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市一中 2019-2020 学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题(文)
一、选择题（本题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分）
1. 已知集合퐴 = {1,2，3}，퐵 = {푥|푥2 < 9}，则퐴 ∩ 퐵 = ( )
A. { - 2, - 1,0, 1，2，3} B. { - 2, - 1,0, 1，2}
C. {1,2, 3} D. {1,2}
2. 当푚 ∈ 푁∗，命题“若푚 > 0，则方程푥2 +푥 ― 푚 = 0有实根”的逆否命题是( )
A. 若方程푥2 +푥 ― 푚 = 0有实根，则푚 > 0
B. 若方程푥2 +푥 ― 푚 = 0有实根，则푚 ≤ 0
C. 若方程푥2 +푥 ― 푚 = 0没有实根，则푚 > 0
D. 若方程푥2 +푥 ― 푚 = 0没有实根，则푚 ≤ 0
3. 设 a，b 是实数，则“푎 > 푏”是“푎2 > 푏2”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 函数푓(푥) = 1
lg(푥 + 1) + 2 ― 푥的定义域为( )
A. ( ― 1,0) ∪ (0,2] B. [ ― 2,0) ∪ (0,2] C. [ ― 2,2] D. ( ― 1,2]
5. 如图给出的四个对应关系，其中构成映射的是( )
A. (1)(2) B. (1)(4) C. (1)(2)(4) D. (3)(4)
6. 直线{푥 = 5 ― 3푡
푦 = 3 + 3푡(t 参数)的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
7. 不等式|푥 + 2| ≤ 5的解集是( )
A. {푥|푥 ≤ 1或푥 ≥ 2} B. {푥| ― 7 ≤ 푥 ≤ 3}
C. {푥| ― 3 ≤ 푥 ≤ 7} D. {푥| ― 5 ≤ 푥 ≤ 9}
8. 若函数푓(푥) = { ― 푥
1
3,푥 ≤ ―1
푥 + 2
푥 ― 7,푥 > ―1，则푓[푓( ― 8)] = ( )
A. ―2 B. 2 C. ―4 D. 4
9. 已知函数푓(3푥 + 1) = 푥2 +3푥 + 2，则푓(10) = ( )
A. 30 B. 6 C. 20 D. 9
10. 已知函数푦 = 푓(푥)定义域是[ ― 2,3]，则푦 = 푓(2푥 ― 1)的定义域是( )
A. [0,5
2] B. [ ― 1,4] C. [ ― 1
2,2] D. [ ― 5,5]
11. 若指数函数푓(푥) = 푎푥在区间[0,2]上的最大值与最小值之和为 10，则 a 的值为( )
A. 1
3 B. 3 C. ± 3 D. ± 1
3
12. 已知定义在 R 上的偶函数푓(푥)满足푓(푥 ― 4) = 푓(푥)，且在区间[0,2]上푓(푥) = 푥，若关
于 x 的方程푓(푥) = log푎|푥|有六个不同的根，则 a 的范围为( )
A. ( 6, 10) B. ( 6,2 2) C. (2,2 2) D. (2,4)
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
13. 6 + 7与2 2 + 5的大小关系为______．
14. 已知푦 = 푓(푥)是一次函数，且有 ，则푓(푥)的解析式为______ ．
15. 函数푦 = 푥2 + 3
푥2 + 2的最小值是______ ．
16. 设푎 ∈ 푅，直线푎푥 ― 푦 + 2 = 0和圆{푥 = 2 + 2푐표푠휃,
푦 = 1 + 2푠푖푛휃 (휃为参数)相切，则 a 的值为
______．
17. 已知 a，푏 ∈ 푅 + ，且푎 + 푏 = 1，则 2푎 + 1 + 2푏 + 1的最大值为_________．
三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）
18. (10 分)已知푓(푥)是定义在 R 上的偶函数，且푥 ≤ 0时，푓(푥) = log1
2( ―푥 + 1)．
(1)求푓(3) +푓( ―1);
(2)求函数푓(푥)的解析式；
19. (10 分)某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性
别有关，该学校对 100 名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 10
女生 20 2
合计
已知在这 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为3
5．
(1)请将上述列联表补充完整；
(2)并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
(3)已知在被调查的学生中有 5 名来自甲班，其中 3 名喜欢游泳，现从这 5 名学生中随
机抽取 2 人，求恰好有 1 人喜欢游泳的概率．
下面的临界值表仅供参考：
푃(퐾2 ≥ 푘) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
(参考公式：퐾2 = 푛(푎푑 ― 푏푐)2
(푎 + 푏)(푐 + 푑)(푎 + 푐)(푏 + 푑)，其中푛 = 푎 + 푏 + 푐 + 푑)
20. (12 分)已知直线 l：{푥 = 5 + 3
2 푡
푦 = 3 + 1
2푡(푡为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建
立极坐标系，曲线 C 的坐标方程为휌 = 2푐표푠휃．(1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标
方程；
(2)设点 M 的直角坐标为(5, 3)，直线 l 与曲线 C 的交点为 A，B，求|푀퐴| ⋅ |푀퐵|的值．
21. (12 分) 设函数푓(푥) = |2푥 + 2| ― |푥 ― 2|
(1)求不等式푓(푥) > 2的解集；
(2)푥 ∈ 푅，푓(푥) ≥ 푡2 ― 7
2푡恒成立，求实数 t 的取值范围．
市一中 2019-2020 学年度第二学期线上教学测试
高二数学试题(文)参考答案
一、选择题（本题共 12 道小题，每小题 3 分，共 36 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D D D A B D B C C C B A
二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分）
13. >
14. f(x) = 4x - 3或f(x) = - 4x + 5
15. 3 2
2
16.3
4 17. 2 2
三、解答题（本大题共 4 小题，共 44 分）
18. (1) ∵ f(x)是定义在 R 上的偶函数，
x ≤ 0时， ，
；
(2)令x > 0，则 - x < 0，f( -x) = log1
2(x + 1) = f(x)
∴ x > 0时，f(x) = log1
2(x + 1)，
则f(x) = {log1
2
( - x + 1), x ≤ 0
log1
2
(x + 1), x > 0 ;
19. (1)因为在 100 人中随机抽取 1 人抽到喜欢游泳的学生的概率为3
5，
所以喜欢游泳的学生人数为100 × 3
5 = 60人，
其中女生有 20 人，则男生有 40 人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50
女生 20 30 50
合计 60 40 1003
(2)因为K2 = 100(40 × 30 - 20 × 10)2
60 × 40 × 50 × 50 ≈ 16.67 > 10.828，
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；
(3)5名学生中喜欢游泳的 3 名学生记为 a，b，c；另外 2 名学生记为 1，2．
任取 2 名学生，则所有可能情况为(a,b)、(a,c)、(a,1)、(a,2)、(b,c)、(b,1)、(b,2)、(c,1)、(c,2)、(1,2)，共 10
种；
其中恰有 1 人喜欢游泳的可能情况为(a,1)、(a,2)、(b,1)、(b,2)、(c,1)、(c,2)，共 6 种．
所以，恰好有 1 人喜欢游泳的概率为 6
10 = 3
5．
20.解：(1) ∵ ρ = 2cosθ， ∴ ρ2 = 2ρcosθ，
将 代入可得x2 + y2 = 2x，
故曲线 C 的直角坐标方程为(x - 1)2 + y2 = 1；
(2)直线 l：{x = 5 + 3
2 t
y = 3 + 1
2t(t为参数)，显然 M 在直线 l 上，
把 l 的参数方程代入(x - 1)2 + y2 = 1，整理可得
t2 +5 3t + 18 = 0，Δ = (5 3)2 - 4 × 18 = 3 > 0，
设 A，B 对应的参数为t1,t2，
∴ t1 + t2 = - 5 3,t1t2 = 18，
故|MA| ⋅ |MB| = |t1t2| = 18．
21.解：(1)函数f(x) = |2x + 2| - |x - 2| = { -x - 4,x < -1
3x, - 1 ≤ x < 2
x + 4,x ≥ 2 ,
当x < - 1时，不等式f(x) > 2，
即 - x - 4 > 2，求得x < - 6， ∴ x < - 6;
当 - 1 ≤ x < 2时，不等式f(x) > 2，
即3x > 2，求得x > 2
3， ∴ 2
3 < x < 2;
当x ≥ 2时，不等式f(x) > 2，
即x + 4 > 2，求得x > - 2， ∴ x ≥ 2．
综上所述，不等式的解集为{x|x > 2
3或x < - 6}；
(2)由f(x)的单调性可得f(x)的最小值为f( - 1) = - 3，
若∀x ∈ R，f(x) ≥ t2 - 7
2t恒成立，
只要 - 3 ≥ t2 - 7
2t，即2t2 - 7t + 6 ≤ 0，
∴ 求得3
2 ≤ t ≤ 2．
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