高二年级居家自主学习在线检测试卷
数学
一、选择题
1.已知集合 M＝{0，x}，N＝{1,2}，若 M∩N＝{2}，则 M∪N＝( )
A. {0，x,1,2} B. {2,0,1,2}
C. {0,1,2} D. 不能确定
【答案】C
【解析】
集合 M＝{0，x}，N＝{1,2}，若 M∩N＝{2}，则 .
所以 .
故选 C.
点睛：集合的交集即为由两个集合的公共元素组成的集合，集合的并集即由两集合的所有元
素组成.
2.已知 是 的共轭复数，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】
首先计算 ，然后利用共轭复数的特征计算 的值.
【详解】 ，
，
.
故选:D.
【点睛】本题考查复数的计算，属于基础题型.
2x =
{ }0,1,2M N∪ ＝
( , )a bi a b R+ ∈ 1
1
i
i
−
+ a b+ =
1− 1
2
− 1
2
1
1
i
i
−
+ ,a b
21 (1 ) 2
1 (1 )(1 ) 2
i i i ii i i
− − −= = = −+ + −
( )a bi i i∴ + = − − =
0, 1, 1a b a b∴ = = ∴ + =3.设函数 则 （ ）
A. 有最大值 B. 有最小值 C. 是增函数 D. 是减函数
【答案】A
【解析】
，则 ．当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减．所以 在 处取到极大值，
故选 A
4.等差数列{an}的首项为 1，公差不为 0.若 a2，a3，a6 成等比数列，则{an}前 6 项的和为( )
A. －24 B. －3
C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比中项的性质列方程，转化为 的形式，由此解得 的值，进而求得数列 的前
项和.
【详解】设等差数列{an}的公差为 d，依题意得 ，即(1＋2d)2＝(1＋d)(1＋5d)，解得
d＝－2 或 d＝0(舍去)，又 a1＝1，∴S6＝6×1＋ ×(－2)＝－24.
故选：A
【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列通项公式的基本量计算，属于基础
题.
5.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
1( ) 2 1( 0),f x x xx
= + − < ( )f x
1( ) 2 1f x x x
= + − 2
2
2 1'( ) xf x x
−= 2
2x < − '( ) 0f x > ( )f x
2 02 x− < < '( ) 0f x < ( )f x ( )f x 2
2x = −
1,a d d { }na
6
2
3 2 6a a a= ⋅
6 5
2
×A. 1 B. 2
C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
分析：根据三视图还原几何体，利用勾股定理求出棱长，再利用勾股定理逆定理判断直角三
角形的个数.
详解：由三视图可得四棱锥 ，在四棱锥 中，
，
由勾股定理可知： ，则在四棱锥中，直角三角形有：
共三个，故选 C.
点睛：此题考查三视图相关知识，解题时可将简单几何体放在正方体或长方体中进行还原，
分析线面、线线垂直关系，利用勾股定理求出每条棱长，进而可进行棱长、表面积、体积等
相关问题的求解.
6.北京园博会期间，某日 13 时至 21 时累计入园人数的折线图如图所示，那么在 13 时~14 时，
14 时~15 时，……，20 时~21 时这八个时段中，入园人数最多的时段是（ ）
P ABCD− P ABCD−
2, 2, 2, 1PD AD CD AB= = = =
2 2, 2 2, 3, 5PA PC PB BC= = = =
, ,PAD PCD PAB∆ ∆ ∆A. 13 时~14 时 B. 16 时~17 时 C. 18 时~19 时 D. 20 时~21
时
【答案】B
【解析】
【分析】
要找入园人数最多的时段，只要根据折线图找出图象中变化最大的即可.
【详解】解：结合折线图可知，在八个时段中，图象变化最大的在 16 时~17 时之间，
所以入园人数最多的时段是 16 时~17 时.
故选：B.
【点睛】本题考查折线统计图的实际应用，属于基础题.
7.已知三棱锥 中， ， ， ， ，
，则三棱锥 的体积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据条件，由勾股定理分别算出 和 ，利用勾股定理的逆定理得出 ，
进而得出 ，结合已知条件，根据线面垂直的判定定理，可证出 平面 ，利
用棱锥的体积公式即可求出答案.
【详解】解：如图，由题知 ， ， ，
得： ，
S ABC−
2SAB ABC
π∠ = ∠ = 4SB = 2 13SC = 2AB =
6BC = S ABC−
4 6 4 3 8 3
AC SA 2 2 2AC SA SC+ =
SA AC⊥ SA ⊥ ABC
2ABC
π∠ = 2AB = 6BC =
2 2 2 22 6 2 10AC AB BC= + = + =由于 ， ， ，
得： ，
则： ，
所以： ，
已知 ，即 ， ， 平面 ，
所以： 平面 ，
所以三棱锥 的体积为：
.
故选：C.
【点睛】本题考查棱锥的体积公式，涉及线面垂直的判定定理和勾股定理的应用，考查推理
和计算能力.
8.设平面 与平面 相交于直线 ，直线 在平面 内，直线 在平面 内，且 则
“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 即不充分不必要条件
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析：α⊥β， b⊥m 又直线 a 在平面 α 内，所以 a⊥b，但直线 不一
定相交，所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选 A.
考点：充分条件、必要条件.
2SAB
π∠ = 4SB = 2 13SC =
2 2 2 24 2 2 3SA SB AB= − = − =
2 2 240 12 52AC SA SC+ = + = =
SA AC⊥
2SAB
π∠ = SA AB⊥ AB AC A= SA ⊄ ABC
SA ⊥ ABC
S ABC−
1 1 1 2 6 2 3 4 33 3 2ABCV S SA= ⋅ ⋅ = × × × × =△
α β m a α b β b m⊥
α β⊥ a b⊥9.正方体 中 分别是正方形 和 中心， 是 中点，
设 与 所成角分别是 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析：设正方体的棱长为
如图取 的中点 ，并连接 ， ，
又 是 中点，所以 ，即 与 的夹角即为 与 的夹角
连接 ， ，由正方形的性质知， 与 交于 ，则
连接 ，由正方形的性质知， 为 的中点，则
因为 ，所以 与 的夹角即为 与 的夹角
在 中，
同理得
在 中，
所以 ，
在 , ,所以
1 1 1 1ABCD A B C D− E F、 1 1ADD A ABCD G 1CC
1,GF C E AB α β、 α β+
0120 060 075 090
2
1DD H GH FH
G 1CC / / / /GH CD AB GH GF AB GF
AC BD AC BD F 2CF FD= =
1AD E 1AD 1 2AD =
1 1 / /C D AB 1 1C D 1C E 1C E AB
GHF∆
6sin 3
α = 6cos 3
β =所以 ，
所以
故答案选
考点：异面直线及其夹角．
【方法点睛】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”．其中空间选点任意，但
要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，
作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解．
10.已知函数 ，其中 ， 的部分图象如图所示，且 f（x）
在 上恰有一个最大值和一个最小值（其中最大值为 1，最小值为-1），则 的取值范围
是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据条件先求出 得值，结合 在 上恰有一个最大值和一个最小值，求出满足条
件的表达式，即可求解．
【详解】由题意知，根据函数 ，的部分图象，
因为 ，且 ，所以 ，
3sin 3
β =
( ) sin( )f x xω ϕ= + 0>ω ,2
πϕ π ∈
[0,2 ]π ω
7 13,12 12
7 13,12 12
11 17,12 12
11 17,12 12
ϕ ( )f x [0,2 ]π
( ) sin( )f x xω ϕ= +
3(0) 2f = ,2
πϕ π ∈
2
3
ϕ π=又因为 ，所以 ，
所以 ，所以 .
故选 D．
【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与
性质，结合函数一个周期内的最大值和最小值对应的范围求解是解答的关键，着重考查了推
理与运算能力，属于中档试题．
二、填空题
11.若双曲线 的一个焦点为 ，则 ______；其离心率为______.
【答案】 (1). (2).
【解析】
【分析】
由双曲线的焦点坐标 ，得出 ，由双曲线 得出 ，再根据
，求出 ，根据 求出离心率.
【详解】解：由于双曲线 的一个焦点为 ，
则 ，且可知 ，
由 ，得 ，所以 ，
所以双曲线的离心率为： .
故答案为： (1) ；(2) .
【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质以及离心率，属于基础题.
12.点 和点 都在单位圆 上，记 ，则 ______.
【答案】
【解析】
[0,2 ]x πÎ
2 2 223 3 3x
π π πω πω≤ + ≤ +
5 2 722 3 2
π π ππω≤ + < 11 17
12 12
ω≤ <
( )2
2
2 1 0yx bb
− = > ( )2,0 b =
3 2
( )2,0 2c = ( )2
2
2 1 0yx bb
− = > 1a =
2 2 2c a b= + 3b = ce a
=
( )2
2
2 1 0yx bb
− = > ( )2,0
2c = 1a =
2 2 2c a b= + 2 2 2 3b c a= − = 3b =
2ce a
= =
3 2
( )1,0A 3 4,5 5B − O AOB α∠ = sin 2α =
24
25
−【分析】
根据题意，利用三角函数的定义，可得出 ，再利用二倍角的正弦公式，
即可求出 .
【详解】解：因为点 和点 都在单位圆 上， ，
则点 在角 的终边上，
由三角函数的定义可知， ，
则 .
故答案为： .
【点睛】本题考查三角函数的定义求三角函数值，以及二倍角的正弦公式，属于基础题.
13.已知 为坐标原点， ， ， ，直线 ，且 与坐标
平面 相交于点 ，则点 的坐标为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，利用平面上点的坐标性质，可设 ，且 ，根据空间向量平行的
坐标关系得出 ，即可求出点 的坐标.
【详解】解：已知，直线 ，且 与坐标平面 相交于点 ，
则有 ，可设 ，
而 ， ， ，
则 ，即：
4 3sin ,cos5 5
α α= = −
sin 2α
( )1,0A 3 4,5 5B − O AOB α∠ =
3 4,5 5B −
α
4 3sin ,cos5 5
α α= = −
4 3 24sin 2 2sin cos 2 5 5 25
α α α = = × × − = −
24
25
−
O ( )0,3,5A ( )2,2,0B ( )0,5,0C //BD CA BD
xOz D D
( )2,0,5
( ),0,D x z BD CA
→ →
BD CAλ
→ →
= D
//BD CA BD xOz D
BD CA
→ →
( ),0,D x z
( )0,3,5A ( )2,2,0B ( )0,5,0C
BD CAλ
→ →
= ( ) ( )2, 2, 0, 2,5x z λ− − = −即： ，解得： ，
所以点 的坐标为 .
故答案为： .
【点睛】本题考查空间向量平行的坐标运算，以及平面内点的坐标的性质特征，考查计算能
力.
14.已知线段 的长度为 ， 为任意一点，则 的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意，设 ， ，得出 的坐标，根据平面向量数量积坐标
运算得出 ，即可求出 的最小值.
【详解】解：由题可知，线段 的长度为 ， 为任意一点，
可设 ， ，
则 ，
所以 ，
又因为 ，则 ，
即 ，当且仅当 时，取等号，
所以 的最小值为：-4.
故答案为：-4.
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算，以及运用基本不等式求最值，考查计算能力.
15.方程 的曲线即为函数 的图像，对于函数 ，有如下结
论：① 在 上单调递减；②函数 不存在零点；③函数 的值
域是 ；④ 的图像不经过第一象限，其中正确结论的个数是___________
2 0
2 2
5
x
z
λ
λ
− =
− = −
=
2
5
x
z
=
=
D ( )2,0,5
( )2,0,5
AB 4 P PA PB
→ →
⋅
4−
( ) ( )2,0 , 2,0A B− ( ),P x y ,PA PB
→ →
2 2 4 4PA PB x y
→ →
⋅ = + − ≥ − PA PB
→ →
⋅
AB 4 P
( ) ( )2,0 , 2,0A B− ( ),P x y
( ) ( )2 , , 2 ,PA x y PB x y
→ →
= − − − = − −
( )( ) 2 2 22 2 4PA PB x x y x y
→ →
⋅ = − − − + = + −
2 2 0≥+x y 2 2 4 4x y+ − ≥ −
4PA PB
→ →
⋅ ≥ − 0x y= =
PA PB
→ →
⋅
| | | | 116 9
x x y y+ = − ( )y f x= ( )y f x=
( )f x R ( ) 4 ( ) 3F x f x x= + ( )y f x=
R ( )f x【答案】
【解析】
【分析】
先根据题意画出方程 的曲线即为函数 y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两
段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图形．从图形中可以看出，关于函数 y=f（x）
的结论的正确性．
【详解】 根据题意画出方程 的曲线即为函
数 y=f（x）的图象，如图所示．轨迹是两段双曲线的一部分加上一段的椭圆圆弧组成的图
形．
从图形中可以看出，关于函数 的有下列说法：
① R 上单调递减；正确．
②由 即 ，从而图形上看，函数 的图象与直线
没有交点，故函数 F（x）=4f（x）+3x 不存在零点；正确．
③函数 y=f（x）的值域是 R；正确．
④ 的图象不经过第一象限，正确．
其中正确的个数是 4．
故选 D．
【点睛】本题考查命题的真假判断与应用、函数单调性的应用、圆锥曲线的应用等基础知识，
考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于中档题
三、解答题
16.如图，在 中， 为 上一点， ， ， ，
.
4
116 9
x x y y+ = −
116 9
x x y y+ = −
y f x= （ ）
f x（ ）
4 3 0f x x+ =于 （ ） 3
4
xf x = −（ ） f x（ ） 3
4
xy = −
f x（ ）
ABC D BC 2 3AB = 2BD = 30ABC∠ = °
45ACB∠ = °（1）求 的长以及 ；
（2）求 的面积.
【答案】（1） ； （2）
【解析】
【分析】
（1）根据题意，在 中由余弦定理得 ，代数求解得
，而 ，从而可得出 ；
（2）在 中，利用正弦定理得出 ， ，根
据 ，即可求出 的面积.
【详解】解：（1）由题可知， ， ， ， ，
在 中，由余弦定理得：
，
即： ，
求得： ，
因为 ，
故 ；
AD BAD∠
ABC
2AD = 30BAD∠ = ° ( )3 3 1
2
+
ABD△
2 2 2
cos 2
AB BD ADABC AB BD
+ −∠ = ⋅
2AD = AD BD= 30ABC BAD∠ = ∠ = °
ACD 6AC = 6 2sin sin 105 4BAC
+∠ = ∠ ° =
1 sin2S AB AC BAC= ⋅ ⋅ ∠ ABC
2 3AB = 2BD = 30ABC∠ = ° 45ACB∠ = °
ABD△
2 2 2
cos 2
AB BD ADABC AB BD
+ −∠ = ⋅
( )2 2 22 3 23
2 2 2 3 2
AD+ −
=
× ×
2AD =
AD BD=
30ABC BAD∠ = ∠ = °（2）在 中，由正弦定理得： ，
求得： ，
，
则 的面积为：
.
【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，以及三角形的面积公式，考查求解运
算能力.
17.设 为等比数列 的前 项和，已知满足______，求公比 以及 .
从① 且 ，② 且 ，③ 且 这三组条
件中任选一组，补充到上面问题中，并完成解答.
【答案】答案不唯一，具体见解析
【解析】
【分析】
若选①，根据等比数列的性质得出 ，结合 ，联立方程组求出
和 ，从而求出 或 ，进而算出对应的 ，结合 是以 为首项， 为公
比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出 ；
若选②，由于 且 ，可求出 ，结合 是以 为首项， 为公比的等比
数列，利用等比数列求和公式，即可求出 ；
若选③，根据 且 ，利用等比数列 性质，即可求出 ，进而求得
，结合 是以 为首项， 为公比的等比数列，利用等比数列求和公式，即可求出
.
【详解】解：若选①，则有 ，
的
ACD sin sin
AD AC
ACB ADC
=∠ ∠
6AC =
6 2sin sin 105 4BAC
+∠ = ∠ ° =
ABC
( )3 3 11 sin2 2S AB AC BAC
+
= ⋅ ⋅ ∠ =
nS { }na n q 2 2 2
1 2 ... na a a+ + +
2 5 32a a = − 3 4 4a a+ = − 1 1a = 6 39S S= 2 3 1S a= − 3 4 1S a= −
2 5 3 4 32a a a a= = − 3 4 4a a+ = − 3a
4a 2q = − 1
2q = − 1a { }2
na 2
1a 2q
2 2 2
1 2 ... na a a+ + +
1 1a = 6 39S S= 2q = { }2
na 2
1a 2q
2 2 2
1 2 ... na a a+ + +
2 3 1S a= − 3 4 1S a= − 2q =
1 1a = { }2
na 2
1a 2q
2 2 2
1 2 ... na a a+ + +
2 5 3 4 32a a a a= = −故有 ，得 或 ，
即 或 .
因为 是以 为首项， 为公比的等比数列，
若 ， ，此时 ；
或 ， ，此时 ；
若选②， ，即 ，故 ，
因为 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 ；
若选③， （*）， （**），
令（**）式减（*）式，得 ，
即 ，故 ，
则（*）式中， ，
即 ，即 ，
因为 是以 为首项， 为公比的等比数列，
所以 .
【点睛】本题考查利用等比数列的通项公式求出基本量，以及等比数列的求和公式，还涉及
等比数列的性质，考查计算能力.
18.如图，三棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ，
， ，点 是棱 的中点.
3 4
3 4
32
4
a a
a a
= −
+ = −
3
4
4
8
a
a
=
= −
3
4
8
4
a
a
= −
=
2q = − 1
2q = −
{ }2
na 2
1a 2q
2q = − 1 1a = 2 2 2
1 2
4 1... 3
n
na a a
−+ + + =
1
2q = − 1 32a = −
12
2 2 2
1 2
2 1... 13 4n na a a + + + = −
6 3
3
8S S
S
− = 3 8q = 2q =
{ }2
na 2
1a 2q
2 2 2
1 2
4 1... 3
n
na a a
−+ + + =
2 3 1S a= − 3 4 1S a= −
3 4 3a a a= −
34 2a a= 2q =
1 2 3 1a a a+ = −
1 1 12 4 1a a a+ = − 1 1a =
{ }2
na 2
1a 2q
2 2 2
1 2
4 1... 3
n
na a a
−+ + + =
P ABC− PAC ⊥ ABC PA PC⊥ PA PC= AC BC⊥
2AC = 1BC = M PA（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）设点 是线段 的中点，棱 上是否存在点 ，使得 平面 ？若存在，
求 的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）证明见解析（2） （3）存在；
【解析】
【分析】
（1）已知平面 平面 ，利用面面垂直的性质，得出 平面 ，从而有
，又 ，且 ， 平面 ，根据线面垂直的判定
定理，即可证出 平面 ；
（2）在平面 内，过点 作 ，点 为垂足，过点 作直线 ，利用面面
垂直的性质可得出 平面 ， ，可证出 平面 ，以 为原点建系，直
线 分别为 轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求出 和平
面 的法向量为 ，根据空间向量线面夹角公式，即可求出直线 与平面
所成角的正弦值；
（3）设 ， ，则 ， ，平面
的法向量 ，由于 平面 ，即可求出 ，从而得出 的
值.
PA ⊥ PBC
PA MBC
N BM PC F //NF ABC
CF
CP
2 5
5
1
4
CF
CP
=
PAC ⊥ ABC BC ⊥ PAC
BC PA⊥ PA PC⊥ BC PC C∩ = ,BC PC ⊂ PBC
PA ⊥ PBC
PAC P PD AC⊥ D C l PD
PD ⊥ ABC l PD l ⊥ ABC C
, ,CB CA l , ,x y z ( )0,1, 1PA
→
= −
MBC ( )0,1. 3n
→
= − PA
MBC
CF CPλ
→ →
= ( )0,1λ ∈ ( )0, ,CF λ λ
→
= 1 3 1, ,2 4 4FN λ λ
→ = − − ABC
( )1 0,0,1n
→
= NF 1 0ABC NF n
→ →
⇔ ⋅ = λ CF
CP【详解】（1）证明：∵平面 平面 ，平面 平面 ，
， 平面 ，
∴ 平面
又 平面 ，∴ ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）解：在平面 内，过点 作 ，点 为垂足，过点 作直线 ，
∵平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ ，
∴ 平面 ，
以 为原点建系，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ， ，
∴ ，不妨设 ，则 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
故直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
PAC ⊥ ABC PAC ABC AC=
AC BC⊥ BC ⊂ ABC
BC ⊥ PAC
PA ⊂ PAC BC PA⊥
PA PC⊥ PA BC⊥ BC PC C∩ = ,BC PC ⊂ PBC
PA ⊥ PBC
PAC P PD AC⊥ D C l PD
PAC ⊥ ABC PAC ABC AC= PD ⊂ PAC
PD ⊥ ABC
l PD
l ⊥ ABC
C , ,CB CA l , ,x y z
( )1,0,0B ( )0,2,0A ( )0,1,1P 3 10, ,2 2M
( )1,0,0CB
→
= 3 10, ,2 2CM
→ = ( )0,1, 1PA
→
= −
MBC ( ), ,n x y z
→
=
0n CB
→ →
⋅ = 0n CM
→ →
⋅ =
0
3 1 02 2
x
y z
= + =
1y = ( )0,1. 3n
→
= −
PA MBC θ
4 2sin cos , 552 10
n PAθ
→ →
= = =
×
PA MBC 2 5
5（3）解：设 ， ，则
∴ ，又 ，
∴ ，
平面 的法向量 ，
因为 平面 ，即 ，
∴ ，
从而 .
【点睛】本题考查线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，以及通过空间向量法求出线面角
的正弦值，线面平行性质求线段比，考查空间逻辑推理和运算能力.
19.已知抛物线 ，过抛物线 的焦点 且垂直于 轴的直线交抛物线
于 两点， .
CF CPλ
→ →
= ( )0,1λ ∈ ( )0, ,CF λ λ
→
=
( )0, ,F λ λ 1 3 1, ,2 4 4N
1 3 1, ,2 4 4FN λ λ
→ = − −
ABC ( )1 0,0,1n
→
=
NF 1 0ABC NF n
→ →
⇔ ⋅ = 1 04
λ− =
1
4
λ =
1
4
CF
CP
=
( )2: 2 0C y px p= > C F x C
,P Q 4PQ =（1）求抛物线 的方程，并求其焦点 的坐标和准线 的方程；
（2）过抛物线 的焦点 的直线与抛物线 交于不同的两点 ，直线 与准线 交于点
.连接 ，过点 作 的垂线与准线 交于点 .求证： 三点共线.
【答案】（1）抛物线 方程为 ，焦点 坐标为 ，准线 方程为 （2）
证明见解析
【解析】
【分析】
（1）根据抛物线通径的性质，得出 ，即可求出抛物线的标准方程，即可得出焦点坐标
和准线方程；
（2）根据题意，设直线 ，与抛物线方程联立，求出则 ，
，通过直线相交分别求出 和 ，从而求出 和
，通过化简求出 ，即可证出 三点共线.
【详解】解：（1） ，则 ，
故抛物线 的方程为： ，
其焦点 坐标为 ，准线 方程为：
（2）设直线 ，联立 ，
的
C F l
C F C ,A B OA l
M MF F MF l N , ,O B N
C 2 4y x= F ( )1,0 l 1x = −
2p =
: 1AB x ty= + 1 2 4y y t+ =
1 2 4y y = −
1
41,M y
−−
( )11,N y− 1ONk y= −
2
4
OBk y
= 0OB ONk k− = , ,O B N
2 4PQ p= = 2p =
C 2 4y x=
F ( )1,0 l 1x = −
: 1AB x ty= + 2
1
4
x ty
y x
= +
=得 ，则 ，
设 ， ，则 ，
法 1：直线 ，
由 得 ，故点 ，
直线 的斜率 ，
则直线 的斜率 ，
直线 ，则点
直线 的斜率 .
直线 的斜率 ，由 得 ，
则 ，
所以 三点共线.
法 2：直线 ，
由 得 ，故点 ，
由 ，得 .
直线 的斜率 ，
直线 ，得点 ，
2 4 4 0y ty− − = 216 16 0t= + >△
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 1 2 4y y t+ = 1 2 4y y = −
1
1
: yOA y xx
=
2
1 14y x=
1
4y xy
=
1
41,M y
−−
MF 1
1
4 0 2
1 1MF
yk y
− −
= =− −
FN 1
2FN
yk = −
( )1: 12
yFN y x= − − ( )11,N y−
ON 1ONk y= −
OB 2
2
OB
yk x
= 2
2 24y x=
2
4
OBk y
=
( ) 1 2
1
2 2 2
44 4 4 0OB ON
y yk k yy y y
+ −− = − − = = =
, ,O B N
1
1
: yOA y xx
=
2
1 14y x=
1
4y xy
=
1
41,M y
−−
1 2 4y y = − ( )21,M y−
MF 2 20
1 1 2MF
y yk
−= = −− −
( )
2
2: 1FN y xy
= −
2
41,N y
−−
由 ，得 .
直线 的斜率 .
直线 的斜率 ，由 得 ，
由 ，得 ，
则有 .所以 三点共线.
法 3：（1）∵ ，∴ ，∴ ，∴ ， ，
∴抛物线 的标准方程为： ，
则焦点坐标为： ，准线方程为： .
（2）设直线 ，联立得： ，
，
设 ， ，
∴直线 ，
当 时， ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴直线 ，
当 时， ，∴ ，
∴ ， ，
1 2 4y y = − ( )11,N y−
ON 1ONk y= −
OB 2
2
OB
yk x
= 2
2 24y x=
2
4
OBk y
=
1 2 4y y = − 1OBk y= −
OB ONk k= , ,O B N
4PQ = 2PF = 2 2OF = 1OF = 2p =
C 2 4y x=
( )1,0F : 1l x = −
: 1AB x ty= + 2 4 4 0y ty− − =
2
1 2
1 2
16 16 0
4
4
t
y y t
y y
∆ = + >
+ =
= −
( )1 1,A x y ( )2 2,B x y
1
1
: yAO y xx
=
1x = − 1
1
yy x
= − 1
1
1, yM x
− −
1
12MF
yk x
= 1
1
21
FN
MF
xk k y
= − = −
( )1
1
2: 1xFN y xy
= − −
1x = − 1
1
4xy y
= 1
1
41, xN y
−
1
1
4
NO
xk y
= − 2
2
BO
yk x
=∴
，
∴ ，
∴ 共线.
【点睛】本题考查抛物线的标准方程和简单几何性质，以及直线与抛物线的位置关系，通过
联立方程组，韦达定理，利用直线斜率的关系证明三点共线，考查转化思想和计算能力.
20.已知函数 ，其中 .
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）讨论函数 的极值点的个数，并分别指出极大值点的个数和极小值点的个数；
（3）若函数 有两个极值点 ，证明： .
【答案】（1） （2）答案不唯一，具体见解析（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）当 时， ，求导得 ，根据导数的几何意义求出切线
斜率以及求出切点坐标，根据直线点斜式方程求出切线方程；
（2）由题可知， ，由于 ，分类讨论，当
， ， 时，利用导数研究函数的单调性，根据单调性列出
的变化情况表，即可得出 的极值点的个数，以及极大值点的个数和极小值点的个数；
2 1
2 1
4
BO NO
y xk k x y
− = +
( )( )1 2 1 21 2 1 2
2 1 2 1
4 1 14 y y y yy y x x
x y x y
+ + + + ++= =
( ) ( )1 2 1 2
2 1
4 2 1 4 4y y y y
x y
+ + + + + +=
( )
2 2
4 4 2 1 16 2 4 0x y
− + + + + += =
BO NOk k=
, ,B O N
( ) 21ln 22f x x mx x= + − [ ]0,1m∈
0m = ( )y f x= ( )( )1, 1f
( )f x
( )f x 1 2,x x ( ) ( )1 2 3f x f x+ < −
1y x= − −
0m = ( ) ln 2f x x x= − ( ) 1 2f x x
′ = −
( ) ( )21 2 12 0mx xf x mx xx x
− +′ = + − = > [ ]0,1m∈
0m = 0 1m< < 1m = ( ) ( ), ,x f x f x′
( )f x（3）函数 有两个极值点 ，由（2）可知 ，并且 是方程
两个根，根据韦达定理得出 ， ，进而化简出
，构造新函数 ，通过导数
求出 在 上的单调性，进而 ，从而可证出 .
【详解】解：（1）当 时， ， ，
则 ， ，
又因为 ，则切点坐标为 ，
所以切线方程为： .
（2）因为 ，
①当 时，令 ，解得 ，
+ 0 －
极大值
函数 仅有 个极大值点，没有极小值点；
②当 时， 与 同正负，
又因为 ，所以 在 上存在两个不相等 根 ，
又 ， ，
所以 ， ，不妨设 ，
的
( )f x 1 2,x x 0 1m< < 1 2,x x 2 2 1 0mx x− + =
1 2
2x x m
+ = 1 2
1x x m
=
( ) ( )1 2
2ln 1f x f x m m
+ = − − − ( ) ( )2ln 1 0 1g m m mm
= − − − < <
( )g m ( )0,1 ( ) ( )1 3g m g< = − ( ) ( )1 2 3f x f x+ < −
0m = ( ) ln 2f x x x= − ( )0,x∈ +∞
( ) 1 2f x x
′ = − ( )1 1 2 1f ′ = − = −
( )1 2f = - ( )1, 2−
1y x= − −
( ) ( )21 2 12 0mx xf x mx xx x
− +′ = + − = >
0m = ( ) 0f x′ = 1
2x =
x 10, 2
1
2
1 ,2
+∞
( )f x′
( )f x
( )f x 1
0 1m< < ( )f x′ 2 2 1y mx x= − +
4 4 0m= − >△ 2 2 1y mx x= − + R 1 2,x x
1 2
2 0x x m
+ = > 1 2
1 0x x m
= >
1 > 0x 2 0x > 1 20 x x<
( )g m ( )0,1
( ) ( )1 3g m g< = − ( ) ( )1 2 3f x f x+ < −通过构造函数法，利用导数证明不等式，考查分类讨论思想和计算能力.
21.设 为给定的大于 2 的正整数，集合 ，已知数列 ： ， ，…， 满
足条件：
①当 时， ；
②当 时， .
如果对于 ，有 ，则称 为数列 的一个逆序对.记数列 的所有逆
序对的个数为 .
（1）若 ，写出所有可能的数列 ；
（2）若 ，求数列 的个数；
（3）对于满足条件的一切数列 ，求所有 的算术平均值.
【答案】（1）不同的 分别为： ；（2） ；（3）
.
【解析】
【分析】
（1）根据 可列出满足条件的 .
（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的 的个数.
（3）引进一个定义： ，有 ，则称 为数列 的一个顺序对，可证明
所有的 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为 ，
故可求其平均值.
【详解】（1）因 ， 故 只有一个逆序对，
则不同的 分别为： .
（2）因为 ，故数列 ： ， ，…， 有两种情况：
为
n { }1,2, ,S n= ⋅⋅⋅ nA 1x 2x nx
1 i n≤ ≤ ix S∈
1 i j n≤ < ≤ i jx x≠
1 i j n≤ < ≤ i jx x> ( ),i jx x nA nA
( )nT A
( )4 1T A = 4A
( ) 2nT A = nA
nA ( )nT A
4A 1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4 ( ) ( )21 2
12
n n n− −
( )1
4
n n −
( )4 1T A = 4A
4A
1 i j n≤ < ≤ i jx x< ( ),i jx x nA
nA ( )1 !4
n n n
− ×
( )4 1T A = 1 2 3 4, , ,x x x x
4A 1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4
( )4 2T A = nA 1x 2x nx①2 对逆序数由 3 个元素提供，即
，
这样的 共有 个.
②2 对逆序数由 4 个元素提供，即
.
这样的 共有 .
综上，满足 的数列 的个数为 .
（3）对任意的 ： ， ，…， ，其逆序对的个数为 ，
我们引进一个定义： ，有 ，则称 为数列 的一个顺序对，
则 中的顺序对个数为 .
考虑 ： ， ，…， 与 ： ， ，…， ，
中的逆序对的个数为 中顺序对的个数， 中顺序对的个数为 中逆序对个数，
把所有的 按如上形式两两分类，则可得所有的 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，
而它们的和为 ，故逆序对的个数为 ，
所以所有 的算术平均值为 .
【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所
有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.
1 2 1 2 1 2, , ,i i i i i i i nx x x x x x x x x x+ + + +< < < > > < < < < < > < <
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