 0
xe xv x x
−′ = + > [ ]2,4
( )v x
( )v x [ ]2,4 ( ) 2
2 2 2
ev = +
2
2 2
em ≤ + m
2
2 2
e+
( ) ( ) ( )( )11 x x mmf x x m x x
− −′ = − + + =
0 1m< < ( )0,x m∈ ( )1,+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( ),1x m∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )f x ( ) ( )21 1 ln2f m m m m m m= − + +
2
ln 02
m m m m= − − + <
( )f x
1m = ( ) ( )21 0xf x x
−′ = ≥ ( )f x ( )0, ∞+
1m > ( )0,x m∈ ( )1,+∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( ),1x m∈ ( ) 0f x′ < ( )f x 21 / 26
！
所以 的极大值为
的极小值为
所以函数 至多有一个零点.
④当 时，当 ， ， 单调递增
当 时， ， 单调递减
所以
Ⅰ：当 时，即 时，函数 至多一个零点.
Ⅱ：当 时，
所以存在 ，
所以函数 在 上有唯一的零点.
又
所以函数 在 上有唯一的零点.
综上所述：实数 的取值范围为 .
【点睛】
1. 在 上单调递增 在 上恒成立
2.导数可转化为含参的一元二次不等式的函数的单调性常见讨论思路：①二次系数的符号， ②根的个数，③
根的大小及根在不在定义域中.
21．(本题 12 分)某工厂改造一废弃的流水线 M，为评估流水线 M 的性能，连续两天从流水线 M 生产零件上
随机各抽取 100 件零件作为样本，测量其直径后，整理得到下表：记抽取的零件直径为 X.
第一天
直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73
合
计
( )f x ( ) ( )1 11 1 02 2f m m= − − = − − <
( )f x ( ) ( )1 0f m f< <
( )f x
0m ≤ ( )0,1x∈ ( ) 0f x′ < ( )f x
( )1,x∈ +∞ ( ) 0f x′ > ( )f x
( ) ( )min
1 11 12 2f m m= − − = − −
( )min
11 02f m= − − ≥ 1
2m ≤ − ( )f x
1 02 m− < < ( ) ( )3 1 ln 02
mf m m m − = + + − >
( )1 ,1x m∈ − ( )1 0f x =
( )f x ( )0,1
( ) ( )2
2 2 21 2 02
ef e e e m
= − + − >
( )f x ( )1,+∞
m 1 ,02
−
( )f x [ ],a b ⇔ ( ) 0f x′ ≥ [ ],a b 22 / 26
！
件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100
第二天
直径/mm 58 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73
合
计
件数 1 1 2 4 5 21 34 21 3 3 2 1 1 1 100
经计算，第一天样本的平均值 ，标准差 第二天样本的平均值 ，标准差
（1）现以两天抽取的零件来评判流水线 M 的性能.
（i）计算这两天抽取 200 件样本的平均值 和标准差 （精确到 0.01）；
（ii）现以频率值作为概率的估计值，根据以下不等式进行评判（P 表示相应事件的概率），①
；② ；③
评判规则为：若同时满足上述三个不等式，则设备等级为优；仅满足其
中两个，则等级为良；若仅满足其中一个，则等级为合格；若全部不满足，则等级为不合格，试判断流水
线 M 的性能等级.
（2）将直径 X 在 范围内的零件认定为一等品，在 范围以外的零件认定
为次品，其余认定为合格品.现从 200 件样本除一等品外的零件中抽取 2 个，设 为抽到次品的件数，求
分布列及其期望.
附注：参考数据： ， ， ；
参考公式：标准差 .
【来源】广东省珠海市实验中学、东莞六中、河源高级中学三校 2019-2020 学年高考联盟高三下学期第一
1 65µ = 1 2.2.σ = 2 65µ = 2 2.σ =
µ σ
( ) 0.6826P Xµ σ µ σ− < ≤ + ≥ ( )2 2 0.9544P Xµ σ µ σ− < ≤ + ≥
( )3 3 0.9974P Xµ σ µ σ− < ≤ + ≥
( ]2 , 2µ σ µ σ− + ( ]3 , 3µ σ µ σ− +
ξ ξ
4.42 2.102≈ 44.2 6.648≈ 442 21.024≈
( )2
1
1 n
i
i
x xn
σ
=
= −∑ 23 / 26
！
次联考数学（理)试题
【答案】（1）（i） ， ；（ii）合格；（2）分布列见解析，
【解析】
【分析】
（1）（ⅰ）因为两天 100 个零件的平均值都是 65，所以 200 个零件的平均值也是 65，按照公式计算标准差
；（ⅱ）分别计算 的概率，然后比较等级；
（2）由（ⅱ）可知 200 件零件中合格品 7 个，次品 4 个， 的可能取值为 0，1，2，利用超几何分布计算
概率，并求分布列和数学期望.
【详解】
（1）（i）依题意：200 个零件的直径平均值为 由标准差公式得：
第一天： ，第二天： ，
则
故 （注：如果写出 不给分）
（ii）由（1）可知： ，
，
仅满足一个不等式，判断流水线 M 的等级为合格.
（2）可知 200 件零件中合格品 7 个，次品 4 个， 的可能取值为 0，1，2，则
， ， ，
的分布列
0 1 2
P
65µ = 2.10σ ≈ 8
11
σ 3σ
ξ
65µ =
( )100 2 2
1
1
65 100 484i
i
X σ
=
− = =∑ ( )100 2 2
2
1
65 100 400i
i
X σ
=
− = =∑
( )200 22
1
1 165 (484 400) 4.42200 200i
i
Xσ
=
= − = + =∑
4.42 2.10σ = ≈ 1 (2.20 2) 2.102
σ = + =
164( ) (62.9 67.1) 0.82 0.6826200P X P Xµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ = = ≥
189( 2 2 ) (60.8 69.2) 0.945 0.9544200P X P Xµ σ µ σ− < ≤ + = < ≤ = = <
196( 3 3 ) (58.7 71.3) 0.98 0.9974200P X P Xµ σ µ σ− < ≤ + = < < = = <
ξ
2
7
2
11
21( 0) 55
CP C
ξ = = =
1 1
7 4
2
11
28( 1) 55
C CP C
ξ = = =
2
4
2
11
6( 2) 55
CP C
ξ = = =
ξ
ξ
21
55
28
55
6
55 24 / 26
！
则
【点睛】
本题考查样本期望，方差的计算， 原则的应用，以及超几何分布列的计算，重点考查数据的分析和应用，
属于中档题型，本题的关键是读懂题意.
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题积分。
选修 4-4：坐标系与参数方程
22．(本题 10 分)在平面直角坐标系 中，由 经过伸缩变换 得到曲线 ，以原点为
极点， 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的极坐标方程以及曲线 的直角坐标方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 ， 与曲线 、曲线 在第一象限交于 、 ，且 ，
点 的极坐标为 ，求 的面积．
【来源】湖北省武汉市 2020 届高三下学期六月高考适应性考试(供题一)文科数学试题
【答案】（1） ； （x﹣2）2+y2＝4；（2） ．
【解析】
【分析】
（1）直接利用伸缩变换的应用和参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．
（2）利用三角俺和你熟关系式的变换和极径的应用及三角形的面积公式的应用求出结果．
【详解】
解：（1）平面直角坐标系 中，由 经过伸缩变换 得到曲线 ，得到直角坐标方程
为 ．
21 28 6 80 1 255 55 55 11Eξ = ⋅ + ⋅ + ⋅ =
3σ
xOy 2 2 1x y+ = 2x x
y y
=′
′
= 1C
x 2C 4cosρ θ=
1C 2C
l ( )Rθ α ρ= ∈ l 1C 2C P Q | | | |OP PQ=
M (1, )2
π
PMQ
1 :C 2
2
4
1 3sin
ρ θ= + 2 :C 1
3
xOy 2 2 1x y+ = 2x x
y y
=′
′
= 1C
2
2 14
x y+ = 25 / 26
！
根据 转换为极坐标方程为 ．
曲线 的极坐标方程为 ．根据 转换为直角坐标方程为 ．
（2）由于 得到： ，
且 整理得 ．
由于 ，
所以 ，
故： ，解得 ．
所以 ， ．
则：
．
【点睛】
本题考查的知识要点：伸缩变换的应用，参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系
式的变换，正弦型函数的性质的应用，极径的应用，三角形的面积公式的应用，主要考查学生的运算能力
和转换能力及思维能力，属于中档题.
选修 4-5：不等式选讲。
23．(本题 10 分)已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）若不等式 在 上恒成立，求实数 的取值范围.
【来源】2020 届安徽省“江南十校”高三下学期 4 月综合素质检测数学(文)试题
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
+ =
2
2
4
1 3sin
ρ θ= +
2C 4cosρ θ=
2 2 2
cos
sin
x
y
x y
ρ θ
ρ θ
ρ
=
=
+ =
2 2( 2) 4x y− + =
2
2
4
1 3sin
θ α
ρ θ
= = +
2
4
1 3sinP
ρ α= +
4cos
θ α
ρ θ
=
=
4cosQ
ρ α=
| | | |OP PQ=
2Q P
ρ ρ=
2
44cos 2 1 3sin
α α= +
2 22 1sin ,cos3 3
α α= =
2
4 2 3
1 3sin 3P
ρ α= =+
4 3
3Q
ρ =
1 1 1| || | sin( ) | || | sin( ) | | sin( )2 2 2 2 2 2PMQ OQM OPM Q PS S S OQ OM OP OM
π π πα α ρ ρ α= − = × − − × − = × − −
1 2 3 3 1
2 3 3 3
= × × =
( ) | 1| | 2 |f x x x= − + +
( ) 3f x x< +
2 2 ( )m x x f x− − R m 26 / 26
！
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）分类讨论去绝对值号，即可求解；
（2）原不等式可转化为 在 R 上恒成立，分别求函数 与 的最小值，
根据能同时成立，可得 的最小值，即可求解.
【详解】
（1）①当 时,不等式 可化为 ,得 ，无解；
②当-2≤x≤1 时,不等式 可化为 得 x>0,故 01 时,不等式 可化为 ,得 x
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