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数学!文史类"试题答案 第 !!!!! 页!共"页"
数学!文史类"参考答案
评分说明!
!"本解答给出了一种或几种解法供参考!如果考生的解法与本解答不同!可根据试题的主要
考查内容比照评分参考制定相应的评分细则"
#"对计算题!当考生的解答在某一步出现错误时!如果后继部分的解答未改变该题的内容和
难度!可视影响的程度决定后继部分的给分!但不得超过该部分正确解答应得分数的一半#如果
后继部分的解答有较严重的错误!就不再给分"
$"解答右端所注分数!表示考生正确做到这一步应得的累加分数"
%"只给整数分"选择题和填空题不给中间分"
!"&!#"'!$"(!%"'!)"&!*"(!+"(!,"'!-"(!!."'!!!"(!!#"'
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!+!解析$!!"由题得
"#0#..!%.1%./,.1%."#
!#.1,.1,.1!#. 0).
-")2))*#)2.#%#
所以#有-+2)3的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关! )分…………………………
!#"获得了!..元购物券的*人中男顾客有#人#记为 #!###%女顾客有%人#记为 $!#$##
$$#$%! *分…………………………………………………………………………………………
从中随机抽 取 # 人#所 有 基 本 事 件 有$!#!###"#!#!#$!"#!#!#$#"#!#!#$$"#!#!#$%"#
!###$!"#!###$#"#!###$$"#!###$%"#!$!#$#"#!$!#$$"#!$!#$%"#!$##$$"#!$##$%"#
!$$#$%"#共!)个! -分……………………………………………………………………………
其中仅有 ! 人是 女 顾 客的 基本 事件 有$!#!#$!"#!#!#$#"#!#!#$$"#!#!#$%"#!###$!"#
!###$#"#!###$$"#!###$%"#共,个!
所以#获得纪念品的#人中仅有!人是女顾客的概率 %0,
!)! !#分…………………………
!,!解析$!!"由题意知#&!0!#公差'#.#有!#!4'#!4%' 成等比数列#
所以!!4'"#0!1!!4%'"#解得'0#! %分……………………………………………………
所以数列&&('的通项公式&(0#(/!!
数列&)('的公比*0$#其通项公式)(0$(/!! *分………………………………………………
!#"当(0!时#由+!
)!
0&##所以+!0$! +分………………………………………………………
当($#时#由+!
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4+#
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0&(#数学!文史类"试题答案 第 #!!!! 页!共"页"
两式相减得+(
)(
0&(4!/&(#
所以+(0#)$(/!!
故+(0
$!(0!"#
#)$(/!!($#"%
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' !
!.分……………………………………………………………………
所以&+('的前(项和,(0$4#1$4#1$#4#1$$4(4#1$(/!
0$4# $1!!/$(/!"* +!/$ 0$(! !#分………………………………………………………………
!-!解析$!!"证明$因为(%#- 是正三角形#. 为线段#- 的中点#
所以 %.)#-! !分………………………………………………………………………………
因为 #$/- 是菱形#所以 #-0#$!
因为*$#-0*.5#
所以(#$- 是正三角形#
所以$.)#-# $分………………………………………………………………………………
所以 #-)平面 %$.! %分………………………………………………………………………
又 #-+$/#
所以$/)平面 %$.! )分………………………………………………………………………
因为$/,平面 %$/#
所以平面 %$/)平面 %$.! *分…………………………………………………………………
!#"解$由 -..%00! -..0/#知!!4!"0/0%/! +分……………………………………………………
所以#1$/%#. 0!
#1%/#-$ 0!
#1%/$/- 0!4!
# 10/$/- # -分………………………………………
1-/%0$ 01%/$-/ /10/$-/ 0!10/$/- ! !!分………………………………………………………
因此#1$/%#. 0$
%1-/%0$ 的充要条件是!4!
# 0$!
%#
所以#!0#2 !#分…………………………………………………………………………………
即存在满足 -..%00! -..0/!!#."的点0#使得1$/%#. 0$
%1-/%0$ #此时!0#!
#.!解析$!!"由题意#椭圆/ 的焦点在2 轴上#且)0+0!#所以& 槡0 #!
所以椭圆/ 的方程为2#
#43#0!! #分……………………………………………………………
由点$ 在直线3 槡0 #上#且4#)4$ 知4# 的斜率必定存在#
当4# 的斜率为.时#/4#/ 槡0 ##/4$/ 槡0 ##
于是/#$/0##4 到#$ 的距离为!#直线 #$ 与圆2#43#0!相切! %分……………………
当4# 的斜率不为.时#设4# 的方程为3052#与2#
#43#0!联立得!!4#5#"2#0##
所以2#
# 0 #
!4#5##3#
# 0 #5#
!4#5##从而/4#/#0#4#5#
!4#5#!数学!文史类"试题答案 第 $!!!! 页!共"页"
而4$)4##故4$ 的方程为20/53#而$ 在3 槡0 #上#故2 槡0/ #5#
从而/4$/#0#4#5##于是 !
/4#/#4 !
/4$/#0!!
此时#4 到#$ 的距离为!#直线 #$ 与圆2#43#0!相切!
综上#直线 #$ 与圆2#43#0!相切! ,分………………………………………………………
!#"由!!"知#(#4$ 的面积为
,0!
#/4#/)/4$/0 #4#5#
# !4#5槡 # 0!4!!4#5#"
# !4#5槡 # 0!
#
!
!4#5槡 # 4 !4#5槡! "# $!#
上式中#当且仅当50.等号成立#
所以(#4$ 面积的最小值为!! !#分……………………………………………………………
#!!解析$!!"由题67!2"062/7824&/!#
令8!2"062/7824&/!#则87!2"062/!
2#知87!2"为!.#49"的增函数#
因为87!!"06/!#.#87! "!
# 槡0 6/#0.#
所以#存在!
#09.0!使得87!9."0.#即69. /!
9.
0.! #分………………………………………
所以#当21!.#9."时87!2"087!9."0.#8!2"为减函数#
当21!9.#49"时87!2"#87!9."0.#8!2"为增函数#
故当209. 时#8!2"取得最小值#也就是67!2"取得最小值! %分………………………………
故2.09.#于是有62. /!
2.
0.#即62. 0!
2.
#
所以有782.42.0.#证毕! )分…………………………………………………………………
评分细则!"直接用$8%2&在202. 处取得最小值!则87%2.&0.'的!扣掉#分#有8%2&的单
调性分析!说明取得最小值的点不是端点!从而得到87%2.&0.视为正确!即可不扣分"
#分段给分点建议这样把握(求出一阶导数!分!二阶导数!分#正确说明87%2.&0.!#分#
得出结论!分"共)分"
!#"由!!"知#67!2"062/7824&/!的最小值为!
2.
42.4&/!#
"当!
2.
42.4&/!$.#即&$!/ !
2.
42! ". 时#6!2"为*2.#49"的增函数#
所以6!2":;806!2."062. /2.782.42.&0!
2.
42.
#42.&#
$!
2.
42.
#42. !/ !
2.
42! "* +. 0!
2.
42./!#
由!!"中!
#02.0!#得 !
2.
42! ". /!#!#即6!2"#!!
故&$!/ !
2.
42! ". 满足题意! +分………………………………………………………………数学!文史类"试题答案 第 %!!!! 页!共"页"
#当!
2.
42.4&/!0.#即&0!/ !
2.
42! ". 时#67!2"有两个不同的零点2!#2##
且2!02.02##即67!2#"062# /782#4&/!0.2&0782#/62# 4!#
若21!2.#2#"时67!2"067!2#"0.#6!2"为减函数#!3"
若21!2##49"时67!2"#67!2#"0.#6!2"为增函数#
所以6!2"的最小值为6!2#"!
注意到6!!"064&0!时#&0!/6#且此时67!!"064&/!0.#
!$"当&$!/6时#67!!"064&/!$.067!2#"#
所以.02#4!#即!/2#$.#
又6!2#"062# /2#782#4&2#062# /2#782#4!782#/62# 4!"2#0!!/2#"62# 42#
0!!/2#"!62# /!"4!#
而62# /!#.#所以!!/2#"!62# /!"4!#!#
即6!2#"#!! !.分…………………………………………………………………………………
由于在!
#02.0!下#恒有 !
2.
42! ". 06#所以!/60!/ !
2.
42! ". !
!%"当&0!/6时#67!!"064&/!0.067!2#"#
所以2##!#2.#
所以由!3"知21!!#2#"时#6!2"为减函数#
所以6!2"06!!"064&0!#不满足2$2. 时#6!2"$!恒成立#故舍去!
故!/64&0!/ !
2.
42! ". 满足条件!
综上所述$&的取值范围是*!/6#49"! !#分…………………………………………………
选考题"!.分#
##!解析$!!"因为点$ 在曲线/$$"0/!
*!##."上#(#4$ 为正三角形#
所以点 # 在曲线"0!
*!##."上! #分……………………………………………………………
又因为点 # 在曲线/#$#
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