高一数学答案 第 1页（共 4 页）
高一数学参考答案
一、单项选择题： C A C B, B B D A
二、多项选择题： BC, BD, ABD, AD
三、填空题：
13. 4 ； 14. 3
8
； 15. 2p ， 2 4p q ； 16. ( 4,5)
三、解答题：
17.（本小题满分 10 分）
解：由题意知， { | 6}, { | 4 9, } {5,6,7,8}A y y B x x x N . -------------4 分
若 ,C A C B ，则 {6,7,8}C A B , ---------------6 分
所以 ,{6},{7},{8},{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}C . ---------------10 分
18.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）由题知 100.002 50 n
，解得 100n ，所以 20m . ---------------2 分
频率分布直方图如下：
---------------4 分
（Ⅱ）平均数为[25 0.005 75 0.008 125 0.004 175 0.002 225 0.001] 50
6.25 30 25 17.5 11.25 90 ＝ ； ---------------6 分
中位数为 0.5 0.2550 50 81.250.4
---------------8 分
（Ⅲ）按分层抽样在 (50,100] 和 (100,150] 中抽取分别抽取 4 天和 2 天，在所抽取的 6 天中，
将空气质量指数为 (50,100] 的 4 天分别记为 1 2 3 4, , ,A A A A ，空气质量指数为
(100,150] 的 2 天分别记为 1 2,B B ，从中任取 2 天的基本事件为
1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4{( , ),( , ),( , ),( , ),( , ) ( , ),A A A A A A A A A A A A， 1 1 1 2 2 1( , ),( , ),( , ),A B A B A B
空气质量指数（AQI）
频率
组距
0 50 100 150 200 250
0.007
0.006
0.004
0.005
0.002
0.003
0.001
0.008高一数学答案 第 2页（共 4 页）
2 2 3 1 3 2 4 1 4 2 1 2( , ),( , ),( , ),( , ),( , ),( , )}A B A B A B A B A B B B ------------------10 分
共 15 个，其中事件 M“两天空气质量等级不同”发生基本事件包括 8 个，
所以概率 8( ) 15P M . ---------------12 分
19. （本小题满分 12 分）
解：若 p 为真命题，则 2
max( 2 3) 2x x k ， [ 5, 3]x ------------2 分
令 2 2( ) 2 3 ( 1) 2f x x x x ， ( )f x 在 [ 5, 3]x 单调递减，
所以 max( ) ( 5) 18, 2 18, 9f x f k k . ------------4 分
2 4 2: (0, ), x xq x kx
， ------------6 分
若 q 为真命题，则 max
2[ ( ) 4]m xx
. ------------8 分
由 2 22 . 2 2,x xx x
可得 max
2[ ( ) 4] 4 2 2,xx
.
所以 4 2 2k ------------10 分
因为{ | 9} { | 4 2 2}k k k k ，所以“ p 为真命题”是“ q 为真命题”的充分不
必要条件. ------------------------12 分
20（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）函数 ( )f x 的定义域为 1 0
1 0
ax
bx
，
对于 1 0ax ，因为 0a ，所以 1x a
因为 ( )f x 为偶函数，所以其定义域关于原点对称
所以对于 1 0bx ，一定有 0b ，则 1x b
且有 1 1
a b ，可得 0a b ------------3 分
所以 2
2 2 2
2 2 2 1( ) log (1 ) log (1 ) log (1 ) 12 2 2 2f a a a
解得 21 11 2 2a ， 2 1a ------------5 分
因为 0a ，所以 1a ，从而 1b . ------------6 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
2
2log (1 ) 0 1( )
2 1x
x xg x
m x
,
,
， ------------7 分高一数学答案 第 3页（共 4 页）
当 0 1x 时，可得 20 1 1x ，所以 2
2log (1 ) 0x ，即 ( ) 0g x ；------------9 分
当 1x 时， 2 2x ，所以 ( ) 2g x m ， ------------11 分
因为 ( )g x 的值域为 R ，所以 2 0m ， 2m . ------------12 分
21.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）当 0 5x 时，年利润 2 224 2 4 36 2 20 36W x x x x x ；
5x 时， 324 324132 4 36 4 96W x xx x
.
所以
22 20 36, 0 5,
( ) 3244 96, 5.
x x x
W x
x xx
------------4 分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当 0 5x 时， 22( 5) 14W x ，
所以当 5x 万件时，企业获得的利润最大为14 万元； ------------6 分
5x 时， 324 3244 96 2 4 96 24W x xx x
，
当且仅当 9x 万件时，乙获得的利润最大为 24 万元. ------------8 分
综上可知，年产量为9 万件时，企业获得的年利润最大为 24 万元 ------------9 分
（Ⅲ）由题意，设最早 n 年后还清所有贷款，则有 24 30 90 0n ，解得 5n ，
所以企业最早5 年后还清所有贷款 ------------12 分
22.（本小题满分 12 分）
解：（Ⅰ）1 2lg 5 1 lg5 lg 2 ------------1 分
因为 10a ，所以 lg2 lg2 1 5(1 2lg 5) (lg 2) 10 10 2 2 2f f . ------3 分
（Ⅱ）设 1 2 [0 )x x , , 且 2 1 x x ，那么
2 2 1 1
2 1( ) ( ) ( )x x x xf x f x a a a a 2 1
2 1
1 1( )x x
x xa a a a
2 1 1 2
1 2
( )( 1)x x x x
x x
a a a
a
------------5 分
当 0 1a 时， 2 1 x xa a ，则 2 1 0x xa a ，
又 2 1 >0x x ， 2 1 0 1x xa ，则 2 1 1>0x xa ，高一数学答案 第 4页（共 4 页）
所以
2 1 1 2
1 22 1
( )( 1)( ) ( ) 0
x x x x
x x
a a af x f x a
，从而 2 1( ) ( )f x f x ，
综上可知 ( )f x 在[0 ), 单调递增. ------------7 分
（Ⅲ）由题意可知 ( )f x 的定义域为 R ，且 ( )( ) ( )x x x xf x a a a a f x ，
所以 ( )f x 为偶函数. ------------8 分
所以 (2 4) ( )f x f x m 等价于 (| 2 4 |) (| |)f x f x m ，
又因为 ( )f x 在[0 ), 单调递增，所以| 2 4 | | |x x m ，即 2 2(2 4) ( )x x m ，
所以有： [ 3 0]x , ， 2 23 (16 2 ) 16 0x m x m ， ------------10 分
令 2 2( ) 3 (16 2 ) 16g x x m x m ，
则 ( 3) 0
(0) 0
g
g
，
2
2
16 0
6 5 0
m
m m
，
( 4)( 4) 0
( 1)( 5) 0
m m
m m
， 4 4
5 1
m m
m m
或
或
，所以 4 5m m 或 . ------------12 分
微信/支付宝扫码支付