福建龙岩市2020年高中毕业班六月份教学质量检查文科数学试题Word版 含答案

龙岩市 2020 年高中毕业班六月份教学质量检查 文科数学 2020.6.5 本试题卷共 5 页,23 题(含选考题).全卷满分 150 分.考试用时 120 分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项: 1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答 题卡上的指定位置. 2.选择题的作答:每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡.上对应题目的答案标号涂黑.写在试 卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效. 4.选考题的作答:先把所选题目的题号在答题卡指定的位置用 2B 铅笔涂黑.答案写在答题卡 上对应的答题区域内,写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效. 5.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交. 一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 1.复数 A. B C. D. 2.已知全集 U=R,集合 ,则 A. (1,3) B.[1,3] C. D. 3.设 Sn 是等比数列 的前 n 项和,且 a3= ,S3= ,则 a1= A. B.6 C. 或 6 D. 4.已知向量 、 满足 ，则向量 ， 的夹角为 A. B. C. D. 5.用数字 1,2,3 组成无重复数字的三位数,那么所有的三位数中是奇数的概率为 A. B. C. D. 6.执行如图所示的程序框图,若输入 k，n 的值均是 0,则输出 T 的值为. A.9 B.16 C.25 D.36 7.已知△ABC 中的内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c, ，a=7,c=5,则 sinA: sinB= 1 3 i i =+ 3 1 10 10 i− 3 1+10 10 i 1 3 10 10 i− 1 3 10 10 i+ { }2 1M x x= − ≤ UC M = ( ,1) (3, )−∞ +∞ ( ,1] [3, )−∞ +∞ { }( )na n N ∗∈ 3 2 9 2 3 2 3 2 3 62 − −或 a b 1, 2, 2 2a b a b= = − =    a b 6 π 3 π 4 π 2 π 1 3 1 6 1 2 2 3 3A π=A. B. C. D. 8.若过直线 3x-4y+2=0 上一点 M 向圆 Γ:(x-2)2+(y+3)2=4 作一条切线于切点 T, 则|MT|的最小值为. A. B.4 C. D. 9.已知 为第二象限角, ,则 tan2 = A. B. C. 或 D. 10.若关于 x 的不等式 恒成立,则实数 a 的取值范围为 A.[e,+∞) B.[ ,+∞) C.[1, +∞) D. [2,十∞) 11.设 A,B 为双曲线 Γ: 的左,右顶点,F 为双曲线 Γ 右焦点,以原点 O 为圆心， 为半径的圆与双曲线 Γ 的一条渐近线的一个交点为 M,连接 AM, BM,则 tan∠AMB = A.4 B. C.2. D. 11.已知数列 满足 ,又 的前项和为 Sn,若 S6=52,则 a5= A.13 B.15 C.17 D.31. 12. 已知函数 ,满足不等式 在 R 上恒成立，在 上恰好只有一个极值点,则实数 . A. B. C. D. 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.函数 '在点(0,1)处的切线方程为_________________。 14.若实数 x、y 满足约束条件 ,则 z=2x -y 的最大值为___________。 15.一条河的两岸平行,河的宽度 d = 4km,一艘 船从岸边 A 处出发到河的正对岸,已知船的 速度 = 10km/h,水流速度 = 2km/h, . 7 3 3 7 5 3 3 5 10 2 2 2 3 α 3sin cos 3 α α+ = α 2 5 5 2 5 5 − 2 5 5 2 5 5 − 5 5 1 lnxaxe x x− ≥ + 2 e 2 2 14 x y− = OF 5 6 { }na 1 1( 2)n n na a a n+ −= + ≥ { }na ( ) sin( )( 0)4f x x πω ω= − > 9( ) ( )6f x f π≥ − 3 2 2 π π（ ， ） =__ω 3 4 19 18 27 2 3 2 2(2 1) xy x e= + 1 1 3 0 3 3 0 x y x y x y − + ≥  + − ≤  + − ≥ 1v 2v那么行驶航程最短时，所用时间是_____ (h). (附: ≈2.449,精确到 0. 01h) 16. 9.在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面 ABC,PA=2,AB=4,AC=3,∠BAC= ,则三棱锥 P-ABC 的 外接球的半径 R=________ 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题,每个 试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共 60 分 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 的前 n 项和 Sn, Sn =2n2 +bn,(n∈N* ),a3=11. (1)求数列 的通项公式; (2)若 ,求 之和. 18. (本小题满分 12 分) 某电讯企业为了了解某地区居民对电讯服务质量评 价情况，随机调查 100 名用户,根据这 100 名用户对该 电讯企业的评分,绘制频率分布直方图,如图所示，其 中样本数据分组为[40,50),[50,60),…… [90,100]. (1)估计该地区用户对电讯企业评分不低于 70 分的 概率,并估计对该电讯企业评分的中位数; (2)现从评分在[ 40, 60)的调查用户中随机抽取 2 人,求 2 人评分都在[40,50)的概 率(精确到 0.1). 6 3 π { }na { }na n n Sb n = 1 2 2 3 1 1 1 1 n n n T b b b b b b + = + + +19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,在四边形 ABCD 中,∠ABC= ,AB=4,BC=3,CD= ,AD=2 ,PA=4. (1)证明:CD⊥平面 PAD; (2)求 B 点到平面 PCD 的距离 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 Γ: 的左,右焦点分别为 F1( ,0),F2( ,0),椭圆的左,右 顶 点 分 别 为 A,B, 已 知 椭 圆 Γ 上 一 异 于 A,B 的 点 P ,PA,PB 的 斜 率 分 别 为 k1,k2, 满 足 . (1)求椭圆 Γ 的标准方程; (2)若过椭圆 Γ 左顶点 A 作两条互相垂直的直线 AM 和 AN,分别交椭圆 Γ 于 M,N 两点,问 x 轴上是否存在一定点 Q,使得∠MQA=∠NQA 成立,若存在,则求出该定点 Q,否则说明理由. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 (1)求 的单调区间； (2)若不等式 在 时恒成立,求实数 a 的取值范围; 2 π 5 5 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b + = > > 2− 2 1 2 1 2k k = − ( ) ln(1 ) ( )f x x ax a R= + − ∈ ( )f x 2( ) 1 xf x e≥ − 0x ≥ (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计 分. 22. [选修 4-4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 是曲线 C: (t 为参数)上的动点,以坐标 原 点 O 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 : (1)求曲线 C1,C2 的直角坐标下普通方程; (2)已知点 Q 在曲线 C2 上,求 的最小值以及取得最小值时 P 点坐标. . 23. [选修 4-5:不等式选讲] (本小题满分 10 分) 已知 (1)若关于 x 的不等式 f(x)≤3 的解集为 ,求实数 a 的值; (2)若 时,不等式 恒成立.求实数 a 的取值范围. 1 12( ) x t t y t t  = +  = − 2= sin 3cos ρ θ θ− PQ ( ) 1 ,f x ax a R= + ∈ { }2 1x x− ≤ ≤ 1(0, )2x∈ ( ) 2 2 1f x x≤ − −文科数学参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C B D B A D A C A D 二、填空题： 13. 14. 15. 0.41 16. 三、解答题： 17.（本小题满分 12 分） 解:(1) , , 从而 . ……………………………………..6 分 （2） …………………………………………………………………………………………………………. 12 分 18.（本小题满分 12 分） 解：(1)该地区用户对电讯企业评分的分布 评分 频率 0.04 0.06 0.20 0.28 0.24 0.18 因此评分不低于 70 分的概率为 p=0.28+0.24+0.18=0.70. 对该电讯企业评分的中位数设为 x,则 ………………………………………………… 6 分 (2)受调查用户评分在 的有 人，若编号依次为 1，2，3，4.从中选 2 人的事件有｛12，13，14，23，24，34｝共有 3+2+1=6 种。 1 0x y− + = 6 4 3 3 22 ,( , 1)nS n bn n N N= + ∈ ≥ 2 2 3 3 2 (2 3 3 ) (2 2 2 ) 11a S S b b∴ = − = ⋅ + − ⋅ + = 1b∴ = 22 ,( , 1)nS n n n N N∴ = + ∈ ≥ 1 1 3,a S∴ = = 1 4 1( 2)n n na S S n n−= − = − ≥ 4 1( 1)na n n= − ≥ 2 1n n Sb nn = = + 1 2 2 3 1 1 1 1... 1 1 1...3 5 5 7 (2 1) (2 3) 1 1 1( )2 3 2 3 2(2 3) n n n T b b b b b b n n n n n + = + + + = + + +⋅ ⋅ + ⋅ + = − =+ + [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) [80,90) [90,100] 700.04+0.06+0.20+ 0.28 0.50, 77.1410 x x − × = = [40,50) 100 0.004 10=4× ×受调查用户评分在 的有 人，若编号依次为 1，2，3，..9,10.从中 选 2 人的事件,同理可求有 9+8+7+...+2+1=45 种， 因此 2 人评分都在 的概率 . …………………………. 12 分 19.（本小题满分 12 分） 解：（1）在平面 ABCD 中， , , ,即 ，又 PA⊥平面 ABCD，则 . …………………………………………………………………………………. 6 分 （2）在平面 ABCD 中，过 A 作 BC 的平行线交 CD 的延长线于 M， , , 又 ，则 由 可知： ，则 ， 因此 点到平面 的距离为 。……………………………………………………………. 12 分 20.（本小题满分 12 分） 解:(1)设 , , ， 则 椭圆 的标准方程为 。 ……………………………………………………………. 4 分 （2）由（1）知 ，且直线 和 的斜率存在，设直线 和 的方程分别 为 [40,60) 100 0.01 10=10× × [40,50) 6 2 45 15p = = , 4, 32ABC AB BC π∠ = = = 5CD = 2 5AD = 5, 2AC CDA π∴ = ∠ = AD CD⊥ PA CD⊥ CD PAD∴ ⊥ 平面 2 2ABC BAM π π∠ = ∴∠ = , 4, 32ABC AB BC π∠ = = = 5CD = 2 5AD = 3 11 14 2tan cot( ) 3 1 2 4 2 DAM BAC CAD − ⋅ ∠ = ∠ + ∠ = = + 2 5AD = 5MD = P BCM B PCMV V− −= BCM PCM B PCMS PA S h −⋅ = ⋅   6 6 5 , 4B PCMPA h PA−⋅ = ⋅ = 4= 5B PCMh − P PCD 4 5 5 0 0( , )P x y 2 0 0 2 0 0 1 2PA PB y y bk k x a x a a ⋅ = ⋅ = − = −− + 2c = 2, 2b a= = ∴ Γ 2 2 4 2 1x y+ = ( 2,0)A − AM AN AM AN和 ，设 ，联立 ， 直线 和椭圆 交于 两点 ， ， 同理 , 设 轴上存在一定点 ，使得 成立, ,则 , 因 此 轴 上 存 在 一 定 点 ， 使 得 成 立 ……………………………………………………………. 12 分 21.（本小题满分 12 分） 解：（1）对 求导数得： 若 时， ，因此 在 时为增区间； 若 时， ， 因此 在 时为减区间，在 时为增区间。…………………………. 5 分 (2)设 ，求函数导数得: ( 2)y k x= + 1 ( 2)y xk = − + ( , ), ( , )M M N NM x y N x y 2 2 2 22 2 ( 2) (1 2 ) 8 8 4 0 14 2 y k x k x k x kx y = + ⇒ + + + − = + =  AM Γ ,A M 2 2 2 2 8 8 4( 2) ,( 2)1 2 1 2M M k kx xk k −∴ − + = − − =+ + 2 2 2 2 4 4, ( 2)1 2 1 2M M M k kx y k xk k −∴ = = + =+ + 2 2 2 2 4 4( , )1 2 1 2 k kM k k −∴ + + 2 2 2 2 4 4( , )2 2 k kN k k − − + + x Q（t , 0） MQA NQA∠ = ∠ 0QM QNk k+ = 0NM QM QN M N yyk k x t x t + = + =− − ( )M N N M M Ny x y x y y t⋅ + ⋅ = + ⋅ 2 2 2 4 (6 6) (2 1)(2 )M N N M k ky x y x k k −⋅ + ⋅ = + + 2 2 2 4 ( 1) (2 1)(2 )M N k ky y k k − −+ = + + x Q（- 6, 0） MQA NQA∠ = ∠ ( ) ln(1 )f x x ax= + − ' 1( ) 1f x ax = −+ 0a ≤ ' 1( ) 01f x ax = − >+ ( )f x 1x > − 0a > ' 1( 1 )1( ) 1 1 a x af x ax x − + − = − =+ + ( )f x 1 1x a > − 11 1x a − < < − 2( ) ln(1 ) 1xg x x ax e= + − + − ' 2 1 1( ) 2 2(1 2 )1 1 xg x e a x ax x = + − ≥ + + −+ +在 时， ， 在 为增函数，则 ， 在 时，由 可知: 在 恒成立，则 在 单调递增， 而 ，因此存在 ，使得 ， 从而 在单调 递减，在单调 递增， 以 ，因此 不恒成立，不合题意， 综合以上可知:实数 的取值范围为 。 ……………………………………………. 12 分 22.（本小题满分 10 分） 解: (1)由 ： 消去参数 得到 由 ： . …………………………………………….5 分 (2) 设 ,则 到直线 的距离 此时 .……………………………………………. 10 分 23.（本小题满分 10 分） 解:（1）由 ，得 ，又 的解集为 ，所以 当 时，不合题意； +1 3ax ≤ -4 2ax≤ ≤ ( ) 3f x ≤ { }-2 1x x≤ ≤ 0a ≤ 3 1 12(1 2 ) (1 ) (1 ) 21 1 3 1 2 x a x x x ax x x x a + + − = + + + + + −+ + ≥ + + − 3a ≤ ' ( ) 0g x ≥ ( )g x 0x ≥ ( ) 0g x ≥ 3a > ' 2 1( ) 2 1 xg x e ax = + −+ '' 2 2 1( ) 4 0(1 ) xg x e x = − >+ 0x ≥ ' ( )g x 0x ≥ ' (0) 3 0g a= − < 0 0x > ' 0( ) 0g x = ( )g x 00 x x< < 0x x> 0( ) (0) 1g x g< = ( ) 1g x ≥ a 3a ≤ 1C 1 12( ) x t t y t t  = +  = − t 2 2 2 21 1( ) ( ) ( ) 42 yx t tt t − = + − − = 2 2 1 : 14 16 x yC∴ − = 2C sin 3 cos 2,ρ θ ρ θ− = 3 2y x∴ − = 1 1,2( ))P t tt t + −（ P 2C 3 2y x− =： PQ 2 2 1 1 53( ) 2( ) 2 2 101 3 t t tt t tPQ + − − + + + = = + 5 52 2 5 2, 2 2 5 2t tt t + + ≥ + + + ≤ − + 5 2 10 ,5PQ −∴ ≥ 6 5 8 55, ( , )5 5t P= − − −当 时， ，得 .……………………………………………. 5 分 （2）因为要使 在 恒成立， 所以 ，即 ，所以 。 所以 由①，得 ； 由②，使 在 恒成立，所以 。 因为 ，所以 。 综上，实数 的取值范围为 。……………………………………………. 10 分 >0a 4 2- xa a ≤ ≤ =2a 2|12||1| ≤−++ xax 2 10 + 2 10 622 −