2019-2020 学年怀柔区第二学期适应性练习
数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.第Ⅰ卷 1 至 2 页、第Ⅱ卷 3 至 4 页，共 150 分.考
试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分(选择题共 40 分)
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项.）
1.已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
分析】
根据交集的概念，可得结果.
【详解】由题可知： ，
所以
故选：A
【点睛】本题考查交集的概念，属基础题.
2.已知复数 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
把 两边同乘以 ，则有 ， ，故选 C.
3.函数 的最小正周期为（ ）
A. B. C. D.
【
{1,2}A = { }0 2B x x= < < A B =
{1} {1,2} {0,1,2}
{ }0 2x x< <
{1,2}A = { }0 2B x x= < <
{ }1A B∩ =
z 1iz i= − z =
1 i− − 1 i− 1 i− + 1 i+
i 1 iz = − i− ( )( )1 i · i 1 iz = − − = − − 1 iz∴ = − +
22cos 1y x= −
2
π π 2π 4π【答案】B
【解析】
【分析】
根据二倍角的余弦公式，可得 ，然后利用 ，可得结果.
【详解】由题可知：
所以最小正周期为
故选：B
【点睛】本题考查二倍角的余弦公式以及三角函数最小正周期的求法，重在识记公式，属基
础题.
4.函数 f(x)=|log2x|的图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
试题分析：易知函数值恒大于等于零，同时在（0，1）上单调递减且此时的图像是对数函数
的图像关于 x 轴的对称图形，在 单调递增．故选 A．
考点：已知函数解析式作图．
5.在等差数列 中，若 ，则 （ ）
cos2y x= 2T ω
π=
22cos 1 cos2y x x= − =
2 2
2T
π π πω= = =
{ }na 4 5 6 15a a a+ + = 2 8a a+ =A. 6 B. 10 C. 7 D. 5
【答案】B
【解析】
【分析】
根据等差数列的性质，可得 ，然后由 ，简单计算结果.
【详解】由题可知：
又 ，所以
故选：B
【点睛】本题主要考查等差数列的性质，若 ，则 ，考验计算，
属基础题.
6.已知圆 C 与圆(x－1)2＋y2＝1 关于原点对称，则圆 C 的方程为（ ）
A. x2＋y2＝1 B. x2＋(y＋1)2＝1
C. x2＋(y－1)2＝1 D. (x＋1)2＋y2＝1
【答案】D
【解析】
【分析】
利用对称性，可得点 坐标以及圆 的半径，然后可得结果.
【详解】由题可知：圆 的圆心 ，半径为
所以圆 的方程为：
故选：D
【点睛】本题考查圆的方程，直观形象，简单判断，对圆的方程关键在于半径和圆心，属基
础题.
7.已知 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
【答案】C
【解析】
5a 2 8 52a a a+ =
4 5 6 5 53 15 5+ + = = ⇒ =a a a a a
2 8 52a a a+ = 2 8 10a a+ =
m n p q+ = + m n p qa a a a+ = +
C C
C ( )1,0C − 1
C ( )2 21 1x y+ + =
1a = ( )a a b⊥ + 1a b⋅ = − 【分析】
根据向量的垂直关系，可得 ，简单计算，可得结果.
【详解】由 ，则
又 ，所以
若 ，且 ，所以 ，则
所以“ ”是“ ”的充要条件
故选：C
【点睛】本题考查向量的垂直的数量积表示以及计算，同时考查了充分、必要条件，识记概
念与计算公式，属基础题.
8.如图，网格纸上小正方形的边长均为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体
积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用数形结合，还原出原几何体的直观图，可得该几何体为一个三棱锥，然后根据锥体体积
公式简单计算即可.
【详解】根据三视图可知，该几何体的直观图为三棱锥 ，
如图
( ) 0a a b⋅ + =
( )a a b⊥ + 2( ) 0 0⋅ + = ⇒ + ⋅ = a a b a a b
1a = 1a b⋅ = −
1a b⋅ = − 1a = 2 0+ ⋅ = a a b ( )a a b⊥ +
( )a a b⊥ + 1a b⋅ = −
2
3
4
3 3 3
2
P ABC−
可知 ，点 到平面 的距离为
所以
故选：D
【点睛】本题考查三视图还原以及几何体体积，关键在于三视图的还原，熟悉常见的几何体
的三视图，比如：圆锥，圆柱，球，三棱锥等，属中档题.
9.已知 ，则下列不等式成立的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用作差比较法比较即得正确选项.
【详解】 = 所以 A 选项是错误的.
= 所以 B 选项是错误的.
= 所以 C 选项是错误的.
= 所以 D 选项是正确的.
.
【点睛】(1)本题主要考查不等式的性质和实数比较大小，意在考查学生对这些知识的掌握水
平和分析推理能力.(2)比较实数大小，常用包括比差和比商两种方法.比差的一般步骤是：作差
3, 1,= = ⊥AB BC AB BC P ABC 3h =
1 1 33 12 2 2△ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =ABCS AB BC
1 1 3 333 3 2 2△− = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =P ABC ABCV S h
0a b< <
2 2a b< 2a ab< 1 1
a b
< 1b
a
<
2 2a b− 2 2)( ) 0, ,a b a b a b+ − > ∴ >（
2a ab− 2( ) 0, .a a b a ab− > ∴ >
1 1
a b
− 1 10, .b a
ab a b
− > ∴ >
1b
a
− 0, 1.b a b
a a
− < ∴ <
D故选：→变形（配方、因式分解、通分等）→与零比→下结论；比商的一般步骤是：作商→变形（配
方、因式分解、通分等）→与 1 比→下结论.如果两个数都是正数，一般用比商，其它一般用
比差.
10.“割圆术”是我国古代计算圆周率 的一种方法.在公元 年左右，由魏晋时期的数学家刘
徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，进而求 .当时刘微就是利
用这种方法，把 的近似值计算到 和 之间，这是当时世界上对圆周率 的计
算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有
限的来逼近无穷的.为此，刘微把它概括为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，
则与圆合体，而无所失矣”.这种方法极其重要，对后世产生了巨大影响，在欧洲，这种方法后
来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”，若用正二十四边形来估算圆周率 ，则 的近似值
是（ ）（精确到 ）（参考数据 ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
假设圆的半径为 ，根据以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角形，顶角
为 ，计算正二十四边形的面积，然后计算圆的面积，可得结果.
【详解】设圆的半径为 ，
以圆心为顶点将正二十四边形分割成全等的 24 个等腰三角形
且顶角为
π 263
π
π 3.1415 3.1416 π
π π
0.01 sin15 0.2588≈
3.05 3.10
3.11 3.14
r
360
24
r
360 1524
=
所以正二十四边形的面积为
所以
故选：C
【点睛】本题考查分割法 使用，考验计算能力与想象能力，属基础题.
第二部分(非选择题共 110 分)
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分.）
11.已知抛物线 的焦点与双曲线 的右顶点重合，则抛物线的焦点坐标为
__________；准线方程为___________.
【答案】 (1). (2). ；
【解析】
【分析】
计算双曲线的右顶点坐标，可得抛物线的焦点坐标，进一步可得准线方程.
【详解】由题可知：双曲线 的右顶点坐标为
所以可知抛物线的焦点坐标为 ，准线方程为
故答案为： ；
【点睛】本题主要考查抛物线的方程的应用，审清题意，注意细节，属基础题.
12. 的展开式中 的系数是___________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
根据二项式定理的通项公式 ，简单计算，可得结果.
【详解】由题可知： 的通项公式为 ，
令
所以 的系数是
故答案为：
的
2124 sin15 12 sin152
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = r r r
2 212 sin15 12sin15 3.11π π= ⇒ = ≈ r r
2 2y px=
2
2 14
x y− =
(2,0) 2x = −
2
2 14
x y− = ( )2,0
( )2,0 2x = −
(2,0) 2x = −
7( 1)x + 3x
35
1 Cr n r r
r nT a b−
+ =
7( 1)x + 7
1 7
r r
rT C x −
+ =
7 3 4− = ⇒ =r r
3x 4
7 35C =
35【点睛】本题考查二项式中指定项的系数，掌握公式，细心计算，属基础题.
13.在 中， ， ， 为 的中点，则
___________.
【答案】 ；
【解析】
【分析】
计算 ，然后将 用 表示，最后利用数量积公式可得结果.
【详解】由 ， ，
所以
又 为 的中点，
所以
所以
故答案为：
【点睛】本题考查向量的数量积运算，给出已知的线段与相应的夹角，通常可以使用向量的
方法，将几何问题代数化，便于计算，属基础题.
14.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：如果顾客选购物品的总金额不超过 600 元，则不
享受任何折扣优惠；如果顾客选购物品的总金额超过 600 元，则超过 600 元部分享受一定的
折扣优惠，折扣优惠按下表累计计算.
某人在此商场购物获得的折扣优惠金额为 30 元，则他实际所付金额为____元．
【答案】1120
【解析】
【分析】
明确折扣金额 y 元与购物总金额 x 元之间的解析式，结合 y＝30＞25，代入可得某人在此商场
购物总金额, 减去折扣可得答案．
ABC∆ 60ABC∠ = 2 2BC AB= = E AC AB BE⋅ =
1−
BA BC⋅ BE ,BA BC
60ABC∠ = 2 2BC AB= =
1cos 1 2 12
⋅ = ∠ = × × = BA BC BA BC ABC
E AC
( )1
2
= + BE BA BC
( ) 21 1 1 1 1 12 2 2 2 2
⋅ = − ⋅ + = − − ⋅ = − − = − AB BE BA BA BC BA BA BC
1−【详解】由题可知：折扣金额 y 元与购物总金额 x 元之间的解析式，
y
∵y＝30＞25
∴x＞1100
∴0.1（x﹣1100）+25＝30
解得，x＝1150，
1150﹣30＝1120，
故此人购物实际所付金额为 1120 元．
【点睛】本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析
式是解答的关键．
15.若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是
___________.
【答案】 .
【解析】
【分析】
使用等价转化的思想，转化为 在 恒成立，然后利用分离参数的方法，结合
辅助角公式，可得 ，简单计算和判断，可得结果.
【详解】由题可知：
函数 在区间 上单调递减
等价于 在 恒成立
即 在 恒成立
则 在 恒成立
所以 ，
( )
( )
0 0 600
0.05 600 600 1100
0.1 1100 25 1100
x
x x
x x
≤
= − ≤
− +
，＜
， ＜
， ＞
( ) (cos )xf x e x a= − ( , )2 2
π π− a
[ 2, )+∞
' ( ) 0f x ≤ ( , )2 2
π π−
max
2 cos 4
π ≥ + a x
( ) (cos )xf x e x a= − ( , )2 2
π π−
' ( ) 0f x ≤ ( , )2 2
π π−
( )' ( ) cos sin 0= − − ≤xf x e x x a ( , )2 2
π π−
cos sin 2 cos 4
π ≥ − = + a x x x ( , )2 2
π π−
max
2 cos 4
π ≥ + a x由 ，所以
故 ，则
所以 ，即
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数的单调性求参，难点在于得到 在 恒成立，通过
等价转化的思想，化繁为简，同时结合分离参数方法的，转化为最值问题，属中档题.
三、解答题（共 6 小题，共 85 分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）
16.已知在 中， ， ，同时还可能满足以下某些条件：
① ；② ；③ ；④ .
（1）直接写出所有可能满足的条件序号；
（2）在（1） 条件下，求 及 的值.
【答案】（1）①，③；（2） ；
【解析】
【分析】
（1）根据大边对大角，可得 ，然后根据正弦定理，可得 .
（2）利用正弦定理，可得 ，然后利用余弦定理 ，简单计算可得结
果.
【详解】解：（1）①，③.
（2）由 ，可得
的
( , )2 2x
π π∈ − 3,4 4 4
π π π + ∈ − x
2cos ,14 2
π + ∈ −
x (2 cos 1, 24
π + ∈ − x
2a ≥ )2,∈ +∞a
)2, +∞
' ( ) 0f x ≤ ( , )2 2
π π−
ABC∆ 2a = 2b =
π
4A = B A> sin sinB A< 4c =
B c
6B
π= 3 1c = +
A B> sin sinB A<
B 2 2 2 2 cosa b c bc A= + −
sin sin
a b
A B
=
2 2
sinsin 4
Bπ =
22 sin 2 14 2sin 2 22B
π ×
∴ = = =
2 2 6a b A B B
π= > = ⇒ > ⇒ =
2 2 2 2 2 2 22 cos 2 ( 2) 2 2 2a b c bc A c c= + − ⇒ = + − × × ×由解得 或 （舍）.
【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理解三角形，识记公式，熟练使用正弦定理、余弦定理，
边角互化，考验计算能力，属中档题.
17.如图，已知四棱锥 的底面 ABCD 为正方形， 平面 ABCD，E、F 分别是 BC，
PC 的中点， ，．
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的大小．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【详解】
（1）
（2）以 A 为原点，如图所示建立直角坐标系
，，
设平面 FAE 法向量为 ，则
3 1c = + 3 1c = − +
P ABCD− PA ⊥
2, 2AB AP= =
BD ⊥ PAC
E AF C− −
6
π
PA ABCD PA BD
ABCD AC BD
BD PAC
⊥ ⇒ ⊥
⇒ ⊥
⇒ ⊥
平面
正方形
平面
(0,0,0) (2,1,0) (1,1,1)
(2,1,0) (1,1,1)
A E F
AE AF= =
( , , )n x y z= 2 0{ 0
x y
x y z
+ =
+ + =， ，
18.某校高一、高二年级的全体学生都参加了体质健康测试，测试成绩满分为 分，规定测
试成绩在 之间为“体质优秀”，在 之间为“体质良好”，在 之间为“体质
合格”，在 之间为“体质不合格”.现从这两个年级中各随机抽取 名学生，测试成绩如下：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7
高一年级 60 85 80 65 90 91 75
高二年级 79 85 91 75 60
其中 是正整数.
（1）若该校高一年级有 学生，试估计高一年级“体质优秀”的学生人数；
（2）若从高一年级抽取的 名学生中随机抽取 人，记 为抽取的 人中为“体质良好”的学
生人数，求 的分布列及数学期望；
（3）设两个年级被抽取学生 测试成绩的平均数相等，当高二年级被抽取学生的测试成绩的
方差最小时，写出 的值.（只需写出结论）
【答案】（1） ；（2）详见解析；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据计算样本中的优秀率，然后用样本估计整体，简单计算可得结果.
（2）写出 所有可能取值，并求得相应的概率，列出分布列，然后根据数学期望公式，可得
结果.
（3）根据两个年级被抽取学生的测试成绩的平均数相等，可得 之间关系，然后利用方差
公式，结合二次函数，可得结果.
【详解】解：（1）高一年级随机抽取的 7 名学生中，
“体质优秀”的有 3 人，优秀率为 ，将此频率视为概率，
的
(1, 2,1)n = − ( 2,2,0)BD = −
· 2 4 3cos 22 2· 6| |·
,6 6
n BD
n BD
E AF C
θ
π πθ
+= = =
∴ = − −
即二面角 的大小为
100
[85,100] [75,85) [60,75)
[0,60) 7
m n
,m n
280
7 2 X 2
X
,m n
120 78m n= =
X
,m n
3
7估计高一年级“体质优秀”的学生人数为 .
（2）高一年级抽取的 7 名学生中
“体质良好”的有 2 人，非“体质良好”的有 5 人.
所以 的可能取值为
所以
所以随机变量 的分布列为：
（3）
【点睛】本题考查离散性随机变量的分布列以及数学期望，同时考查平均数与方差，本题主
要考验计算，牢记计算的公式，掌握基本统计量的概念，属基础题.
19.已知函数 .
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）当 时，证明： ；
（3）判断曲线 与 是否存在公切线，若存在，说明有几条，若不存在，说明理由.
【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3）存在；存在 2 条公切线
【解析】
【分析】
（1）计算 ，根据曲线在该点处导数的几何意义可得切线的斜率，然后计算 ，利
用点斜式，可得结果.
3 280 1207
× = 人
X 0,1,2
0 2 1 1
2 5 2 5
2 2
7 7
10 10( 0) , ( 1) ,21 21
= = = = = =C C C CP X P XC C
2 0
2 5
2
7
1( 2) 21
= = =C CP X C
X
X 0 1 2
P 10
21
10
21
1
21
10 10 1 12 4( ) 0 1 221 21 21 21 7E X = × + × + × = =
78m n= =
( ) ln , ( ) xf x x g x e= =
( )y f x= (1, (1))f
0x > ( ) ( )f x x g x< <
( )f x ( )g x
1y x= −
( )'f x ( )1f（2）分别构造 ，通过导数研究 的性质，可得
， ，简单判断，可得结果.
（3）分别假设 与 的切线，根据公切线，可得 ，利用导数研究
函数 零点个数，根据 性质可得结果.
【详解】解：（1） 的定义域
又
所以 在点 处的切线方程为： .
（2）设 ，
，
↑ 极大值 ↓
设 则 在 上恒成立
综上
（3）曲线 与 存在公切线，且有 2 条，理由如下：
( ) ln , ( )= − = − xh x x x s x x e ( ), ( )h x s x
max( ) 0h x < ( ) (0) 1s x s< = −
( )f x ( )g x (1 ) 1 0− + + =x x xe
( ) (1 ) 1xh x e x x= − + + ( )h x
( ) lnf x x= (0, )+∞
1( ) (1) 1f x k fx
= ⇒ ′=′ =由
(1) 0f =
( )y f x= (1, (1))f 1y x= −
( ) ( ) ln ( 0)h x f x x x x x= − = − >
1 1'( ) 1 0 1xh x xx x
−= − = = ⇒ =由
'( ), ( )h x h x x随 变化如下:
x (0,1) 1 (1, )+∞
)'(h x + 0 −
( )h x
max( ) (1) ln1 1 1 0h x h∴ = = − = − <
( )f x x∴ <
( ) ( ) ,= − = − xs x x g x x e '( ) 1 e 0xs x = − < (0, )x∈ +∞
(0,( ) )xs x ∈ +∴ ∞在 上单调递减
( ) (0) 1 0 ( )∴ < = − < ⇒ ( )h x ( ),0−∞
0x > ( )'' ( ) 1 0= − +
2 2( 2) 3 1 0, (2) 3 0−− = − < = − + > 2 2
2
,A B A AE x⊥
E BE D ABD∆
2 2
14 2
x y+ =
22, 2
cb a
= = 2 2 2a b c= + ( )1 1,A x y
( ), yD DD x ( )1 1,B x y− − ( )1,0E x
2
1
12
1
8
3 8D
yx xy
−= −
3
1
2
13 8D
yy y
−= − 1AB ADk k = − ABD∆
22, 2
cb a
= =
2 2 2 2
2 2 2
2 1
2
c a b a
a a a
− −= = =
2a =
2 2
14 2
x y+ =
( )1 1,A x y ( ), yD DD x ( )1 1,B x y− − ( )1,0E x
BE ( )1
1
12
yy x xx
= −
2 2
14 2
x y+ =
2 2 2
21 1 1
2
1 1
1 4 02 2
y y yx xx x
+ − + − =
Dx 1x−
( )
2
1 2
21
1 12 22
1 11
2
1
4 82
21 2
D
y
yx x xx yy
x
− −− = = + +
又因为 ，
所以 ，代入直线方程得
所以 ，即 是直角三角形.
【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些
知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.
21.已知数列 ，且 .若 是一个非零常
数列，则称 是一阶等差数列，若 是一个非零常数列，则称 是二阶等差数列.
（1）已知 ，试写出二阶等差数列 的前五项；
（2）在（1）的条件下，证明： ；
（3）若 的首项 ，且满足 ，判断 是否为二阶等
差数列.
【答案】（1） ， ， ， ， ;（2）证明见解析；（3） 不是
二阶等差数列
【解析】
【分析】
（1）根据 ，以及 ，简单计算，可得结果.
（2）根据 ，可知 ，利用 ，使用迭加法，可得 .
（3）根据题意可得 ，进一步可得 ，然后可得 ，简单
判断，可得结果
【详解】解：（1） ， ， ， ， .
2 2
1 1 14 2
x y+ =
2
1
12
1
8
3 8D
yx xy
−= −
3
1
2
13 8D
yy y
−= −
3
1
1 2 2
1 1 1
2 2
11 1
1 12
1
3 8 2 4 18
3 8
AB AD
yyy y yk k yx xx xy
+ − −= = = −−− −
AB AD⊥ ABD∆
{ } { } { }, ,n n na b c 1 1, ( )n n n n n nb a a c b b n N ∗
+ += − = − ∈ { }nb
{ }na { }nc { }na
1 11, 1, 1na b c= = = { }na
2 2
2n
n na
− +=
{ }na 1 2a = 1
1 3 2 ( )n
n n nc b a n N+ ∗
+− + = − ∈ { }na
1 1a = 2 2a = 3 4a = 4 7a = 5 11a = { }na
1 11, 1, 1na b c= = = 1 1,+ += − = −n n n n n nb a a c b b
1 1+ − = =n n nb b c nb n= 1n n na a+ − = na
1
1 2 4( 2 )+
+ + = +n n
n na a na 9 4 2= ⋅ −n n
nc
1 1a = 2 2a = 3 4a = 4 7a = 5 11a =（2）
又
.
（3） 不是二阶等差数列.理由如下：
数列 满足
又 ， （ ）
由
则
数列 是首项为 ，公比为 4 的等比数列
，显然 非常数列
不是二阶等差数列.
【点睛】本题考查数列中新定义的理解，关键在于发现 之间的关系，考查观察能力，
分析能力以及逻辑思维能力，新定义的理解同时考查了阅读理解能力，属难题.
1 1, 1,2,3,n n nb b c n+ − = = = ⋅⋅⋅
1
1
1
1 1
n
n i
i
b c b n n
−
=
∴ = + = − + =∑
1 , 1,2,3,n n na a b n n+ − = = = ⋅⋅⋅
21
1
1
( 1) 212 2
n
n i
i
n n n na b a
−
=
− − +∴ = + = + =∑
{ }na
{ }na 1
1 3 2 ( )n
n n nc b a n N+ ∗
+− + = − ∈
1n n nb a a+= − 1+= −n n nc b b n ∗∈N
∴ 1 1
1 13 2 4 2+ +
+ +− + = − ⇒ = +n n
n n n n nc b a a a
1
1 2 4( 2 )+
+ + = +n n
n na a
∴ { }2n
na + 1 2 4a + =
12 4 4 4 4 2n n n n n
n na a−∴ + = ⋅ = ⇒ = −
9 4 2n n
nc∴ = ⋅ − { }nc
{ }na∴
, ,n n na b c
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