北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月考试题（word版）.docx

人大附中 2019~2020 学年度高三 4 月质量检测试题 ‎ 数 学 ‎2020年4月13日 说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。考试时间 120 分钟。考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。‎ 第一部分 （选择题 共40分）‎ 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。）‎ ‎（1）集合，则 A. B. C. D. ‎ ‎（2）已知复数z=a‎2‎i-2a-i是正实数，则实数a的值为 A.0 B. 1 C. -1 D.±1‎ ‎（3）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎（4）设等差数列的前n项和为，若，则=（ ）‎ A.10 B.9 C.8 D.7‎ ‎（5）在平面直角坐标系xOy中，将点A(1,2)‎绕原点O逆时针旋转‎90°‎到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于 A. ‎-‎‎2‎‎5‎‎5‎ B. ‎-‎‎5‎‎5‎ C. ‎5‎‎5‎ D. ‎‎-‎‎2‎‎5‎ ‎（6）设为非零实数，且，则（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎（7）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则 A. ‎ B.‎ C. ‎ D.‎ ‎（8）已知点，点在曲线上运动，点为抛物线的焦点，则的最小值为 ‎ A. B. C. D. 4‎ ‎（9）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下 变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ）‎ ‎①绕着轴上一点旋转180°；‎ ‎②沿轴正方向平移；‎ ‎③以轴的某一条垂线为轴作轴对称.‎ A.①③ B.③④ C.②③ D.②④‎ ‎（10）设函数若关于的方程有四个实数解，其中，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 第二部分 （非选择题 共 110 分）‎ 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分）‎ ‎（11）在二项式的展开式中，的系数为 。‎ ‎（12）若向量满足，则实数的取值范围是 .‎ ‎（13）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：‎ 根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。‎ ‎① 。‎ ‎② 。‎ ‎（14）函数的最小正周期为 ；若函数在区间上单调递增，则的最大值为 .‎ ‎（15）集合，若是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为 ‎ ‎①的值可以为2；‎ ‎②的值可以为；‎ ‎③的值可以为；‎ 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）‎ ‎16.（本小题满分为13分）‎ 已知函数满足下列3个条件中的2个条件：‎ ‎①函数的周期为；‎ ‎②是函数的对称轴；‎ ‎③且在区间上单调。‎ ‎（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数的解析式；‎ ‎（Ⅱ）若，求函数的值域。‎ ‎17.（本题满分15分）‎ 在四棱锥的底面中，，，是的中点，且 ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）线段上是否存在点，使得，若存在指出点的位置，若不存在请说明理由。‎ ‎18.（本题满分14分）‎ ‎2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：‎ ‎（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；‎ ‎（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值.（结论不要求证明）‎ ‎19.（本题满分14分）‎ 设函数，其中a∈R ‎（Ⅰ）若曲线在点（2，）处切线的倾斜角为，求‎ a ‎的值；‎ ‎（Ⅱ）已知导函数f‎'‎‎(x)‎在区间（1，e）上存在零点，证明:当x∈（1，e）时， ‎ ‎20.（本小题满分15分）‎ 设椭圆，直线经过点M（m，0），直线经过点N（n，0），直线直线，且直线、分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点。‎ ‎（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线轴，求四边形ABCD的面积；‎ ‎（Ⅱ）若直线的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证:m+n=0；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由。‎ ‎21.（本小题满分14分）‎ 对于正整数n，如果个整数a1，a2，…，ak满足1≤a1≤a2≤…≤ak≤n，且a1+a2+…+ak=n，则称数组（a1，a2，…，ak）为n的一个“正整数分拆”。记a1，a2，…，ak 均为偶数的“正整数分拆”的个数为fn；a1，a2，…，ak均为奇数的“正整数分拆”的个数为gn。‎ ‎（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；‎ ‎（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，ak）是n的一个“正整数分拆”，且a1=2，求k的最大值；‎ ‎（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：fn ≤ gn；并求出使得等号成立的n的值。‎ ‎（注:对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，ak）与（b1，b2，…，bn），当且仅当k=m且a1=b1，a2=b2，…，ak=bm时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）‎