七年级下-数学-重点知识归纳

第 1页（共 17页） 七年级下-数学-重点知识归纳 目录 1. 有理数的乘方...................................................................3 2. 科学记数法—表示较大的数.......................................................3 3. 科学记数法—表示较小的数.......................................................3 4. 科学记数法—原数...............................................................4 5. 合并同类项.....................................................................4 6. 同底数幂的乘法.................................................................4 7. 幂的乘方与积的乘方.............................................................4 8. 同底数幂的除法.................................................................5 9. 完全平方公式...................................................................5 10. 因式分解的意义................................................................5 11. 公因式........................................................................6 12. 因式分解-提公因式法 ...........................................................6 13. 因式分解-运用公式法 ...........................................................6 14. 提公因式法与公式法的综合运用..................................................7 15. 因式分解-分组分解法 ...........................................................7 16. 因式分解-十字相乘法等 .........................................................7 17. 实数范围内分解因式............................................................8 18. 零指数幂......................................................................8 19. 负整数指数幂..................................................................8 20. 二元一次方程的定义............................................................8 21. 二元一次方程的解..............................................................8 22. 解二元一次方程................................................................9 23. 由实际问题抽象出二元一次方程..................................................9 24. 二元一次方程组的定义..........................................................9 25. 二元一次方程组的解............................................................9 26. 由实际问题抽象出二元一次方程组................................................9 27. 二元一次方程组的应用.........................................................10 28. 解三元一次方程组.............................................................10 29. 不等式的定义.................................................................10 30. 不等式的性质.................................................................10 31. 不等式的解集.................................................................11 32. 在数轴上表示不等式的解集.....................................................11 33. 一元一次不等式的定义.........................................................12 34. 解一元一次不等式.............................................................12 35. 一元一次不等式的整数解.......................................................12 36. 由实际问题抽象出一元一次不等式...............................................12 37. 解一元一次不等式组...........................................................12 38. 相交线.......................................................................13 39. 对顶角、邻补角...............................................................13第 2页（共 17页） 40．垂线.........................................................................13 41. 平行线的性质.................................................................13 42. 三角形.......................................................................14 43. 三角形的角平分线、中线和高...................................................14 44. 三角形的面积.................................................................14 45. 三角形的稳定性...............................................................15 46. 三角形的重心.................................................................15 47. 三角形三边关系...............................................................15 48. 三角形内角和定理.............................................................15 49. 三角形的外角性质.............................................................15 50. 命题与定理...................................................................16 51. 生活中的平移现象.............................................................16 52. 平移的性质...................................................................16第 3页（共 17页） 1. 有理数的乘方 （1） 有理数乘方的定义：求 n 个相同因数积的运算，叫做乘方． 乘方的结果叫做幂，在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数．an 读作 a 的 n 次方．（将 an 看作是 a 的 n 次方的结果时，也可以读作 a 的 n 次幂．） （2） 乘方的法则：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； 0 的任何正整数次幂都是 0． （3） 方法指引： ①有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先要确定幂的符号，然后再计算幂 的绝对值； ②由于乘方运算比乘除运算又高一级，所以有加减乘除和乘方运算，应先算乘方，再做乘 除，最后做加减． 2. 科学记数法—表示较大的数 （1） 科学记数法：把一个大于 10 的数记成 a×10n 的形式，其中 a 是整数数位只有一位的 数，n 是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中 1≤a＜10， n 为正整数．】 （2） 规律方法总结： ①科学记数法中 a 的要求和 10 的指数 n 的表示规律为关键，由于 10 的指数比原来的整数 位数少 1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出 10 的指数 n． ②记数法要求是大于 10 的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于 10 的负数同样可用 此法表示，只是前面多一个负号． 3. 科学记数法—表示较小的数 用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a×10﹣n，其中 1≤|a|＜10，n 为由原数左边起 第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定． 【规律方法】用科学记数法表示有理数 x 的规律第 4页（共 17页） x 的取值范围 表示方法 a 的取值 n 的取值 |x|≥10 a×10n 整数的位数﹣1 |x|＜1 a×10﹣n 1≤|a| ＜10 第一位非零数字前所有 0 的个数（含小数点前的 0） 4. 科学记数法—原数 （1） 科学记数法 a×10n 表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把 a 的小数点向右移动 n 位所得到的数．若科学记数法表示较小的数 a×10﹣n，还原为原来的数，需要把 a 的小数 点向左移动 n 位得到原数． （2） 把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以 作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 5. 合并同类项 （1） 定义：把多项式中同类项合成一项，叫做合并同类项． （2） 合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不 变． （3） 合并同类项时要注意以下三点： ①要掌握同类项的概念，会辨别同类项，并准确地掌握判断同类项的两条标准：带有相同 系数的代数项；字母和字母指数； ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项，经过合并同类项，式的项数 会减少，达到化简多项式的目的； ③“合并”是指同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字 母和字母的指数不变． 6. 同底数幂的乘法 （1） 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． am•an＝am+n（m，n 是正整数） （2） 推广：am•an•ap＝am+n+p（m，n，p 都是正整数） 在应用同底数幂的乘法法则时，应注意：①底数必须相同，如 23 与 25，（a2b2）3 与（a2b2） 4，（x﹣y）2 与（x﹣y）3 等；②a 可以是单项式，也可以是多项式；③按照运算性质，只有相 乘时才是底数不变，指数相加． （3） 概括整合：同底数幂的乘法，是学习整式乘除运算的基础，是学好整式运算的关键．在第 5页（共 17页） 运用时要抓住“同底数”这一关键点，同时注意，有的底数可能并不相同，这时可以适当变 形为 同底数幂． 7. 幂的乘方与积的乘方 （1） 幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． （am）n＝amn（m，n 是正整数） 注意：①幂的乘方的底数指的是幂的底数；②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方 的指数相乘，这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别． （2） 积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． （ab）n＝anbn（n 是正整数） 注意：①因式是三个或三个以上积的乘方，法则仍适用；②运用时数字因数的乘方应根据 乘方的意义，计算出最后的结果． 8. 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减． am÷an＝am﹣n（a≠0，m，n 是正整数，m＞n） ①底数 a≠0，因为 0 不能做除数； ②单独的一个字母，其指数是 1，而不是 0； ③应用同底数幂除法的法则时，底数 a 可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是 什么，指数是什么． 9. 完全平方公式 （1） 完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2． 可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． （2） 完全平方公式有以下几个特征：①左边是两个数的和的平方；②右边是一个三项式， 其中首末两项分别是两项的平方，都为正，中间一项是两项积的 2 倍；其符号与左边的运算 符号相同． （3） 应用完全平方公式时，要注意：①公式中的 a，b 可是单项式，也可以是多项式；② 对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式；③对于三项的可以把其中的两 项看做一项后，也可以用完全平方公式． 10. 因式分解的意义第 6页（共 17页） 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解 因 式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因 式分解 是两个或几个因式积的表现形式， 整式乘法是多项式的表现形式． 例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 11. 公因式 1、定义：多项式 ma+mb+mc 中，各项都含有一个公共的因式 m，因式 m 叫做这个多项式各 项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 12. 因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项 式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1） 当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的 相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． （2） 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为 正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留 1 把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1） 找出公因式； （2） 提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母；第 7页（共 17页） ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公 因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项， 求的剩 下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 13. 因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平 方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符 号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式） 的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的 2 倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 14. 提公因式法与公式法的综合运用 提公因式法与公式法的综合运 用． 15．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组 后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分 法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 16．因式分解-十字相乘法等第 8页（共 17页） 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq 型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是 1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是 1 的二次三项式因式分解： x2+（p+q） x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2 的积 a1•a2， 把常数项 c 分解成两个因数 c1，c2 的积 c1•c2，并使 a1c2+a2c1 正好是一 次项 b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1） （a2x+c2）． 17．实数范围内分解因式 实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示）， 一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因 式． 例如：x2﹣2 在有理数范围内不能分解，如果把数的范围扩大到实数范围则可分 解x2﹣2＝x2﹣（ ）2＝（x+ ）（x﹣ ） 18. 零指数幂 零指数幂：a0＝1（a≠0） 由 am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0 可推出 a0＝1（a≠0） 注意：00≠1． 19. 负整数指数幂 负整数指数幂：a﹣p＝1ap（a≠0，p 为正整数） 注意：①a≠0； ②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算，避免出现（﹣3）﹣2＝（﹣ 3）×（﹣2）的错误． ③当底数是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． ④在混合运算中，始终要注意运算的顺序． 20. 二元一次方程的定义第 9页（共 17页） （1） 二元一次方程的定义 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程． （2） 二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知 数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程． 21. 二元一次方程的解 （1） 定义：一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程 的解． （2） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确 定的值，所以二元一次方程有无数解． （3） 在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出 其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对应值． 22. 解二元一次方程 二元一次方程有无数解．求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的 方 法，即先给出其中一个未知数（一般是系数绝对值较大的）的值，再依次求出另一个的对 应值． 23. 由实际问题抽象出二元一次方程 （1） 由实际问题列方程是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和 未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2） 一般来说，有 2 个未知量就必须列出 2 个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示 的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3） 找等量关系是列方程的关键和难点．常见的一些公式要牢记，如利润问题，路程问题， 比 例问题等中的有关公式． 24. 二元一次方程组的定义 （1） 二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （2） 二元一次方程组也满足三个条件： ①方程组中的两个方程都是整式方程． ②方程组中共含有两个未知数．第 10页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ ③每个方程都是一次方程． 25. 二元一次方程组的解 （1） 定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． （2） 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．数学概念是数学的基础与出发点，当遇到 有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程 组， 这种方法主要用在求方程中的字母系数． 26. 由实际问题抽象出二元一次方程组 （1） 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量 和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． （2） 一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示 的 是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． （3） 找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系．②将问题中给出的条件按意思分割 成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系．③借助表格提供信 息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关 系． 27. 二元一次方程组的应用 （一）、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1） 审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2） 设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3） 列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4） 求解． （5） 检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）、设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎 样 设元，设几个未知数，就要列几个方程． 28. 解三元一次方程组 （1） 三元一次方程组的定义：方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都第 11页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ 是 1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． （2） 解三元一次方程组的一般步骤： ①首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组 中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组．②然后解这个二元一次 方程组，求出这两个未知数的值．③再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系 数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程．④解这个一元一次方程， 求出第三个未知数的值．⑤最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 29. 不等式的定义 （1） 不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号 表示不等关系的式子也是不等式． （2） 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、 “≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 30. 不等式的性质 （1） 不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不 变，即： 若 a＞b，那么 a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若 a＞b，且 m＞0，那么 am＞bm 或＞ ； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若 a＞b，且 m＜0，那么 am＜bm 或＜ ； （2） 不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不 变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才 改变． 【规律方法】 1. 应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一 定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母第 12页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ 是否大于 0 进行分类讨论． 2. 不等式的传递性：若 a＞b，b＞c，则 a＞c． 31. 不等式的解集 （1） 不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2） 不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3） 解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4） 不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号 表 示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 32. 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心， 若边 界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为 x＞a，其验证方法可以先将 a 代入原不等式，则两边相等，其 次在 x＞a 的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 33. 一元一次不等式的定义 （1） 一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式． （2） 概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同， 即它是 用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知 数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式．第 13页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ 34. 解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项； ④合并同类项；⑤化系数为 1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为 1 可能用到性质 3，即可能变不等号方向，其他 都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与 等号 合写形式． 35. 一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下 一 步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结 合，得 到需要的值，进而非常容易的解决问题． 36. 由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正 数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 37. 解一元一次不等式组 （1） 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组 成的不等式组的解集． （2） 解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3） 一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集， 再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部 分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不 到． 38．相交线 （1） 相交线的定义 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线． （2） 两条相交线在形成的角中有特殊的数量关系和位置关系的有对顶角和邻补角两类．第 14页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ （3） 在同一平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重合除外）． 39. 对顶角、邻补角 （1） 对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线， 具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． （2） 邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角， 互为邻补角． （3） 对顶角的性质：对顶角相等． （4） 邻补角的性质：邻补角互补，即和为 180°． （5） 邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角 都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形 成 的． 40. 垂线 （1） 垂线的定义 当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条 直 线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足． （2） 垂线的性质 在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 注意：“有且只有”中，“有”指“存在”，“只有”指“唯一” “过一点”的点在直线上或直线外都可以． 41. 平行线的性质 1、平行线性质定理 定理 1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角 相等． 定理 2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．．简单说成：两直线平行，同旁内 角互补． 定理 3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角 相等． 2、两条平行线之间的距离处处相等．第 15页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ 42. 三角形 （1） 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角 形． 组成三角形的线段叫做三角形的边． 相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点． 相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角． （2） 按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形（底和腰不等的等腰三角形、底和 腰相等的等腰三角形即等边三角形）． （3） 三角形的主要线段：角平分线、中线、高． （4） 三角形具有稳定性． 43. 三角形的角平分线、中线和高 （1） 从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． （2） 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点 间的线段叫做三角形的角平分线． （3） 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线． （4） 三角形有三条中线，有三条高线，有三条角平分线，它们都是线段． （5） 锐角三角形的三条高在三角形内部，相交于三角形内一点，直角三角形有两条高与直 角边重合，另一条高在三角形内部，它们的交点是直角顶点；钝角三角形有两条高在三角形 外部， 一条高在三角形内部，三条高所在直线相交于三角形外一点． 44. 三角形的面积 （1） 三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即 S△＝ ×底×高． （2） 三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 45. 三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性． 这一 特性主要应用在实际生活中． 46. 三角形的重心 （1） 三角形的重心是三角形三边中线的交点． （2） 重心的性质：第 16页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为 2：1． ②重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等． ③重心到三角形 3 个顶点距离的和最小．（等边三角形） 47. 三角形三边关系 （1） 三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边． （2） 在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式， 只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角 形． （3） 三角形的两边差小于第三边． （4） 在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏 的定时炸弹，容易忽略． 48. 三角形内角和定理 （1） 三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且 每个内角均大于 0°且小于 180°． （2） 三角形内角和定理：三角形内角和是 180°． （3） 三角形内角和定理的证明 证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在 转化 中借助平行线． （4） 三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关 系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐 角． 49．三角形的外角性质 （1） 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外 角． 三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对． （2） 三角形的外角性质： ①三角形的外角和为 360°． ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．第 17页（共 17页） 扫码加微信，免费获取 更多、更全考试资料！ （3） 若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去． （4） 探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角 形 的外角． 50. 命题与定理 1、判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知 事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 2、有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理． 3、定理是真命题，但真命题不一定是定理． 4、命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面 解的部分是结论． 5、命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性， 一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 51. 生活中的平移现象 1、平移的概念 在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称 平 移． 2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等． 3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离． 52. 平移的性质 （1） 平移的条件 平移的方向、平移的距离 （2） 平移的性质 ①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和 大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两 个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．