2021高三一轮复习数学（文）模拟试卷-各地优质试题重组卷（新课标版）（全国Ⅱ卷）（解析版）

1 / 24 卷 07-2021 高三一轮复习数学模拟试卷（文）-各地优质试题重组卷（新课标版） 全国Ⅱ卷 注意事项： 1.本卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。答题前，现将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上， 并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草 稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非 答题区域均无效。 4.选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上对应的答 题区域内，写在试题卷。草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 5.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．(本题 5 分)已知全集 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【来源】2020 届陕西省咸阳市高三第二次高考模拟检测数学(文)试题 【答案】A 【解析】 【分析】 直接用补集，交集的概念运算即可. 【详解】 ， ， ，则 . 故选：A. 【点睛】 本题考查交集，补集的运算，是基础题. U = R { }| 0A x x= > { }| 1B x x= > − ( )∩ =UC A B ( ]1,0− ( )1,1− ( )1,− +∞ [ )0,1 { }| 0A x x= > { }| 1B x x= > − { }| 0UC A x x= ≤ ( ) ( ]1,0UC A B = − 2 / 24 2．(本题 5 分)若 （ 为虚数单位）,则复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【来源】安徽省皖南八校 2020 届高三下学期 6 月临门一卷文科数学试题 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数乘法的运算求解 ,进而根据复数的几何意义分析 在复平面内对应的点对应的象限即可. 【详解】 , ∴复数 在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 【点睛】 本题主要考查了复数的乘法运算以及几何意义,属于基础题. 3．(本题 5 分)“ 为第一或第四象限角”是“ ”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【来源】辽宁省沈阳市高中部 2020 届高三第八次模拟考试数学（理)试题 【答案】A 【解析】 【分析】 根据 轴正半轴上的角的余弦值也大于 0 以及充分条件、必要条件的定义可得答案. 【详解】 当 为第一或第四象限角时， ，所以“ 为第一或第四象限角”是“ ”的充分条件， 当 时， 为第一或第四象限角或 轴正半轴上的角，所以“ 为第一或第四象限角”不是“ ” 的必要条件， 所以“ 为第一或第四象限角”是“ ”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】 本题考查了三角函数的符号规则，考查了充分必要条件的概念，属于基础题. (1 )(1 3 )z i i= + − i z z z ( )( )1 1 3 4 2z i i i= + − = − z θ cos 0θ > x θ cos 0θ > θ cos 0θ > cos 0θ > θ x θ cos 0θ > θ cos 0θ > 3 / 24 4．(本题 5 分)已知 是边长为 2 的等边三角形 边 上的动点，则 的值（ ） A．有最大值 B．是定值 C．有最小值 D．与 点的位置有关 【来源】2020 届黑龙江省哈尔滨市呼兰区第一中学校高三上学期期末数学（文）试题 【答案】B 【解析】 【分析】 先设 = ， = ， =t ，然后用 和 表示出 ，再由 = + 将 = 、 =t 代入可用 和 表示出 ，最后根据向量的线性运算和数量积运算可求得 的值，从而可得到答案． 【详解】 设 = = =t 则 = ﹣ = ﹣ ， 2=4= 2 • =2×2×cos60°=2 = + = +t﹙ ﹣ ﹚=﹙1﹣t﹚ +t , + = + , •﹙ + ﹚=﹙﹙1﹣t﹚ +t ﹚•﹙ + ﹚=﹙1﹣t﹚ 2+[﹙1﹣t﹚+t] +t 2 =﹙1﹣t﹚×4+2+t×4=6 故答案为：B 【点睛】 本题主要考查向量的数量积运算和向量的线性运算．高考对向量的考查一般不会太难，以基础题为主，而 且经常和三角函数练习起来考查综合题，平时要多注意这方面的练习． 5．(本题 5 分)数列 是等差数列， ， ，则 （ ） A．16 B．-16 C．32 D． 【来源】2020 届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文）试题 【答案】D P ABC BC ( )AP AB AC⋅ +   8 6 2 P AB a AC b BP BC b a BC AP AB BP AB a BP BC b a AP (AP AB⋅  )AC+ AB a AC b BP BC BC AC AB b a a b a → b AP AB BP a b a a b AB AC a b AP AB AC a b a b a ab b { }na 1 1a = 4 8a = 5a = 31 3 4 / 24 【解析】 【分析】 依据条件求出公差，由通项公式即可求出。 【详解】 因为 ，所以 ， 又因为 ，所以 ， 可得 ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查等差数列通项公式的应用。 6．(本题 5 分)已知函数 ，将 的图象向左平移 个单位长度， 再向上平移 1 个单位长度得到函数 的图象，则 的最大值为 　　 A．1 B．2 C．3 D．4 【来源】2020 届陕西省高三下学期第四次模拟考试数学(文)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 首先利用三角函数关系式的恒等变换，把三角函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数 g（x）的 关系式，最后求出函数的最值． 【详解】 由题意得 ， ， ， 将 的图象向左平移 个单位长度得到函数： ， 4 8a = 1 3 8a d+ = 1 1a = 7 3d = 5a = 1 4a d+ = 31 3 ( ) 2f x 2sinxcosx 2 3sin x 3= + − ( )y f x= π 6 ( )y g x= ( )g x ( ) ( ) 2f x 2sinxcosx 2 3sin x 3= + − sin2x 3cos2x= − π2sin 2x 3  = −   ( )y f x= π 6 π πy 2sin 2 x 2sin2x6 3   = + − =     5 / 24 再将函数 向上平移 1 个单位长度得到函数 的图象， 即 ， 所以当 时， ， 故选 C． 【点睛】 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，函数的对称性的应用，主 要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 7．(本题 5 分)已知 ， 是相异两平面； 是相异两直线，则下列命题中假命题的是 （ ） A．若 ， ，则 B．若 ， ，则 C．若 ， ，则 D．若 ， ，则 【来源】安徽省“庐巢六校联盟”2019-2020 学年高二上学期第二次段考数学（理)试题 【答案】C 【解析】 【分析】 在 A 中，由直线与平面垂直的判定定理可得真假； 在 B 中，由平面与平面平行的判定定理可得真假； 在 C 中， 与 平行或异面； 在 D 中，由平面与平面垂直的判定定理可得真假． 【详解】 解：在 A 中：若 ， ，则由直线与平面垂直的判定定理得 ，故 A 正确； 在 B 中：若 ， ，则由平面与平面平行的判定定理得 ，故 B 正确； 在 C 中：若 ， ，则 与 平行或异面，故 C 错误； 在 D 中：若 ， ，则由平面与平面垂直的判定定理得 ，故 D 正确． 故选 C． y 2sin2x= ( )y g x= ( )g x 2sin2x 1= + ( )πx kπ k Z4 = + ∈ maxg(x) 3= α β ,m n m n m α⊥ n α⊥ m α⊥ m β⊥ α β∥ m α nα β = m n m α⊥ m β⊂ α β⊥ m n m n m α⊥ n α⊥ m α⊥ m β⊥ α β∥ m α nα β = m n m α⊥ m β⊂ α β⊥ 6 / 24 【点睛】 本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的 合理运用． 8．(本题 5 分)已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 为增函 数，记 ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【来源】天津市南开区 2019-2020 学年高三下学期第五次月考数学试题 【答案】D 【解析】 【分析】 先比较 , ,0 的大小，然后由函数的单调性得出结论． 【详解】 ∵数 满足 ，∴ 的图象关于直线 对称，又 时， 递增， 所以 时， 递减， ， 由指数函数性质得 ，所以 ，即 ． 故选：D． 【点睛】 本题考查函数的对称性、单调性，考查指数函数的性质与对数的运算．掌握指数函数的性质与函数的对称 性是解题关键． 9．(本题 5 分)“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法.在公元 年左右，由魏晋时期的数学家刘徽 发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求 .当时刘微就是利用这种方法，把 的近似值计算到 和 之间，这是当时世界上对圆周率 的计算最精确的数据.这种方法的可 贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割 之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生 了巨大影响，在欧洲，这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周 率 ，则 的近似值是（ ）（精确到 ）（参考数据 ） R ( )y f x= ( ) ( )( )4f x f x x R= − ∈ 2x > ( )f x ( )0.51.1a f= ( )1.10.5b f= 0.5 1log 16c f  =    , ,a b c c b a< < c a b< < b a c< < a b c< < 0.51.1 1.10.5 ( )y f x= ( ) ( )( )4f x f x x R= − ∈ ( )f x 2x = 2x > ( )f x 2x < ( )f x 0.5 1(log ) (4) (0)16f f f= = 0.5 1.12 1.1 1 0.5 0> > > > 0.5 1.1(1.1 ) (0.5 ) (0)f f f< < a b c< < π 263 π π 3.1415 3.1416 π π π 0.01 sin15 0.2588≈ 7 / 24 A． B． C． D． 【来源】2020 届北京市怀柔区高三一模数学试题 【答案】C 【解析】 【分析】 假设圆的半径为 ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角形，顶角为 ，计 算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果. 【详解】 设圆的半径为 ， 以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角形 且顶角为 所以正二十四边形的面积为 所以 故选：C 【点睛】 本题考查分割法的使用，考验计算能力与想象能力，属基础题. 10．(本题 5 分)已知函数 ，若方程 有 5 个零点，则 a 的取值范 围是( ) 3.05 3.10 3.11 3.14 r 360 24  r 360 1524 =  2124 sin15 12 sin152 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = r r r 2 212 sin15 12sin15 3.11π π= ⇒ = ≈ r r ( ) 2 , 1 2ln , 1 x x xf x x x  − ≤=  > ( ) ( ) ( )2g x f x af x= + 8 / 24 A． B． C． D． 【来源】云南省 2020 届高三考前第九次适应性训练数学（理)试题 【答案】B 【解析】 【分析】 画出函数 的图象，分析可得函数 的图象和直线 有且仅有 3 个交点，由此可求出答案． 【详解】 解：由题意，画出函数 的图象如图， 由 ，得 ，或 ， 由图可知， 时有两个实数根，则 有三个实数根， 即函数 的图象和直线 有且仅有 3 个交点， 由图可知， ，则 ， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 10, 4      1 ,04  −   ( )0, ∞+ 1, 4  −∞ −   ( )f x ( )f x y a= − ( )f x ( ) ( ) ( )2 0g x f x af x= + = ( ) 0f x = ( )f x a= − ( ) 0f x = ( )f x a= − ( )f x y a= − 10 4a< − < 1 04 a− < = 1 2 9t t = 1 3t > 2 1 9 3t t = < 1 2 31x x x< < < 1 1 ln3 3x x − > 2 2 ln3 3x x − < 3 3 ln3 3x x − < 1 1 1 ln3 =x tx − 32 2 2 3 lnln3 3 xx tx x − = − = ( ) 2 231 2 1 2 1 2 3 lnln ln3 3 3 81xx x t tx x x   − − − = =             ( ) ( ) ( ) ( )2 29 ln 3 ln 3 3 0f x x a x x a x= + − + − = ( )( ) ( )223 ln 3 9 lna x x x x− − = − ( ) 2 2 2 ln99 ln3 ln3 ln 3 x x xa xx x x x    − = =− − ln3 xt x = − ( )0,t ∈ +∞ ln 3x tx = − 2 2 1 ln ln 1x xt x x − −′ = − = 0t′ = x e= ( )0,t e∈ 0t′ < t ( ),t e∈ +∞ 0t′ > t 11 / 24 ∴ ， ， ∴a﹣3 ∴ . 设关于 t 的一元二次方程有两实根 ， ， ∴ ，可得 或 . ∵ ，故 ∴ 舍去 ∴ 6， . 又∵ ，当且仅当 时等号成立， 由于 ，∴ ， （不妨设 ）. ∵ ，可得 ， ， . 则可知 ， . ∴ . 故选：A. 【点睛】 本题考查函数零点与方程根的关系，考查数学转化思想方法，考查一元二次方程根的分布，属难题. 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。（16 题第一空 2 分，第二空 3 分。） 13．(本题 5 分)公比为正数的等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 的值为 min 13t e = − 13 ,t e  ∈ − +∞  2 29(3 ) 9 54 81t t t t t − − += = ( )29 51 81 0t a t− + + = 1t 2t ( )251 4 9 81 0a∆ = + − × × > 3a > 105a < − ( )29 33 0ta t −− = > 3a > 105a < − 1 2 51 51 3 9 9 at t + ++ = =＞ 1 2 9t t = 1 2 1 1 9 2 9 6t t t t + = + ≥ = 1 2 3t t= = 1 2 6t t+ ≠ 1 3t > 2 1 9 3t t = < 1 2t t> 1 2 31x x x< < < 1 1 ln3 3x x − > 2 2 ln3 3x x − < 3 3 ln3 3x x − < 1 1 1 ln3 =x tx − 32 2 2 3 lnln3 3 xx tx x − = − = ( ) 2 231 2 1 2 1 2 3 lnln ln3 3 3 81xx x t tx x x   − − − = =             { }na n nS 2 2a = 4 25 0S S− = 6 3S S− 12 / 24 __________． 【来源】2020 届江苏省苏州市吴中区高三高考模拟数学试题 【答案】56 【解析】 【分析】 根据已知条件求等比数列的首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可得到答案. 【详解】 ， ， . 故答案为： . 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、 运算求解能力. 14．(本题 5 分)宋元时期杰出的数学家朱世杰在其数学巨著《四元玉鉴》中提出了一个“茭草形段”问题： “今有茭草六百八十束，欲令‘落一形’埵(同垛)之，问底子几何？”他在这一问题中探讨了“垛积术” 中的落一形垛(“落一形”即是指顶上一束，下一层 3 束，再下一层 6 束，……，)成三角锥的堆垛，故也 称三角垛，如图，表示从上往下第二层开始的每层茭草束数，则本问题中的三角垛倒数第二层茭草总束数 为______． 【来源】【全国市级联考】广东省阳江市高二下学期期末检测数学（理)试题 【答案】120 【解析】 试题分析：由题意，第 n 层茭草束数为 1+2+…+n= ，利用 1+3+6+…+ =680，求出 n，即 可得出结论．  2 2a = 4 25 0S S− = ∴ 1 14 2 1 1 2, 1, (1 ) (1 )5 , 2,1 1 a q a a q a q qq q = = ⇒− − = = − − ∴ 3 4 5 6 3 4 5 6 2 2 2 56S S a a a− = + + = + + = 56 n 13 / 24 解：由题意，第 n 层茭草束数为 1+2+…+n= ， ∴1+3+6+…+ =680， 即为 [ n（n+1）（2n+1）+ n（n+1）]= n（n+1）（n+2）=680， 即有 n（n+1）（n+2）=15×16×17， ∴n=15，∴ =120． 故答案为 120 考点：归纳推理． 15．(本题 5 分)已知正数 a，b 满足 ，则 的最小值等于_______________． 【来源】江苏省 2020 届高三下学期 6 月模拟考试数学试题 【答案】 【解析】 【分析】 先利用 1 代换，再根据基本不等式求最小值. 【详解】 当且仅当 时取等号，因此 的最小值等于 故答案为： 【点睛】 本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 16．(本题 5 分)某公司 位员工的月工资（单位：元）为 、 、…、 ，其均值和方差分别为 和 ， 若从下月起每位员工的月工资增加 元，则这 位员工下月工资的均值和方差分别为________， __________. 【来源】专题 10.2 统计与统计案例（练)-江苏版《2020 年高考一轮复习讲练测》 1a b+ = 2 2b a ab + 2 2 2+ 1a b+ = ∴ 2 2 2 2 2 22 2 ( ) 2 2 2= 2 2 2 2 2b a b a a b b a b a ab ab ab ab + + + + ⋅= + ≥ + = + 2 2b a= 2 2b a ab + 2 2 2+ 2 2 2+ 10 1x 2x 10x x 2s 100 10 14 / 24 【答案】 【解析】 【分析】 由题意得出 ， ，然后利用平均数和方差公式可计算出这 位员工下月工 资的均值和方差. 【详解】 由题得 ， ， 若从下月起每位员工的月工资增加 元，则这 位员工下月工资分别为 、 、 、 ， 均值为 ， 方差为 . 故答案为： ； . 【点睛】 本题考查平均数和方差的计算，灵活利用平均数和方差公式计算是解答的关键，考查计算能力，属于基础 题. 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题，每个试题考生 都必须作答。第 22、23 题选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。 17．(本题 12 分)《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经 验公式为：弧田面积= （弦´矢+矢 2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦 长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差. 按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为 ，弦长等于 9 米的弧田. 100x + 2s 10 1 1 10 i i x x = = ∑ ( )10 22 1 1 10 i i s x x = = −∑ 10 10 1 1 10 i i x x = = ∑ ( )10 22 1 1 10 i i s x x = = −∑ 100 10 1 100x + 2 100x +  10 100x + ( )10 10 10 1 1 1 1 1 1100 100 10 100 10010 10 10i i i i i i x x x x x = = =  ′ = + = + × = + = +   ∑ ∑ ∑ ( ) ( ) ( )10 102 22 2 1 1 1 1100 10010 10i i i i s x x x x s = =  ′ = + − + = − = ∑ ∑ 100x + 2s 15 / 24 （1）计算弧田的实际面积； （2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方 米？（结果保留两位小数） 【来源】重庆市南岸区 2019-2020 学年高一上学期期末数学试题 【答案】(1) ( )；(2)少 ． 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式 来计算弧田面积，弧田面积等于扇形 面积 对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得． 试题解析：(1) 扇形半径 ， 扇形面积等于 弧田面积= （m2） （2）圆心到弦的距离等于 ，所以矢长为 .按照上述弧田面积经验公式计算得 （弦´矢+矢 2）= . 平方米 按照弧田面积经验公式计算结果比实际少 1.52 平米. 考点：(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式． 18．(本题 12 分)如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ， . 27 39 4 π − 2m 1.52 2m 21 1 2 2S lr rα= = − P ABCD− PD ⊥ ABCD / /CD AB 2AD CD BC= = = 4AB = 16 / 24 （1）求证:平面 平面 ； （2）若三棱锥 的体积为 ，求 的长. 【来源】2020 年陕西省高三教学质量检测卷（一)数学文科试题 【答案】（1）证明见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）过点 作 于点 .由已知可以证明出四边形 是等腰梯形，利用勾股定理的逆定理通过 计算可以证明出 ，结合已知的线面垂直关系，可以得到 ，这样通过线面垂直的判定定 理和面面垂直的判断定理证明即可； （2）利用三棱锥的体积公式和三棱锥的体积性质进行求解即可. 【详解】 （1）证明：如图，过点 作 于点 .因为 ，所以四边形 是等腰梯形，可得 ，所以 ，所以 .又因为 平面 平面 ，所以 .因为 平面 ，所以 平面 .因为 平面 ，所以平面 平面 . PAD ⊥ PBD C PBD− 3 PB 21 D DE AB⊥ E ABCD BD AD⊥ BD PD⊥ D DE AB⊥ E / / , 2, 4CD AB AD CD BC AB= = = = ABCD 1, 3, 3, 2 3AE BE DE BD= = = = 2 2 2AB AD BD= + BD AD⊥ PD ⊥ ,ABCD BD ⊂ ABCD BD PD⊥ , ,AD PD D PD AD∩ = ⊂ PAD BD ⊥ PAD BD ⊂ PBD PAD ⊥ PBD 17 / 24 （2） .因为三棱锥 的体积为 ，所以 解得 .在 中， ， 所以 . 【点睛】 本题考查了利用面面垂直的判定定理证明面面垂直，考查了三棱锥体积公式的应用，考查了推理论证能力 和数学运算能力. 19．(本题 12 分)《中华人民共和国道路交通安全法》第 47 条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减 速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全 法》第 90 条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣 3 分，罚款 50 元的处罚．下表是某市一主干路口监控设 备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 1 2 3 4 5 违章驾驶员 人数 120 105 100 90 85 （1）请利用所给数据求违章人数少与月份 x 之间的回归直线方程 ； （2）预测该路口 7 月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数； （3）交警从这 5 个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了 50 人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾 龄的关系，得到如下 2×2 列联表： 不礼让斑马线 礼让斑马线 合计 1 2 3 32BCDS = × × =△ C PBD− 3 1 1 3 33 3C PBD P BCD BCDV V S PD PD− −= = ⋅ ⋅ = × × =△ 3PD = Rt PDB△ 2 3, 3BD PD= = 2 2 2 2(2 3) 3 21PB BD PD= + = + = y bˆ ˆˆ x a= + 18 / 24 驾龄不超过 1 年 22 8 30 驾龄 1 年以上 8 12 20 合计 30 20 50 能否据此判断有 97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？ 参考公式： ， . （其中 n＝a+b+c+d） P（K2≥k） 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【来源】 2019-2020 学年高二下学期 4 月自主测试数学试题 【答案】（1） ；（2）66 人；（3）有 的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄 关． 【解析】 【分析】 （1）利用所给数据计算 、 ，求出回归系数，写出回归直线方程； （2）由（1）中的回归直线方程计算 x=7 时 的值即可； （3）由列联表中数据计算 K2，对照临界值得出结论． 【详解】 （1）由表中数据知， ， ∴ ， ∴ ， ∴所求回归直线方程为 ． ( )( ) ( ) n n i i i ii 1 i 1 n n 22 2 i ii 1 i 1 x y nxy x x y y b x nx x x ˆ = = = = − − − = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ˆa y bxˆ= − ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + ˆ 8.5 125.5y x= − + 97.5% x , y ˆy 3, 100x y= = 1 2 2 1 ˆ n i ii n ii x y nxy b x nx = = − = − ∑ ∑ 1415 1500 8.555 45 −= = −− ˆ 125.ˆ 5a y bx= − = 8.5 12 .5ˆ 5y x= − + 19 / 24 （2）由（1）知，令 ，则 人. （3）由表中数据得 ， 根据统计有 的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄关． 【点睛】 本题考查了线性回归方程与独立性检验的应用问题，是基础题． 20．(本题 12 分)椭圆 ： （ ）的离心率为 ，它的四个顶点构成的四边形面积为 . （1）求椭圆 的方程； （2）设 是直线 上任意一点，过点 作圆 的两条切线，切点分别为 ， ，求证： 直线 恒过一个定点. 【来源】2020 届陕西省咸阳市高三下学期第二次模拟考试数学(理)试题 【答案】（1） ；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆的基本性质列出方程组，即可得出椭圆方程； （2）设点 ， ， ，由 ， ，结合斜率公式化简得出 ， ，即 ， 满足 ，由 的任意性， 得出直线 恒过一个定点 . 【详解】 （1）依题意得 ，解得 即椭圆 ： ； 7x = 8.5 7 1ˆ 25.5 66y = − × + = ( )2 2 50 22 12 8 8 50 30 20 30 20 9K × × − ×= =× × × 5.556 5.024≈ > 97.5% C 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 2 2 2 2 C P 2x a= P 2 2 2x y a+ = M N MN 2 2 12 x y+ = ( )02,P y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y PM OM⊥ PN ON⊥ 1 1 02 2 0x y y− − = 2 2 02 2 0x y y− − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 02 2 0x yy− − = 0y MN (1,0) 2 2 2 1 2 2 2 22 2 2 a b c a b c a   = +  ⋅ ⋅ =   = 2 2 2 2 1 a b c  =  = = C 2 2 12 x y+ = 20 / 24 （2）设点 ， ， 其中 ， 由 ， 得 ， 即 ， 注意到 ， 于是 ， 因此 ， 满足 由 的任意性知， ， ，即直线 恒过一个定点 . 【点睛】 本题主要考查了求椭圆的方程，直线过定点问题，属于中档题. 21．(本题 12 分)已知函数 ， 在点 处的切线与 轴平行. （1）求 的单调区间； （2）若存在 ，当 时，恒有 成立，求 的取值范围. 【来源】 2019-2020 学年高三下学期 3 月开学摸底数学（文）试题 【答案】(1)增区间 减区间 (2) 【解析】 试题分析： 先求出函数的导数，令导函数大于 ，解出即可； （2）构造新函数 ，求导，分类讨论 的取值，在不同情况下讨论，取 ( )02,P y ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 2 2 1 1 2x y+ = 2 2 2 2 2x y+ = PM OM⊥ PN ON⊥ 1 0 1 1 1 12 y y y x x − ⋅ = −− 2 0 2 2 2 12 y y y x x − ⋅ = −− 2 2 1 1 1 1 02 0x y x y y+ − − = 2 2 2 2 2 2 02 0x y x y y+ − − = 2 2 1 1 2x y+ = 2 2 2 2 2x y+ = 1 1 02 2 0x y y− − = 2 2 02 2 0x y y− − = ( )1 1,M x y ( )2 2,N x y 02 2 0x yy− − = 0y 1x = 0y = MN (1,0) ( ) ( )ln 1f x x a x= − + a R∈ ( )( )1, 1f x ( )f x 0 1x > ( )01,x x∈ ( ) ( )2 12 12 2 xf x x k x− + + > − k 01)（ ， (1, )+∞ ( ,1).−∞ ( )1 0 ( ) ( )2 1ln 12 2 xg x x x k x= − + − − − k 21 / 24 得最后结果 解析：（1）由已知可得 的定义域为 （2）不等式 可化为 ， ，不适合题意. 适合题意. 适合题意. 综上， 的取值范围是 点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时 含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围 ( )f x ( )0, .+∞ ( ) 1 ,f x ax =′ − ( )1 1 0,f a∴ = − =′ 1.a∴ = ( ) 1 11 ,xf x x x −∴ = − =′ ( ) 0 0 1,f x x>′ < − ( )2 1ln 12 2 xx x k x− + − > − ( ) ( )2 1ln 1 ,( 1),2 2 xg x x x k x x= − + − − − >令 ( ) ( )2 1 11 1 ,x k xg x x kx x − + − += − + − =′令 1,x > ( ) ( )2 1 1,h x x k x= − + − +令 ( ) 1 ,2 kh x x −=的对称轴为 1 1 1,2 k k − ≤ ≥ −当 时，即 ( ) 01 ) ,h x x易知 在（， 上单调递减 ( ) ( )1 1 ,h x h k∴ < = − ( )1, 0,k h x≥ ≤若 则 ( ) 0,g x∴ ′ ≤ ( ) 01 ) ,g x x∴ 在（， 上单调递减 ( ) ( )1 0g x g∴ < = ( )-1 1, 1 0,k h≤若 则 ( )0 01 ) 0,x x x g x∴ ∈ >′必存在 使得 （， 时 ( ) 01 ) ,g x x∴ 在（， 上单调递增 ( ) ( )1 0 ,g x g∴ > = 恒成立 1 1 1,2 k k − > < −当 时，即 ( )0 01 ) ,x h x x易知必存在 使得 在（， 上单调递增 ( ) ( )1 1 0,h x h k∴ > = − > ( ) 0,g x∴ ′ > ( ) 01 ) ,g x x∴ 在（， 上单调递增 ( ) ( )1 0 ,g x g∴ > = 恒成立 k ( ),1 .−∞ 22 / 24 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题积分。 选修 4-4：坐标系与参数方程 22．(本题 10 分)在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数 方程为 ，（ 为参数）以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）直线 的极坐极方程为 ，直线 与曲线 和 分别交于不同于原点的 两点，求 的值. 【来源】2020 届广东省清远市高三上学期期末教学质量检测数学（理)试题 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）将参数方程化简为普通方程，再利用公式转化为极坐标方程即可； （2）根据题意，利用 在极坐标中对应的 相同，将方程转化为极坐标进而求解. 【详解】 （1）由 得 两式平方相加，得 ， 又 ， 所以曲线 的极坐标方程为 . （2）由 得 xOy 1C 2 2 1 2, 22 x t t y t t  = + +  = + t 2C 2 2 cos , 2 sin x y α α  = + = α O x 2C l 4 πθ = l 1C 2C ,A B | |AB 2 4 cos 2 0ρ ρ θ− + = 3 2 ,A B θ 2 2 cos , 2 sin , x y α α  = + = 2 cos 2, 2 sin , x y α α  = − = 2 2( 2) 2x y− + = 2 2 2 , cos , sinx y x yρ ρ θ ρ θ= + = = 2C 2 4 cos 2 0ρ ρ θ− + = 2 2 1 2, 22 , x t t y t t  = + +  = + 2 2 2 2 2 1 14 2 , 2, 4y t x t xt t  = + + = + +    23 / 24 消去 ，得 ， 曲线 的极坐标方程为 . 设 ， 所以 ， 解得 ， . 故 . 【点睛】 本题考查将参数方程转换为极坐标方程，以及在极坐标方程中求解两点之间的距离. 选修 4-5：不等式选讲。 23．(本题 10 分)设函数 f(x)＝|x－a|. (1)当 a＝2 时，解不等式 f(x)≥4－|x－1|； (2)若 f(x)≤1 的解集为[0,2]， (m>0，n>0)，求证：m＋2n≥4. 【来源】专题 12.3 绝对值不等式（练)【文】-《2020 年高考一轮复习讲练测》 【答案】(1) ；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用零点分段法讨论 的取值范围，去绝对值解不等式即可. （2）根据不等式的解集求出 a，再利用基本不等式即可求解. 【详解】 (1)当 a＝2 时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4. t 2 4 , 4y x x=  1C 2 2( sin ) 4 cos sin 4cos , 4 2ρ θ ρ θ ρ θ θ ρ= ⇒ =  1 2, , ,4 4A B π πρ ρ          1 2 4cos 4 4 2 sin 4 π ρ π= = ( )22 2 2 22 2 2 2 0ρ ρ ρ− + = − = 2 2ρ = 1 2| | | 4 2 2 | 3 2AB ρ ρ= − = − = 3 2AB = 1 1 2 am n + = 1 7, ,2 2    −∞ − +∞      x 24 / 24 当 x≥2 时，原不等式化为 2x－3≥4，解得 x≥ ，所以 x≥ ； 当 1≤x＜2 时，原不等式化为 1≥4，无解； 当 x0，n>0)． 所以 m＋2n＝(m＋2n) ＝2＋ ， 当且仅当 m＝2n 时，等号成立 【点睛】 本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题. 7 2 7 2 1 2 1 2 1 7, ,2 2    −∞ − +∞      1 0 1 2 a a − =  + = 1 1 2m n + 1 1 2m n  +   2 22 2 42 2 n m n m m n m n + ≥ + ⋅ =