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绝密★考试结束前 浙江省新高考心态卷 数学 ‎（全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟。）‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共 40 分）‎ 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 1. 已 知 全 集 B = {x Î N + y = ‎U = {-1,0,1,2,3,4} - x2 + x + 2}，则C ‎， 集 合 (A U B) = ‎A = {x Î N x2 - 4x + 3 £ 0} ‎， 集 合 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 A. {-1,0,1,2，3} ‎U B. {-1,0,4} ‎C. {4} ‎D. {-1,0,3,4} 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 2. 已知双曲线 y2 - 2x2 = 1 ，则其渐近线方程为 ‎2‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 A. y = ± 2x ‎B. y = ± 2 x ‎2‎ ‎C. y = ± x ‎1‎ ‎2‎ ‎D. y = ±2x 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 3. 已知 m，n，l 是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则 n∥β的一个充分条件是 A.m⊥β，m⊥n B.α∩β=l，m⊥n⊥l，m∥α C.α⊥β，n⊥α，m∈β，m 与 n 不相交 D.α∩β=l，n∥l，m∈α，m 与 n 相交 b 4. 已知正数 a, b, c 满足6c - 4a £ b £ 5c - 2a ， c ln b ³ a + c ln c ，则 a 的取值范围是 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 A. [2, e] ‎B. [e,8] ‎C. [e2 ,8] ‎D. [e, e2 ] 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 5. 关于 x 的方程(x2 -1)2 - x2 -1 + k = 0 ，给出下列四个命题：‎ ‎①存在实数 k ，使得方程恰有 2 个不同的实根；‎ ‎②存在实数 k ，使得方程恰有 4 个不同的实根；‎ ‎③存在实数 k ，使得方程恰有 5 个不同的实根；‎ ‎④存在实数 k ，使得方程恰有 8 个不同的实根. 其中假命题个数是 A. 0 B.1 C. 2 D. 4‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 6. 对于 c > 0 ， 当非零实数 a, b 满足 4a2 - 2ab + 4b2 - c = 0 ， 且使 ‎3 - 4 + 5 的最小值为 ‎2a + b ‎最大时，‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 a b c 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 A. - 1‎ ‎2‎ ‎1‎ B. C. - 2‎ ‎2‎ ‎D. 2‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 7. 随机变量x1 ，x2 的分布列如下图所示，则 x1‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P a b c x2‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎1‎ P c b a A. E(x1 ×x2 ) = E(x1 )× E(x2 )， D(x1 ×x2 ) = D(x1 )× D(x2 ) B. E(x1 ×x2 ) = E(x1 )× E(x2 )， D(x1 ×x2 ) > D(x1 )× D(x2 ) C. E(x1 ×x2 ) < E(x1 )× E(x2 )， D(x1 ×x2 ) = D(x1 )× D(x2 ) D. E(x1 ×x2 ) < E(x1 )× E(x2 )， D(x1 ×x2 ) > D(x1 )× D(x2 ) 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 1. 如图,已知平面α⊥平面β,A、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点,DA⊂β,CB⊂β, 且 DA⊥α,CB⊥α,AD=4,BC=8,AB=6,在平面α内有一个动点 P,使得 ‎∠APD=∠BPC,当平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角为 90°时，则△PAB 的面积的是 A. 12 B.16‎ ‎36 48‎ C. D.‎ ‎5 5‎ 2. 已知 AB 是半圆O 的直径， AB = 2 ，等腰三角形OCD 的顶点C 、D 在半圆弧 上运动，且OC = OD ，ÐCOD = 120° ，点 P 是半圆弧上的动点，则 PC × PD 的取值范围是 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎7‎ é 3 3 ù ‎4‎ ‎4‎ A. ê- , - ú ë 2 û ‎é B. ê- ë ‎3 ， - 3 ù ‎5‎ ‎4‎ ú ‎4 2 û ‎é C. ê- ë ‎1 ， - 3 ù ‎7‎ ‎4‎ ú ‎2 2 û ‎é D. ê- ë ‎1 ， - 3 ù ‎5‎ ‎4‎ ú ‎2 2 û 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 3. 设数列{a }满足 a = 0 ， a = ca 3 +1- c ， n Î Z + ，其中c 为实数，数列{a 2 }的前 n n 1 n+1 n n 项和是{Sn }，下列说法不正确的是 A. c Î[0,1]是 an Î[0,1]的充分必要条件 B.当c > 1 时， {an }一定是递减数列 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 C.当c < 0 时，不存在c 使{a }是周期数列 D.当c = 1 时， S n 4 n ‎> n - 7‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 第Ⅱ卷 （非选择题 共 110 分）‎ 二、填空题：本大题共 7 小题，多空题每题 6 分，单空题每题 4 分，共 36 分。11.欧拉公式eix = cos x + i sin x （ i 为虚数单位）把复指数函数与三角函数联系起来它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它不仅出现在数学分析里， 而且在复变函数论里也占有非常重要的地位，更被誉为“数学中的天桥”。‎ 请计算： eip = ；猜想： ii （填“是”或“不是”）虚数。‎ ‎12.某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，其内切球表面积是 。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎13.若(1+ x + x2 )1010 = a ‎+ a x + a x2 + ××× + a ‎x2020 ，求 a ‎+ a + ××× + a ‎= ，‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎0 1 2‎ ‎2020‎ ‎2 4 2020‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 a3 + a6 + ××× + a2019 = 。‎ 14. 王者荣耀是一款风靡全国的 MOBA 手游，其中上官婉儿的连招“2133333”能画出一个 ‎5‎ 五边形，体现数学之美。如图所示，凸五边形 ABCDE ，CD = CE = ，BD = 2 ，△BDE 是以 BD 为斜边的等腰直角三角形，BC = ，若△ABE 是以 BE 为斜边的等腰直角三角形， P 在线段 BD 上运动，则tan ÐAPE 的取值范围是 。‎ 15. 新冠疫情期间，甲、乙、丙三个家庭在某医院等候区等待核酸检测结果。等候区是 6（列）‎ ‎×2（行）的座位。甲、乙家庭各有三人，且乙家庭有一个小孩，丙家庭有两人。现有相关规定：同一家庭的人需坐在同一行上，不同家庭的人之间不能太接近（左右不相邻），小孩 至少坐在其一位家长身边（左右相邻）。则共有 种坐法。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 14. 已知当动点 P 到定点 F （焦点）和到定直线 x = x0 的距离之比为离心率时，该直线便是 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 x2‎ 椭圆的准线。过椭圆 ‎4‎ ‎+ y2‎ ‎= 1 上任意一点 P ，做椭圆的右准线的垂线 PH （ H 为垂足），‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎1- x2‎ ‎1- x2‎ 并延长 PH 到Q ，使得 HQ = lPH (l³ 1)。当点 P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是 。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 íx2 -1‎ ‎17.函数 f (x) = ì - 3x î ‎x < 0 ，若方程 f (x)+ 3‎ x ³ 0‎ ‎+ f (x)- 3‎ ‎- 2ax - 6 = 0 有 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 三个根，且 x1 < x2 < x3 ， x2 是 x1 和 x3 的等差中项，则 a = 。‎ 三、解答题：本大题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎18（. 本题满分 14 分）已知△ABC 中，函数 f (x) = cosæ 3p+ x ö ×sin(A - x)的最大值为 1 。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎（Ⅰ）求ÐA 的大小；‎ ‎ç ÷ è 2 ø 4‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎（Ⅱ）若 g(x) = æ ( )+ 1 ö ，方程 4[g(x)]2 - m[g(x)]+1 = 0 在 x Î é- p,pù 内有两个不 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎2ç f x ÷ è 4 ø ‎ëê 3‎ ‎3 úû 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 同的解，求实数 m 取值范围。‎ ‎19.（本题满分 15 分）如图，四棱锥 P - ABCD 中，ÐABC = ÐBAD = 90° ，BC = 2 AD ，‎ ‎△PAB 与△PAD 都是等边三角形。‎ ‎（Ⅰ）证明： PB ^ CD ；‎ ‎（Ⅱ）求二面角 A - PB - C 的余弦值。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎20.（本题满分 15 分）数列{a }满足 a ‎= 1且 a ‎= æ1+ ‎1 öa + 1 (n ³ 1) 。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 n 1‎ ‎（Ⅰ）证明： an ³ 2(n ³ 2)；‎ ‎2‎ ‎（Ⅱ）证明： an < e (n ³ 1)。‎ ‎n+1 ç ø è ‎n2 + n ÷ n 2n 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 x2 y2‎ ‎2‎ ‎21.（本题满分 15 分）已知椭圆C1： + = ‎‎ 1 的焦点与抛物线C2：x = ‎‎ 2 py( p ‎‎ > 0)的焦 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 ‎6 3‎ 点之间的距离为 2。‎ ‎（Ⅰ）求抛物线C2 的方程；‎ AB AC ‎（Ⅱ）设C1 与C2 在第一象限的交点为 A ，过点 A 斜率为 k (k > 0) 的直线l1 与C1 的另一个交点为 B ，过点 A 与 l1 垂直的直线l2 与C2 的另一个交点为C 。设 m = ， 试求 m 的取值范围。‎ ‎22.（本题满分 15 分）设函数 f (x) = (x - a)2 ln x, a Î R 。‎ ‎（Ⅰ）若 x = e 为 y = f (x) 的极值点，求实数 a ；‎ ‎（Ⅱ）对任意 x Î(0,3e]，恒有 f (x) £ 4e2 成立，求实数 a 的取值范围。‎ 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页 浙江省新高考心态卷 数学 第 5 页 共 4 页