陕西省西安市一中2019-2020高二数学（理）下学期期中试题（Word版带答案）

1 市一中 2019-2020 学年度第二学期线上教学测试 高二数学试题(理) 一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分） 1．复平面内表示复数 i(1－2i)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．关于综合法和分析法的说法错误的是(　　) A．综合法和分析法是直接证明中最基本的两种证明方法 B．综合法又叫顺推证法或由因导果法 C．综合法和分析法都是因果分别互推的两头凑法 D．分析法又叫逆推证法或执果索因法 3．下列平面图形与空间的平行六面体作为类比对象比较合适的是(　　) A．三角形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 4．在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 1 2n(n－3)条时，第一步应验证 n 等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知 P(A)＝3 5 ，P(AB)＝ 3 10 ，则 P(B|A)等于(　　) A. 9 50 　　　B.1 2 　　　C. 9 10 　　　　 D.1 4 6.函数푦 = 푓(푥)导函数푓′(푥)的图象如图所示，则下列说法正确的是( ) A. 函数푦 = 푓(푥)在 上单调递增 B. 函数푦 = 푓(푥)的递减区间为(3,5) C. 函数푦 = 푓(푥)在푥 = 0处取得极大值 D. 函数푦 = 푓(푥)在푥 = 5处取得极小值 7.设函数푓(푥) = {푥2,0 ≤ 푥 ≤ 1, 1,1 < 푥 ≤ 2, 则定积分∫2 0 푓(푥)푑푥等于 ( ) A. 8 3 B. 2 C. 4 3 D. 1 3 8.已知푓(푥) = 푥2 +3푥푓′(1)，则푓′(2) = (    ) A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9.若퐴3푛 = 12퐶2푛，则푛 = (    ) A. 8 B. 7 C. 6 D. 4 10.函数푦 = 푥4 ―4푥 + 3在区间[ ― 2,3]上的最小值为( ) A. 72 B. 36 C. 12 D. 0 11.安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成，则不同的安 排方式共有(    ) A. 12 种 B. 18 种 C. 24 种 D. 36 种 12.若函数푓(푥) = 푙푛푥 + 푎푥 + 1 푥在[1, + ∞)上是单调函数，则 a 的取值范围是(    ) A. ( ― ∞,0] ∪ [1 4, + ∞) B. ( ― ∞, ― 1 4] ∪ [0, + ∞) C. [ ― 1 4,0] D. ( ― ∞,1]2 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13. (x－y)10 展开式中，x7y3 的系数与 x3y7 的系数之和等于________． 14.若(1 + 2푥)5 = 푎0 + 푎1푥 + 푎2푥2 + 푎3푥3 + 푎4푥4 + 푎5푥5，则푎0 + 푎2 + 푎4 = ______． 15.定积分∫1 0 1 ― (푥 ― 1)2d푥 = ________． 16. 用数字 1，2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为______ (用数 字回答) 17.若函数푓(푥) = 푥2 ―푥 + 1 + 푎푙푛푥在(0, + ∞)上单调递增，则实数 a 的取值范围是 ______． 三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分） 18.（10 分）用数学归纳法证明： 1＋5＋9＋13＋…＋(4n－3)＝2n2－n(n∈N＋)． 19. （10 分）袋中有 4 个红球，3 个黑球，从袋中随机取球，设取到一个红球得 2 分，取 到一个黑球得 1 分，从袋中任取 4 个球． (1)求得分 X 的分布列； (2)求得分大于 6 分的概率． 20.（12 分） 已知函数푓(푥) = 푎ln푥 ― 푏푥2，a，푏 ∈ 푅.若푓(푥)在푥 = 1处与直线푦 = ― 1 2相切． (1)求 a，b 的值； (2)求푓(푥)在[1 푒,푒]上的极值． 21.（12 分） 已知函数푓(푥) = 푙푛푥 + 푎푥2 +(2푎 + 1)푥． (1)讨论푓(푥)的单调性； (2)当푎 < 0时，证明푓(푥) ≤ ― 3 4푎 ―2． 市一中 2019-2020 学年度第二学期线上教学测试 高二数学试题(理) 参考答案 一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 3 分，共 36 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C C C B D C A A D D B 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13. －240 14. 121 15. 16. 72 17. [1 8, + ∞) 三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分） 18. 证明　(1)当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1，命题成立． (2)假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＝2k2－k. 则当 n＝k＋1 时，1＋5＋9＋13＋…＋(4k－3)＋(4k＋1) ＝2k2－k＋(4k＋1) ＝2k2＋3k＋1＝2(k＋1)2－(k＋1)． 所以当 n＝k＋1 时，命题成立． 综合(1)(2)可知，原命题成立． 19. 　(1)从袋中随机摸 4 个球的情况为：1 红 3 黑，2 红 2 黑，3 红 1 黑，4 红四种情况， 分别得分为 5 分，6 分，7 分，8 分．故 X 的取值为 5,6,7,8. P(X＝5)＝C14C33 C47 ＝ 4 35 ，P(X＝6)＝C24C23 C47 ＝18 35 ， P(X＝7)＝C34C13 C47 ＝12 35 ，P(X＝8)＝C44 C47 ＝ 1 35. 故所求分布列为 X 5 6 7 83 P 4 35 18 35 12 35 1 35 (2)根据随机变量的分布列，可以得到得分大于 6 分的概率为 P(X>6)＝P(X＝7)＋P(X＝8)＝12 35 ＋ 1 35 ＝13 35. 20. 解：(1)f'(x) = a x - 2bx， ∵ 函数f(x)在x = 1处与直线y = - 1 2相切， ∴ {f'(1) = 0 f(1) = - 1 2 ，即{a - 2b = 0 -b = - 1 2 ，解得{a = 1 b = 1 2 ； (2)由(1)得：f(x) = lnx - 1 2x2，定义域为(0, + ∞)． f'(x) = 1 x - x = 1 - x2 x ， 令f'(x) > 0，解得0 < x < 1， 令f'(x) < 0，得x > 1． ∴ f(x)在(1 e,1)上单调递增，在(1,e)上单调递减， ∴ f(x)在[1 e,e]上的极大值为f(1) = - 1 2，无极小值． 21. (1)解：因为f(x) = lnx + ax2 +(2a + 1)x，且f(x)的定义域为{x|x > 0}， 所以f'(x) = 1 x +2ax + (2a + 1) = 2ax2 + (2a + 1)x + 1 x = (2ax + 1)(x + 1) x ， ①当a = 0时，f'(x) = 1 x +1 > 0恒成立，此时y = f(x)在(0, + ∞)上单调递增； ②当a > 0，由于x > 0，所以(2ax + 1)(x + 1) > 0恒成立，此时y = f(x)在(0, + ∞)上单调递增； ③当a < 0时，令f'(x) = 0，解得：x = - 1 2a， 因为当x ∈ (0, - 1 2a)时f'(x) > 0；当x ∈ ( - 1 2a, + ∞)时，f'(x) < 0， 所以y = f(x)在(0, - 1 2a)上单调递增、在( - 1 2a, + ∞)上单调递减； 综上可知：当a ≥ 0时f(x)在(0, + ∞)上单调递增， 当a < 0时，f(x)在(0, - 1 2a)上单调递增、在( - 1 2a, + ∞)上单调递减； (2)证明：由(1)可知：当a < 0时f(x)在(0, - 1 2a)上单调递增、在( - 1 2a, + ∞)上单调递减， 所以当x = - 1 2a时函数y = f(x)取最大值f(x)max = f( - 1 2a) = - 1 - ln2 - 1 4a + ln( - 1 a)， 从而要证f(x) ≤ - 3 4a - 2，即证f( - 1 2a) ≤ - 3 4a - 2， 即证 - 1 - ln2 - 1 4a + ln( - 1 a) ≤ - 3 4a - 2，即证 - 1 2( - 1 a) + ln( - 1 a) ≤ - 1 + ln2; 令t = - 1 a，则t > 0，问题转化为证明： - 1 2t + lnt ≤ - 1 + ln2，( * ) 令g(t) = - 1 2t + lnt，则g'(t) = - 1 2 + 1 t， 令g'(t) = 0可知t = 2，则当0 < t < 2时g'(t) > 0，当t > 2时g'(t) < 0， 所以y = g(t)在(0,2)上单调递增、在(2, + ∞)上单调递减， 即g(t) ≤ g(2) = - 1 2 × 2 + ln2 = - 1 + ln2，即( * )式成立， 所以当a < 0时，f(x) ≤ - 3 4a - 2成立．