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成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟
数 学(理科)参考答案及评分意见
第Ⅰ卷 (选择题,共 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
1.B； 2.A； 3.C； 4.D； 5.A； 6.A； 7.B； 8.C； 9.D； 10.B； 11.C； 12.A.
第Ⅱ卷 (非选择题,共 90 分)
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
13.8； 14.15； 15. 32
2π
； 16.
3
e(1,e ).
三、解答题(共 70 分)
17. 解：(1)由正弦定理知
sin sin
ab
AB ,又 2 ,tan sin
ab
AB 所以 2 .sin tan
aa
AA
于是 1cos ,2A 因为0 π,A所以 π .3A 6 分
(2)因为 π7, 2, ,3a b A
由余弦定理得 2 22 π7 2 2 2 cos ,3cc 即 2 2 3 0.cc 又 0,c 所以 3.c
故 ABC 的面积为 11 π 33sin 2 3 sin .2 2 3 2bc A 12 分
18.解：(1)得分[20, 40) 的频率为0.005 20 0.1 ；得分[40,60) 的频率为0.010 20 0.2 ；
得分[80,100]的频率为0.015 20 0.3 ；
所以得分[60,80) 的频率为1 (0.1 0.2 0.3) 0.4.
设班级得分的中位数为 x 分,于是 600.1 0.2 0.4 0.520
x ,解得 70.x
所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70 分. 5 分
(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1. 又班级总数
为 40.于是“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8, 4 ．
分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3, 4, 2,1.
由题意可得 X 的所有可能取值为1,2,3, 4,5,6.
2 1 1
2 1 4
4
10 10
1 1 1 111
1 3 2 42
2
1
1
2
0
2 1 1( 1) , ( 2) , ( 3 ,1
45 9 45) CCC C C CP X P X PCC
CXC
CC
2
43
2 1 1 1 1
23
10 10
2
1
3
0
4
22
4( 4) , ( 5) , ( 6)41
15 15 15.C C C CP X P X P XC C C
CC
9 分
所以 X 的分布列为
X 1 2 3 4 5 6
P 2
45 1
9 11
45 4
15 4
15 1
15
1 11 4 4 1
45 9 45 15 1
2 171 19( ) 1 2 3 4 5 65 15 .45 5EX
所以 X 的数学期望 19( ) .5EX 12 分 第 2 页
19.解：(1)因为 2AB AM, 22MB ,所以 2 2 2.AM AB MB 于是 .AB AM
又 ,AB AD 且 ,AM AD A AM平面 ,ADM AD 平面 ADM ,
所以 AB 平面 .ADM 5 分
(2)因为 2, 2 3AM AD MD ,所以 120 .MAD 如图所示,在平面 ADM 内过点 A
作 x 轴垂直于 AM ,又由(1)知 AB 平面 ADM ,于是分别以 ,AM AB 所在直线为 ,yz轴建
立空间直角坐标系 .A xyz
于是 4( 3, 1,0), ( 3, 1, ), (0,0,2), (0,2,0).3D C B M
因为 2BE EM ,于是 42(0, , ).33E 所以
72( 3, , ), (0,2, 2), ( 3, 1, 2).33EC BM BD
设平面 BDM 的法向量为 ,n 于是 0
0
BM n
BD n
即
2 2 0
.
3 2 0
yz
x y z
取 1z 得 ( 3,1,1).n
设直线 EC 与平面 BDM 所成角为 ,则
4
13sin cos , .545 53
EC nEC n
EC n
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 1.5
12 分
20.解：(1)令 3e( ) ln , (e, ).e
xg x x xx
则
2
22
1 4e ( e)( ) 0.( e) ( e)
xgx x x x x
于是 ()gx在 (e, ) 单调递增,所以 ( ) (e) 0,g x g
即 3eln , (e, ).e
xxxx
5 分
(2)
2 2 2 2 2 2
22
(2 1) ln ( e )(ln 1) ( e )ln ( e )( ) .( ln ) ( ln )
x x x x x x x x x xfx x x x x
令 2 2 2 2( ) ( e )ln ( e ), (e, ).h x x x x x x 当 (e, )x 时,由(1)知 3eln .e
xx x
则 2 2 2 2 23 e 4e 1( ) ( e ) ( e ) 2 (4e 1) 2 ( ),e2
xh x x x x x x x xx
(i)当 4e 1[ , )2x 时,于是 ( ) 0hx ,从而 ( ) 0.fx
故 ()fx在 4e 1[ , )2
严格单调递增.其中 4e 1 5.936562
9 分
(ii)当 (e,5]x 时,
则 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( e )ln 5 ( e ) 2( e ) ( e ) 3eh x x x x x x x x x
220 3e 0. (用到了 223exx 在(e,5]单调递增与 2e7 )
于是 ( ) 0fx ,故 ()fx在 (e,5]严格单调递减. 11 分 第 3 页
综上所述, ()fx在(e,5]严格单调递减,在 4e 1[ , )2
严格单调递增.
因为 4e 1 6,2
所以 0 [5,6).x 所以 5.n 12 分
21.解：设点 00( , )P x y ,其中 2
00
1 .2yx
因为 ,yx 所以切线l 的斜率为 0 ,x 于是切线 2
00
1:.2l y x x x
(1)因为 (2, 2),P 于是切线 : 2 2.l y x故圆心O 到切线l 的距离为 2 .
5
d
于是 222 2 5| | 2 1 2 1 ( ) .55
AB d 5 分
(2)联立
22
2
00
1
1
2
xy
y x x x
得 2 2 3 4
0 0 0
1( 1) 1 0.4x x x x x
设 1 1 2 2( , ), ( , ), ( , ).A x y B x y M x y 则
3
0
12 2
0
,1
xxx x
3 2 2 4
0 0 0
1( ) 4( 1)( 1) 0.4x x x
又 2
0 0,x 于是 2
00 2 2 2.x
于是
32
20012
0022
00
1,.2 2( 1) 2 2( 1)
xxxxx y x x xxx
又C 的焦点 1(0, ),2F 于是 1(0, ).2F
故
3 2 6 4 2
220 0 0 0 0
2 2 2 2 2
0 0 0 0
1111| | ( ) ( ) .2( 1) 2( 1) 2 4( 1) 2 1
x x x x xFM x x x x
9 分
令 2
0 1,tx则1 3 2 2.t 于是
21 3 3 1 3| | 3.22
ttF M ttt
因为 3t t 在[1, 3) 单调递减,在( 3,3 2 2) 单调递增.
又当 1t 时, 1||2FM ；当 3t 时, 2 3 3|| 2FM ；
当 3 2 2t 时, 2 2 1 1| | .22FM
所以||FM 的取值范围为 2 3 3 2 2 1[ , ).22
12 分
22.解：(1)消去参数 得 22( 2) 3( 0)x y y 将 cos , sinxy 代入得
22( cos 2) ( sin ) 3, 即 2 4 cos 1 0.
所以曲线C 的极坐标方程为 2 π4 cos 1 0(0 ).3
5 分
(2)法 1：将 π
6 代入 2 π4 cos 1 0(0 )3 得 2 2 3 1 0 , 第 4 页
设 12
π π( , ), ( , ),66AB则 12 1. 于是 12| | | | 1.OA OB 10分
法 2： π
3 与曲线C 相切于点 ,M π| | 2sin 1,3OM
由切割线定理知 2| | | | | | 1.OA OB OM 10 分
23.解：(1)
3 , ( , ),2
( ) 2 , [ , ],2
3 , ( , ).
ax a b x
af x x a x b x a b x b
x a b x b
.
当 ( , )2
ax 时,函数 ()fx单调递减；当 ( , )xb 时,函数 ()fx单调递增.
所以 m 只能在[ , ]2
a b 上取到.当 [ , ]2
axb 时,函数 ()fx单调递增.
所以 2( ) 2.2 2 2
a a a bm f a b
5 分
(2)因为 22a mb tab恒成立,且 0, 0ab,
所以
22a mbt ab
恒成立即
min
a
b
mbt a
.
由(1)知 2m ,于是 2 2 2 2.aamb a b
mb
a
mb
当且仅当 2a
ba
b 时等号成立即 4( 2 1) 0, 2(2 2) 0.ab
所以 22t ,故实数t 的最大值为 2 2. 10 分
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