2019-2020高一数学（理）4月月考试题（含答案Word版）

2019～2020 学年度（下期）高 2019 级 4 月月考试卷 理科数学 第Ⅰ卷 （选择题，共 60 分） 一、选择题：本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分；在每小题给出的四个选项中，有 且只有一项是符合题目要求的。 1．设 且 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 3．等比数列 中, 则 的前 项和为 （ ） A． B． C． D． 4． 的值为（ ） A． B． C． D． 5.在 中，内角 所对的边分别是 ，B＝60º，且不等式 的 解集为 ，则 等于 （ ） A． B．4 C． D． 6．已知 、 为锐角， ， ，则 = （ ） A． B． C． D． 7．在 中，角 的对边分别为 a，b，c，若 ，则 （ ） A．2 B． C． D． 8.函数 的最大值为 （ ） A．2 B． C． D． , ,a b c R∈ a b> ac bc> 2 2a b> 3 3a b> 1 1 a b < 3sin 4 α = ( )cos 2α π− = 1 8 1 8 − 1 9 5 3 { }na ,243,9 52 == aa { }na 4 81 120 168 192 2 1sin 35 2 sin 20 −  1 2 1 2 − 1− 1 ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 2 5 6 0x x− + < { | }x a x c< < b 7 3 3 2 3 α β 3cos 5 α = 1tan( ) 3 β α− = tan β 13 9 9 13 3 1 3 ABC∆ , ,A B C 4 7cos ,cos , 15 25A C a= = = b = 6 5 36 25 39 25 ( )2sin sin cosy x x x= + 2 2 1− 1 2+9．在 中，内角 所对的边分别是 ，若 成等比数列， ，则 ＝ （ ） A． B． C． D． 10．已知△ 中， , , 分别是 、 的等差中项与等 比中项，则△ 的面积等于 ( ) A． B． C． 或 D． 或 11．在递减等差数列 中， .若 ，则数列 的前 项和的最大 值为 （ ） A． B． C． D． 12．设等差数列 满足 ,公差 ,当且仅当 时,数列 的前 项和 取得最大值，求该数列首项 的取值范围为( ) A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共 90 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13.不等式 的解集为 .（用区间表示） 14．若数列 是正项数列，且 ， 则 ＝ . 15．甲船在岛 的正南 处，以 4 千米/时的速度向正北方向航行， 千米，同时乙船 自岛 出发以 6 千米/时向北偏东 60°的方向驶去.当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的 时间为 小时. 16．在△ABC 中，内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S,且 2S=(a+b)2-c2， 则 tanC 等于 ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 , ,a b c 30A = ° sinb B c 1 2 2 2 3 2 3 4 ABC °=∠ 30A AB2 BC 1132 + 1132 － ABC 2 3 4 3 2 3 3 2 3 4 3 { }na 2 1 3 2 4a a a= − 1 13a = 1 1 n na a +       n 24 143 1 143 6 13 24 13 { }na 2 2 2 2 4 7 7 4 5 6 sin cos sin cos 1sin( ) a a a a a a − =+ ( 1,0)d ∈ − 9n = { }na n nS 1a 4 3( , )3 2 π π 4 3,3 2 π π     7 4( , )6 3 π π 7 4,6 3 π π     1 1x ≤ { }na 2 * 1 2 3 ( )na a a n n n N+ + + = + ∈ 1 2 2 3 1 na a a n + + + + A B 10AB = A三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17．(本题满分 10 分)已知公差不为零的等差数列 中， ，且 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； （2）设 ,求数列 的前 项和 ． 18．（本小题满分 12 分） 在 中，内角 所对边分别为 ．已知 面积为 ， ， ． （1）求 的值；（2）求 的值． 19. （本小题满分 12 分）已知在 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 . （1）求 b 的值； （2）若 ,求 的取值范围. }{ na 1 1a = 1 3 9, ,a a a }{ na =2 +na nb n { }nb n nS ABC∆ , ,A B C , ,a b c ABC∆ 3 15 5b c− = 1cos 4A = − a cos 2 6A π −   ABC∆ cos cos 2 3sin 3sin B C A b c C + = cos 3sinB 2B + = a c+20．（本小题满分 12 分）已知数列 是一个以 2 为首项，2 为公比的等比数列， (1)求数列 的通项公式； (2) 设 ，求 Sn. (3)若对任意 ，有 恒成立，求实数 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 在 中，内角 所对的边分别是 ,不等式 对一切实数 恒成立. （1）求 的取值范围； （2）当 取最大值，且 的周长为 9 时，求 面积的最大值，并指出面积取最大 值时 的形状．（参考知识：已知 a,b R，a2+b2 2ab；a,b R+， ） 22．（本小题满分 12 分）已知数列 的前 n 项和为 , ,且 ( ),数 列 满足 , ,对任意 ,都有 . （1）求数列 、 的通项公式; （2）令 .若对任意的 ,不等式 恒成立,试 求实数λ的取值范围. { }1n na a+ − { }na 1 2 1 2 2 3 1 1, ... n n n n n n aa ab a S b b b b b b + = − = + + + *n N∈ 28 23n mS m≥ − m ABC∆ A B C、 、 a b c、 、 2 3cos 2 sin 02x C x C+ + ≥ x cosC C∠ ABC∆ ABC∆ ABC∆ ∈ ≥ ∈ 2a b ab+ ≥ { }na nS 1 1a = ( )+1 2n nn a S= n∈ *N { }nb 1 1 2b = 2 1 4b = n∈ *N 2 1 2n n nb b b+ += { }na { }nb 1 1 2 2 ...n n nT a b a b a b= + + + *n∈N 2 2( 3 )n n n nnT b S n bλ λ+ < +2019—2020 学年度（下期）高 2019 级 4 月月考数学（理）答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A B B A C D D A D C A 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13. 14. 15. 16. 三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．(本题满分 10 分) 解：（1）设公差为 d, 则有 ……………………………………………2 分 ∴d=0（舍）或 , …………………………………………………………3 分 ∴ …………………………………………………………………………5 分 （2）令 …………………………………………………………6 分 ∴ …………………………………10 分 18．（本小题满分 12 分） 解：（1）在 中，由 ，可得 . 又因为 ，所以 ，即 …………………2 分 又 ，解得 ， . ……………………………………………4 分 由 . 得 …………………………………………………………………6 分 （2）因为 = ， ………8 分 所以 = ……………………………12 分 [ )( ,0) 1,−∞ ∪ +∞ 22 6n n+ 5 14 4 3 − ( )21 2d 1 1 8d+ = × +（ ） 1d = na n= 2 2na n nb n n= + = + 12 (1 2 ) ( 1) ( 1)2 21 2 2 2 n n n n n n nS +× − + += + = − +− ABC∆ 1cos 4A = − 15sin 4A = 3 15ABCS∆ = 1 sin 3 152 bc A = 24bc = 5b c− = 8b = 3c = 2 2 2 2 cos 85a b c bc A= + − = 85a = cos2A 2 72cos 1= 8A− − sin 2 =2sin cos =A A A 15 8 − cos 2 cos2 cos sin 2 sin6 6 6A A A π π π − = +   7 3 15 1 8 2 8 2   = − × + − ×        15 7 3 16 +− 19. （本小题 12 分） 【答案】（1）（6 分） （2）（6 分） 试题解析：（1）由 ，应用余弦定理，可得 化简得 则 （2） 即 所以 法一. ,则 = = = 又 法二因为 由余弦定理 得 ， 又因为 ，当且仅当 时“ ”成立. 所以 又由三边关系定理可知 综上 20．（本小题 12 分） 详解：(1)（4 分）∵数列 是首项、公比均为 2 的等比数列， ， 故 ，当 时， 符合上式，∴数列 的通项公式为 . (2)（4 分）解： ， 所以 . （3）（4 分）因 ，所以{Sn}单调递增，即有 Sn 的最小值为 S1= ， { }1n na a+ − 1 2n n na a+ − = ( ) ( ) ( )1 2 1 3 2 1n n na a a a a a a a −= + − + − + + − 1 2 12 2 2 2 2n n−= + + + + = 1n = 1 1 2a = { }na 2n na = 2 , 1 2 1n n n n na b a= = − = − ( )( ) 11 1 2 1 1 2 1 2 12 1 2 1 n n n nn n n n a b b ++ + ∴ = = −− −− − 1 2 2 3 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1n n nS +      = − + − + + −     − − − − − −      1 11 2 1n nS += − − 1 11 2 1n nS += − − 2 3 22 8 23 3 m m≥ −成立，由已知有 ，解得 ，所以 的取值范围为 ． 21．（本小题满分 12 分） 解：（1）当 时， ， 原不等式即为 对一切实数 不恒成立. …………………………………1 分 当 时，应有 ………………………………3 分 解得 . …………………………………………5 分 ……………………………………………6 分 （2） ， 的最大值为 ………………………7 分 此时 ， . （当且仅当 时取“=”）. ……………………………………………10 分 （当且仅当 时取“=”）. 此时， 面积的最大值为 ， 为等边三角形. ……………………12 分 22．（本小题满分 12 分） 解：（1） ， 当 时， ∴ ，即 ( ). ……………………………1 分 ∴ ( )， 24 3 1m m− ≤ 1 14 m− ≤ ≤ m 1 ,14  −   cos 0C = sin 1C = 32 02x + ≥ x cos 0C ≠ 2 cos 0 4sin 6cos 0 C C C > ∆ = − ≤ 2 cos 0 2cos 3cos 2 0 C C C >∴ + − ≥ 1cos cos 22C C≥ ≤ −或 （舍去） 0 C π< + *n∈N 2 2 6( ) 2 n nf n n n + −= + 22 6 1 1( ) 1 1 1 2422 ( 6) 1066 nf n n nn n n nn += − = − = −++ + + −++ 6 7n + ≥ 24( 6) 106n n + + −+ ( )f n n →+∞ ( ) 1f n → ( ) 1f n < 1λ ≥ [1, )+∞