2020年高三校际联合考试
数学试题
2020．06
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
A． B． C． D．
2．已知复数为纯虚数(其中i为虚数单位)，则实数
A． B．3 C． D．
3．己知，则下列各式成立的是
A． B． C． D．
4．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为
A. B. C. D.
5．函数的部分图象大致是
6．已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则
A.3 B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为
A. B． C． D．
8．如图，体积为V的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点．为小球相交部分(图中阴影部分)的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
9．2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G时代．某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示(每项指标值满分为5分，分值高者为优)，则
A．P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商
B．三家设备商的产品组合指标得分相同
C．在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商
D．除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过Q设备商与R设备商
10．已知F是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，，…组成公差为d(d>0)的等差数列，则
A．该椭圆的焦距为6 B．的最小值为2
C．d的值可以为 D．d的值可以为
11．对于四面体ABCD，下列命题正确的是
A．由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的垂心
B．分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点
C．若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面
D．最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱
12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设X∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：．己
知函数，则
A．
B．是偶函数
C．
D．若的值域为集合，使得同时成立，则正整数的最大值是5
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则__________．
14．已知单位向量满足，则向量的夹角为_________．
15．设函数的最小值为，且
______，______.
(本题第一空2分，第二空3分)
16．已知函数，将函数的图象向右平移
个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作，己知常数，且函数内恰有2021个零点，则________.
四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．(10分)
已知等差数列满足，前7项和为．
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足的前项和．
18．(12分)
在①，②，③这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在△ABC中，分别为内角A，B，C的对边，且满足
．
(1)求A的大小；
(2)已知_______，_______，若△ABC存在，求△ABC的面积；若△ABC不存在，说明理由．(注：如果多种选择分别解答，按第一个解答计分．)
19．(12分)
如图所示，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，，E是CD的中点，底面ABCD，．
(1)证明：平面平面；
(2)求平面PAD和平面PBE所成二面角(锐角)的余弦值．
20．(12分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为F，A为抛物线上异于原点的任意一点，以AO为直径作圆，当直线OA的斜率为1时，．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)过焦点F作OA的垂线与圆的一个交点为M，交抛物线于P，Q(点M在P，Q之间)，记的面积为S，求的最小值．
21．(12分)
为了提高某生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造．为了对比技术改造前后的效果，采集了该生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度(单位：天)数据，并绘制了如下茎叶图：
(1)设所采集的40个连续正常运行时间的中位数为m，并将连续正常运行时间超过m和不超过m的次数填入上面的列联表，试写出的值；根据列联表，能否有95％的把握认为生产线技术改造与连续正常运行时间的中位数有关；
(2)工厂的一个生产周期为60天，生产线的运行需要进行维护．一个生产周期需设置几个维护周期，每个维护周期相互独立．工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费和保障维护费两种，对生产线设定维护周期为20天，即从开工运行到第20天进行正常维护，正常维护费为2千元／周期；在每个维护周期内，若生产线能连续运行，则不收取保障维护费；若生产线不能连续运行，则收取保障维护费，保障维护费在一个维护周期内只收费一次，第一个需保障维护的周期收费为1千元，在后面的维护周期中，如出现保障维护，收取的保障维护费在上次收取的保障维护费的基础上增加1千元．以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费X的分布列及其期望．
附：，
22．(12分)
已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)设都有成立，证明：
，都有。
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