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唐山市 2019—2020 学年度高三年级第二次模拟考试 文科数学参考答案 一．选择题： DACBA CBCBD BA 二．填空题： 13．7； 14． x2 4 ＋ y2 2＝1； 15．2 3 ； 16．32 3 ． 三．解答题： 17．解： （1）设数列{an}的公比为 q 依题意有，  a1＋a1q＝12， a1q3－a1q＝72， …3 分 两式相比，整理得 q(q－1)＝6，解得 q＝3 或 q＝－2． …5 分 因为{an}的各项均为正，所以 q＝3，a1＝3， 所以 an＝3n． …6 分 （2）bn＝log3an＝log33n＝n， cn＝ 1 bnbn＋1 ＝ 1 n(n＋1)＝1 n－ 1 n＋1， …8 分 所以 Tn＝1－ 1 2 ＋ 1 2 － 1 3 ＋…＋1 n－ 1 n＋1 ＝1－ 1 n＋1＝ n n＋1． …12 分 18．解： （1）由(m＋0.010＋0.015＋2×0.020＋0.030)×10＝1 得 m＝0.005， 故这些男志愿者中有 5 人不适合献血； 由(0.005＋0.010＋2n＋0.020＋0.035)×10＝1 得 n＝0.015， 故这些女志愿者中有 15 人不适合献血． 综上所述，这些志愿者中共有 20 人不适合献血． …4 分 （2）设男志愿者收缩压的中位数为 x（mmHg），则 110＜x＜120． 由 0.015×10＋0.020×10＋(x－110)×0.030＝0.5 得 x＝115， 因此，可以估计男志愿者收缩压的中位数为 115（mmHg）． …8 分 （3）95×0.05＋105×0.10＋115×0.15＋125×0.35＋135×0.20＋145×0.15＝125， 因此，可以估计女志愿者收缩压的平均值为 125（mmHg）． …12 分 19．解： （1）因为 CF⊥平面 ABCD，CD平面 ABCD，所以 CF⊥CD． …1 分 因为 AD＝2，AB＝BC＝1， 所以 AC＝CD＝ 2，AC2＋CD2＝AD2，则有 AC⊥CD， …3 分 因为 AE⊥平面 ABCD，CF⊥平面 ABCD， 所以 AE∥CF，则有 A，C，F，E 四点共面． …4 分 又 AC∩CF＝C，所以 CD⊥平面 ACFE， 因为 EF平面 ACFE，所以 CD⊥EF． …5 分 （2）由（1）可知，AC⊥平面 CDF，所以点 A 到平面 CDF 的距离为 AC＝ 2． 在△CDF 中，CF＝3，CD＝ 2 ，S△CDF＝3 2 2 ， 在△CDE 中，CD＝ 2 ，CE＝ 6，S△CDE＝ 3， …8 分 设点 F 到平面 CDE 的距离为 d， 由（1）可知，AE∥CF，CF平面 CDF，AE平面 CDF， 所以 AE∥平面 CDF，所以 VE-CDF＝VA-CDF …9 分 由 VF-CDE＝VE-CDF＝VA-CDF得，1 3S△CDE·d＝1 3S△CDF·AC， …10 分 所以 d＝ 3， 即点 F 到平面 CDE 的距离为 3. …12 分 20．解： （1）由 g (1)＝0 得 b＝1． …1 分 f (x)＝a(ln x＋1)，g (x)＝2x． 依题意可得 f (1)＝g (1)＝2， 所以 a＝2，b＝1． …4 分 （2）f (x)－g (x)＝2xln x－x2＋1＝x(2ln x－x＋ 1 x )，x＞0． …6 分 令 h (x)＝2ln x－x＋ 1 x，则 h (x)＝ 2 x－1－1 x2＝－( 1 x－1)2 ≤0， 所以 h (x)在(0，＋∞)上单调递减，又 h (1)＝0， 因此 0＜x＜1 时，h (x)＞h (1)＝0； x＝1 时，h (x)＝h (1)＝0； x＞1 时，h (x)＜h (1)＝0． …11 分 故 0＜x＜1 时，f (x)＞g (x)； x＝1 时，f (x)＝g (x)；x＞1 时，f (x)＜g (x)． …12 分 21．解： （1）依题意，F( p 2，0)，设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 当 l 的倾斜角为 45°时，l：y＝x－ p 2， 与 y2＝2px 联立得，x2－3px＋p2 4 ＝0，所以 x1＋x2＝3p． …2 分 从而|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝4，解得 p＝1， 所以，抛物线 C 的方程为 y2＝2x …4 分 （2）（ⅰ）设 l：x＝ty＋ 1 2，与 y2＝2x 联立得 y2－2ty－1＝0， 所以 y1＋y2＝2t，x1＋x2＝t(y1＋y2)＋1＝2t2＋1． …6 分 设点 N(x0，y0)，由题意可得，x1＋x2＝x0＋m；y1＋y2＝y0， 所以 x0＝2t2＋1－m；y0＝2t， 又 N 在抛物线 C 上，所以(2t)2＝2(2t2＋1－m)， 解得 m＝1． …8 分 （ⅱ）由（ⅰ）得，y1＋y2＝2t，y1y2＝－1， S＝2S△AMB＝|MF|×|y1－y2|＝ 1 2 (y1＋y2)2－4y1y2＝ 1＋t2， 所以 t＝0 时，S 取得最小值为 1． …12 分 22．解： （1）由 x＝ρcos α，y＝ρsin α，ρ2＝x2＋y2 得 曲线 C：ρ2－2ρcos α＝0，即 ρ＝2cos α； 直线 l：θ＝3π 4 （ρ∈R）． …4 分 （2）依题意，设 P(ρ，α)，－ π 2＜α＜ π 2，则|OP|＝2cos α， …5 分 所以|OH|＝|OP|·|cos (α＋ π 4 )|＝2cos α·|cos (α＋ π 4 )|， |PH|＝|OP|·|sin (α＋ π 4 )|＝2cos α·|sin (α＋ π 4 )|， …7 分 因此 S△POH＝ 1 2·|OH|·|PH| ＝2cos 2α·|cos (α＋ π 4 )·sin (α＋ π 4 )| ＝cos 2α|cos 2α－sin2α| ＝|cos 2α(2cos 2α－1)| ＝|2(cos 2α－ 1 4)2－ 1 8|． …9 分 所以当 cos 2α＝1,即 α＝0 时，S△POH 取得最大值 1． …10 分 23．解： （1）因为 x＞0，y＞0，所以 x＋y≥2 xy， 由 x＋y＝2xy 得 2xy≥2 xy， 故 xy≥1，xy≥1，当且仅当 x＝y 时，等号成立． …4 分 （2）由 x＋y＝2xy 得 1 x＋ 1 y＝2． …5 分 |x|＋ 2y |x|＝ 1 2( 1 x＋ 1 y)|x|＋ 2y |x|＝|x| 2x ＋|x| 2y ＋ 2y |x|≥|x| 2x ＋2≥ 3 2． …9 分 当且仅当|x| 2y ＝ 2y |x|，且 x＜0 时，两个等号同时成立， 即当且仅当 x＝－ 1 2且 y＝ 1 4，|x|＋ 2y |x|的最小值是 3 2． …10 分