高三数学测试卷卷一.pdf

第 1 页 共 4 页 高三质量检测卷 数学 卷一 一、填空题：每小题 5 分,共 70 分,不需要写出解答过程,请把答案直接填在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 设全集 U R ,集合  1 3＜ ＜A x x  ,  2 2 0B x x x    ,则 A B  ▲ . 2. 设 i 为虚数单位, a R ,若 1 i 1 i a  是纯虚数,则 a  ▲ . 3．已知一组数据 6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是 ▲ . 4. 已知点 A 6(0, ) ,点 B ,C 分别为双曲线 2 2 2 1 4 x y a   ( 0)a  的左、右顶点.若 ABC 为正三角形,则该 双曲线的离心率为 ▲ . 5. 宋元时期,数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺, 竹长一尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等．如图是源于其思想的一 个程序框图,如输入 4, 1a b  ,则输出的 n 的值为 ▲ . 6. “2020 武汉加油、中国加油”,为了抗击新冠肺炎疫情,全国医护人员从四面 八方驰援湖北.我市医护人员积极响应号召,现拟从 A 医院呼吸科中的 5 名 年轻医生中选派 2 人支援湖北省黄石市,已知男医生 2 名,女医生 3 人,则选 出的 2 名医生中至少有 1 名男医生的概率是 ▲ . 7. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为 6cm,圆心角为 2 3  的扇形,则此圆锥的体积为 ▲ 3cm . 8．公差不为零的等差数列 na 的前 n 项和为 nS ,若 3a 是 2a 与 6a 的等比中项, 3 3S  ,则 9S 的值为 ▲ . 9. 已知 tan 2  ,则 cos(2 )4   的值为 ▲ . 10. 已知正方形 ABCD 的边长为 2 ,以 C 为圆心的圆与直线 BD 相切.若点 M 是圆 C 上的动点,则 AM MD  的最小值为 ▲ . 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1.本试卷共 4 页，包含填空题（第 1 题—第 14 题）、解答题（第 15 题—第 20 题）．本卷满分 160 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后请将答题卡交回。 2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题 卡的规定位置。 3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整笔迹清楚。 4.如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。 第 5 题第 2 页 共 4 页 11. 已知向量 ( , 1), (2 2,3)( 0, 0)m a n b a b       ,若 ∥m n   ,则 2 1 1a b   最小值为 ▲ . 12. 已知 2 2 3, 1( ) ln , 1 ≤x x xf x x x      ,若函数 1( ) 2y f x kx   有 4 个零点,则实数 k 的取值范围是 ▲ . 13. 已知直线 : 2 0( R)l x my m m     恒过定点 A ,点 ,B C 为圆 2 2: 25O x y  上的两动点,满足 90BAC   ,则弦 BC 长度的最大值为 ▲ . 14. 已知函数 ( )f x 的定义域为 R ,且 ( ) 2 ( )f x f x   ,当 [0,x  时, ( ) sinf x x  ．若存在 0 ( , ]x m  ,使得 0( ) 4 3≤f x  ,则 m 的取值范围为 ▲ . 二、解答题：本大题共 6 小题,共计 90 分．请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分 14 分） 已知在△ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a ,b , c ,且 sin cos 0a B b A  ． （Ⅰ）求角 A 的大小： （Ⅱ）若 2 5a  , 2b  ．求△ABC 的面积． 16.（本小题满分 14 分） 如图,在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中, AB BC , 1BB BC , 1 1B C BC M , N 为 1A B 的中点． （Ⅰ）求证：直线 MN ∥平面 ABC ； （Ⅱ）求证： 1BC  1AC . MN 第 16 题第 3 页 共 4 页 17．（本小题满分 14 分） 某房地产开发商有一块如图（1）所示的四边形空地 ABCD,经测量,边界 CB 与 CD 的长都为 2km , 所形成的角 60BCD   . （Ⅰ）如果边界 AD 与 AB 所形成的角 120BAD   ,现欲将该地块用固定高度的板材围成一个封 闭的施工场地,求至多购买多少千米长度的板材； （Ⅱ）当边界 AD 与 CD 垂直,AB 与 BC 垂直时,为后期开发方便,拟在这块空地上先建两条内部道 路 ,AE EF ,如图（2）所示,点 E 在边界 CD 上,且道路 EF 与边界 BC 互相垂直,垂足为 F. 为节约成本, 欲将道路 ,AE EF 分别建成水泥路、砂石路,每1km 的建设费用分别为 3 a 、 a 元（ a 为常数）；若 设 DAE   ,试用 表示道路 ,AE EF 建设的总费用 ( )F  （单位:元）,并求出总费用 ( )F  的最小值. 18.（本小题满分 16 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的右焦点 F 的坐标为 ( 3,0) ,点 3 13( , )2 4P 在椭圆C 上,过 F 且斜率为 ( 0)k k  的直线l 与椭圆 C 相交于 ,A B 两点,线段 AB 的中点为 M ,O 为坐标原点. （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设线段 AB 的垂直平分线与 x 轴、 y 轴分别相交于点 ,C D .若 ODC 与 CMF 的面积相 等,求直线 l 的斜率 k . 图（2）图（1）第 4 页 共 4 页 19．（本小题满分 16 分） 已知函数 2( ) ln ( , )f x ax x b x a b    R ,若 ( )f x 在 1x  处的切线方程为 2 2 0x y   ． （Ⅰ）求实数 ,a b 的值； （II）证明：函数 ( ) 2 2-y f x x  在 x 轴的上方无图像； （III）确定实数 k 的取值范围,使得存在 0 1x  ,当 0(1, )x x 时,恒有 ( ) ( 1)f x k x  ． 20. （本小题满分 16 分） 已知项数为 *( , 2)≥m m mN 的数列{ }na 满足如下条件：① *N ( 1,2, , )na n m   ； ② 1 2 ma a a   .若数列{ }nb 满足 *1 2( ) N1 m n n a a a ab m       ,其中 1,2, ,n m  ,则称{ }nb 为{ }na 的“心灵契合数列”. （Ⅰ）数列15 91115，，，， 是否存在“心灵契合数列”,若存在,写出其“心灵契合数列”；若不存在,请说 明理由； （Ⅱ）若{ }nb 为{ }na 的“心灵契合数列”,判断数列 nb 的单调性,并予以证明； （Ⅲ）已知数列{ }na 存在“心灵契合数列”{ }nb ,且 1 1a  , 1025ma  ,求 m 的最大值.