第 27 章 相似
一．选择题（共 13 小题）
1．已知 ＝ ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
2．在一幅比例尺为 1：500000 的地图上，若量得甲、乙两地的距离是 25cm，则甲、乙两地
实际距离为（ ）
A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km
3．如图，已知 AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么 CE 的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
4．如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，BF＝ AF，BD 与 EF 交于 G，则 BG：BD＝
（ ）
A．1：5 B．2：3 C．2：5 D．1：4
5．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF，则∠BAC 的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
6．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是 4，6，8，另一个三角形的一边长是
2，则另一个三角形的周长是（ ）
A．4.5 B．6C．9 D．以上答案都有可能
7．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是
（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在 6×6 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB 与网格线
的其中两个交点为 M、N，那么 AM：MN：NB 的值是（ ）
A．3：5：4 B．3：6：5 C．1：3：2 D．1：4：2
9．如图，在△ABC 中，AC＝BC，CD 是 AB 边上的高线，且有 2CD＝3AB，又 E，F 为 CD 的三
等分点，则∠ACB 和∠AEB 之和为（ ）
A．45° B．90° C．60° D．75°
10．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，G，F 分别为 AD、BC 边上的点，若 AG＝1，BF
＝2，∠GEF＝90°，则 GF 的长为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
11．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上两点， ＝ + ，连 AC、BD 相交于 M 点．若
AB＝4CM，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
12．如图，△ABD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，C 为弧 AD 的中点，CH⊥AB 于点 E，交 AD
于点 P，交⊙O 于点 H，连接 DH，连接 BC 交 AD 于点 F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝
PF；③CH＝AD；④AP•AD＝CF•CB；⑤若⊙O 的半径为 5，AF＝ ，则 CH＝ ．正确的有
（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
13．在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为
25m，那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
二．填空题（共 7 小题）
14．已知 a+b＝0 且 a≠0，则 ＝ ．
15．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB＝4，那么 AP＝ ．16．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 ．
17．两个相似多边形的一组对应边分别为 3cm 和 4.5cm．如果它们的面积和为 78cm2，那么
较大多边形的面积为 cm2．
18．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D 是边 AB 上的一点，AD＝1，E 是边 AC 上的
一点（E 与端点不重合），如果以 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 AE 的长
是 ．
19．如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点 P 是边 BC 上
一动点，若△PAB 与△PCD 相似，且满足条件的点 P 恰有 2 个，则 m 的值为 ．
20．如图，用长 3m、4m、5m 的三根木棒正好搭成一个 Rt△ABC，AC＝3，∠C＝90°，用一
束垂直于 AB 的平行光线照上去，AC、BC 在 AB 的影长分别为 AD、DB，则 AD＝ ，
BD＝ ．
三．解答题（共 6 小题）
21．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝6 ，BD＝3．
（1）求∠A 的度数；
（2）求 BC 的长及△ABC 的面积．
22．如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，如果 AC＝3，AB＝6，求 BD 的值．23．课本中有一道作业题：有一块三角形余斜 ABC，它的边 BC＝120mm，高 AD＝80mm．要把
它 加 工 成 正 方 形 零 件 ， 使 正 方 形 的 一 边 在 BC 上 ， 其 余 两 个 顶 点 分 别 在 AB，AC
上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少 mm？
【探索发现】】
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？
如果 BC＝a，高 AD＝h，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）
【实际应用】
（3）现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB＝60cm，BC＝100cm，CD＝70cm，且∠
B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形
PQMN，求该矩形的面积．
24．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点网格
线的交点）以及格点 P．
（1）将△ABC 绕点 P 逆时针旋转 90°得到△DEF，画出△DEF；
（2）以 D 为一个顶点，画一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为 2．25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似
图形，且点 B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点 B 的坐标变化回答下列问题：
①若点 A（ ，3），则 A′的坐标为 ；
②△ABC 与△A′B′C′的相似比为 ；
（2）若△ABC 的面积为 m，求△A′B′C′的面积．（用含 m 的代数式表示）
26．如图，△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，4），B（2，2），C（4，6）
（正方形网格中，每个小正方形的边长为 1）
（1）画出△ABC 向下平移 5 个单位得到的△A1B1C1，并写出点 B1 的坐标；
（2）以点 O 为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似
比为 1：2，直接写出点 C2 的坐标和△A2B2C2 的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 13 小题）
1．已知 ＝ ，则 的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【分析】直接利用比例的性质假设出未知数，进而得出答案．
【解答】解：∵ ＝ ，
设 b＝x，a＝3x，
∴ ，
故选：D．
2．在一幅比例尺为 1：500000 的地图上，若量得甲、乙两地的距离是 25cm，则甲、乙两地
实际距离为（ ）
A．125km B．12.5km C．1.25km D．1250km
【分析】根据比例尺＝图上距离：实际距离，依题意列出比例式，即可求得实际距离．
【解答】解：设实际距离为 xcm，则：
1：500000＝25：x，
解得 x＝12500000．
12500000cm＝125km．
故选：A．
3．如图，已知 AB∥CD∥EF，AD：AF＝3：5，BE＝12，那么 CE 的长等于（ ）
A．2 B．4 C． D．
【分析】根据平行线分线段成比例得到 ＝ ，即 ＝ ，可计算出 BC，然后利用 CE
＝BE﹣BC 进行计算．
【解答】解：∵AB∥CD∥EF，∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴BC＝ ，
∴CE＝BE﹣BC＝12﹣ ＝ ．
故选：C．
4．如图，平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 的中点，BF＝ AF，BD 与 EF 交于 G，则 BG：BD＝
（ ）
A．1：5 B．2：3 C．2：5 D．1：4
【分析】延长 FE，DC 相交于 H，先证明△EBF≌△ECH，得出 BF＝CH，然后由△BFG∽△
HDG，可得出 BG：GD＝BF：HD，继而可得出 BG：BD 的值．
【解答】解：延长 FE，DC 相交于 H，
∵E 是中点，
∴BE＝CE，
∵AB∥DC，
∴∠FBE＝∠HCE，
∵在△EBF 与△ECH 中，
，
∴△EBF≌△ECH（ASA），
∴BF＝CH，
∵BF＝ AF，
∴BF＝ AB＝ DC，∵AB∥CD，
∴△BFG∽△HDG，
∴ ＝ ＝ ，
则 BG：BD＝1：5．
故选：A．
5．如图，在正方形网格上有两个相似三角形△ABC 和△DEF，则∠BAC 的度数为（ ）
A．105° B．115° C．125° D．135°
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】解：∵△ABC∽△EDF，∴∠BAC＝∠DEF，又∠DEF＝90°+45°＝135°，所以∠
BAC＝135°，故选：D．
6．在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是 4，6，8，另一个三角形的一边长是
2，则另一个三角形的周长是（ ）
A．4.5 B．6
C．9 D．以上答案都有可能
【分析】在相似三角形中，已知其中一个三角形三边的长是 4，6，8，则周长是 18，另
一个三角形的一边长是 2，边长是 2 的边与三边都有可能是对应边，因而应分三种情况
进行讨论．
【解答】解：设另一个三角形的周长是 x，
①当边长是 2 的边与边长是 4 的边是对应边时：得到 18：x＝4：2 解得：x＝9；
②当边长是 2 的边与边长是 6 的边是对应边时：18：x＝6：2 解得 x＝6；
③当边长是 2 的边与边长是 8 的边是对应边时：18：x＝8：2 解得：x＝4.5．
故选：D．
7．如图所示，小正方形的边长均为 1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC 相似的是
（ ）A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出 AB，AC，BC 的长，求出三边之比，利用三边对应成比例
的两三角形相似判断即可．
【解答】解：根据题意得：AB＝ ＝ ，AC＝2，BC＝ ＝ ，
∴BC：AC：AB＝1： ： ，
A、三边之比为 1： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似；
B、三边之比 ：2 ：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似；
C、三边之比为 1： ：2 ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似；
D、三边之比为 2： ： ，图中的三角形（阴影部分）与△ABC 不相似．
故选：A．
8．如图，在 6×6 的正方形网格中，联结小正方形中两个顶点 A、B，如果线段 AB 与网格线
的其中两个交点为 M、N，那么 AM：MN：NB 的值是（ ）
A．3：5：4 B．3：6：5 C．1：3：2 D．1：4：2
【分析】根据平行线分线段成比例定理得出即可．
【解答】解：∵ ＝ ， ＝ ，
∴AM：MN：NB＝1：3：2，
故选：C．
9．如图，在△ABC 中，AC＝BC，CD 是 AB 边上的高线，且有 2CD＝3AB，又 E，F 为 CD 的三
等分点，则∠ACB 和∠AEB 之和为（ ）A．45° B．90° C．60° D．75°
【分析】先设 AD＝x，由于 AC＝BC，CD 是 AB 边上的高线，可知 BD＝x，且 CD 是 AB 的垂
直平分线，利用 2CD＝3AB，易求 CD＝3x，再利用垂直平分线的定理易求∠ACB＝2∠BCE，∠
AEB＝2∠BEF，而 E、F 是三等分点，那么 CE＝EF＝DF＝x，易证△DBF 是等腰直角三角形，
再利用勾股定理可求 BF＝ x，可求 ＝ ，而夹角相等易证△EFB∽△BFC，那么有∠
FBE＝∠BCF，∠FEB＝∠FBC，结合三角形外角的性质易证∠ACB+∠AEB＝90°．
【解答】解：如右图所示，先设 AD＝x，
∵AC＝BC，CD 是 AB 边上的高线，
∴BD＝AD＝x，CD 是 AB 的垂直平分线，
又∵2CD＝3AB，AE＝BE，AF＝BF，
∴CD＝3x，∠ACB＝2∠BCE，∠AEB＝2∠BEF，
又∵E、F 是三等分点，
∴CE＝EF＝DF＝x，
∴DF＝DB，
又∵∠CDB＝90°，
∴△DBF 是等腰直角三角形，
∴∠DFB＝45°，BF＝ x，
∴ ＝ ， ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
又∵∠EFB＝∠BFC，
∴△EFB∽△BFC，
∴∠FBE＝∠BCF，∠FEB＝∠FBC，
又∵∠DFB＝∠FBE+∠FEB＝∠FCB+∠FBC，∴45°＝∠FBE+∠FEB，
∴90°＝2∠FBE+2∠FEB＝2∠BCF+2∠FBC，
∴∠ACB+∠AEB＝90°．
故选：B．
10．如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点，G，F 分别为 AD、BC 边上的点，若 AG＝1，BF
＝2，∠GEF＝90°，则 GF 的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】由在正方形 ABCD 中，∠GEF＝90°，易证得△AGE∽△BEF，又由 E 为 AB 的中点，
AG＝1，BF＝2，根据相似三角形的对应边成比例，易求得 AE 与 BE 的长，然后由勾股定
理求得答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠AGE+∠AEG＝90°，
∵∠GEF＝90°，
∴∠AEG+∠BEF＝90°，
∴∠AGE＝∠BEF，
∴△AGE∽△BEF，
∴ ，
∵E 为 AB 的中点，
∴AE＝BE，∵AG＝1，BF＝2，
∴ ，
解得：BE＝AE＝ ，
在 Rt△AEG 中，GE2＝AG2+AE2＝3，
在 Rt△BEF 中，EF2＝BE2+BF2＝6，
∴在 Rt△GEF 中，GF＝ ＝3．
故选：B．
11．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 为⊙O 上两点， ＝ + ，连 AC、BD 相交于 M 点．若
AB＝4CM，则 的值为（ ）
A． B． C． D．2
【分析】连接 BC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，由 ＝ + ，得到∠DBC＝∠D+
∠DCM，推出 BC＝CM，连接 AD，同理，AD＝DM，设 BC＝CM＝a，根据勾股定理得到 AC＝
a，求得 AM＝（ ﹣1）a，于是得到结论．
【解答】解：连接 BC，
∵AB 为圆 O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵ ＝ + ，
∴∠DBC＝∠D+∠DCM，
∵∠CMB＝∠DCM+∠D，
∴∠CMB＝∠CBM，
∴BC＝CM，
连接 AD，
同理，AD＝DM，设 BC＝CM＝a，
∴BM＝ a，
∵AB＝4CM，
∴AB＝4a，
∵AC2+CB2＝AB2，
∴AC＝ a，
∴AM＝（ ﹣1）a，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADM＝90°，
∴DM＝ AM＝ a，
∴ ＝ ＝ ，
故选：C．
12．如图，△ABD 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，C 为弧 AD 的中点，CH⊥AB 于点 E，交 AD
于点 P，交⊙O 于点 H，连接 DH，连接 BC 交 AD 于点 F．下列结论中：①DH⊥CB；②CP＝
PF；③CH＝AD；④AP•AD＝CF•CB；⑤若⊙O 的半径为 5，AF＝ ，则 CH＝ ．正确的有
（ ）
A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个
【分析】根据已知条件得到∠H＝∠ABC，∠C+∠ABC＝90°，于是得到∠H+∠C＝90°，
求得 DH⊥BC，故①正确；根据 ＝ ，得到∠CBD＝∠ABC，根据圆周角定理得到∠ADB
＝90°，求得∠BFD+∠DBF＝90°，得到∠C＝∠CFP，于是求得 CP＝PF，故②正确；根
据垂径定理得到 ＝ ＝ ，求得 ＝ ，于是得到 CH＝AD；故③正确；连接 AC，
BH，得到∠ACH＝∠CAD，求得 AP＝CP，根据垂径定理得到 ＝ ，求得 BC＝BH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵C 为弧 AD 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠H＝∠ABC，
∵CH⊥AB，
∴∠C+∠ABC＝90°，
∴∠H+∠C＝90°，
∴DH⊥BC，故①正确；
∵ ＝ ，
∴∠CBD＝∠ABC，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BFD+∠DBF＝90°，
∴∠C＝∠BFD，
∵∠CFP＝∠DFB，
∴∠C＝∠CFP，
∴CP＝PF，故②正确；
∵AB 为⊙O 的直径，C 为弧 AD 的中点，CH⊥AB，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴CH＝AD；故③正确；
连接 AC，BH，
则∠ACH＝∠CAD，
∴AP＝CP，
∵CH⊥AB，
∴ ＝ ，
∴BC＝BH，
∴∠BCH＝∠BHC，∴∠CFP＝∠BHC，
∵∠PCF＝∠BCH，
∴△CPF∽△CBH，
∴ ，
∴PC•CH＝CF•CB，
∵PC＝AP，CH＝AD，
∴AP•AD＝CF•CB，故④正确；
∵∠CAF＝∠ABC，
又∵∠ACF＝∠BCA，
∴△CAF∽△CBA，
∴ ＝ ＝ ＝ ．
又∵AB＝10，
∴AC＝6，BC＝8．
根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC＝AB•CE，
∴6×8＝10CE．
∴CE＝ ．
又∵CH＝HE，
∴CH＝2CE＝ ．故⑤错误，
故选：C．
13．在某一时刻，测得一根高为 1.8m 的竹竿的影长为 3m，同时测得一根旗杆的影长为
25m，那么这根旗杆的高度为（ ）
A．10m B．12m C．15m D．40m
【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为 x 米，
由题意得， ＝ ，
解得：x＝15．
故选：C．
二．填空题（共 7 小题）
14．已知 a+b＝0 且 a≠0，则 ＝ ﹣1 ．
【分析】先将分式变形，然后将 a+b＝0 代入即可．
【解答】解：∵a+b＝0.\，
∴a＝﹣b，
＝
＝
＝
＝
＝﹣1
故答案为﹣1
15．已知点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，AB＝4，那么 AP＝ 2 ﹣2 ．
【分析】根据黄金分割点的定义，知 AP 是较长线段；则 AP＝ AB，代入数据即可
得出 AP 的长．
【解答】解：由于 P 为线段 AB＝4 的黄金分割点，
且 AP 是较长线段；
则 AP＝ AB＝ ×4＝2 ﹣2．
故答案为 2 ﹣2．
16．若如图所示的两个四边形相似，则∠α的度数是 87° ．
【分析】由两个四边形相似，根据相似多边形的对应角相等，即可求得∠A 的度数，又由四边形的内角和等于 360°，即可求得∠α的度数．
【解答】解：∵四边形 ABCD∽四边形 A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝138°，
∵∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴∠α＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠C＝87°．
故答案为：87°．
17．两个相似多边形的一组对应边分别为 3cm 和 4.5cm．如果它们的面积和为 78cm2，那么
较大多边形的面积为 54 cm2．
【分析】设较大多边形的面积为 xcm2，根据相似多边形面积的比等于相似比的平方列出
关于 x 的方程．求出 x 的值即可．
【解答】解：设较大多边形的面积为 xcm2，则较小多边形的面积为：（78﹣x）cm2，
∵两个相似多边形的一组对应边长分别为 3cm 和 4.5cm，
∴x：（78﹣x）＝4.52：32，
解得 x＝54．
故答案为：54
18．在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，D 是边 AB 上的一点，AD＝1，E 是边 AC 上的
一点（E 与端点不重合），如果以 A、D、E 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么 AE 的长是
或 ．
【分析】分两种情况，由相似三角形的性质可求解．
【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝ ＝5，
∵A，D，E 三点组成的三角形与△ABC 相似，
∴△ABC∽△ADE 或△ABC∽△AED，
∴ ＝ ，或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，解得：AE＝ ，或 AE＝ ，
故答案为： 或 ．
19．如图，四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝1，CD＝2，BC＝m，点 P 是边 BC 上
一动点，若△PAB 与△PCD 相似，且满足条件的点 P 恰有 2 个，则 m 的值为 3 或
2 ．
【分析】由平行线得出∠C＝90°，当∠BAP＝∠CDP 时，△PAB∽△PDC，得出 ＝ ，
得出 PC＝2PB①，当∠BAP＝∠CPD 时，△PAB∽△DPC，得出 ＝ ，即 PB×PC＝1×2
＝2②，由①②得：PB＝1，得出 PC＝2，BC＝3，即 m＝3，当 BP＝1 时，PC＝2，两个三
角形相似；当 BP＝2 时，PC＝1，两个三角形全等，符合题目要求；
设 BP＝x，则 PC＝m﹣x，得出 x：2＝1：（m﹣x），整理得 x2﹣mx+2＝0，方程有唯一解
时，△＝m2﹣8＝0，解得 m＝±2 （负值舍去），得出 m＝2 ；即可得出结论．
【解答】解：∵AB∥CD，∠B＝90°，
∴∠C+∠B＝180°，
∴∠C＝90°，
当∠BAP＝∠CDP 时，△PAB∽△PDC，
∴ ＝ ，即 ＝ ，
∴PC＝2PB①，
当∠BAP＝∠CPD 时，△PAB∽△DPC，
∴ ＝ ，即 PB×PC＝1×2＝2②，由①②得：2PB2＝2，
解得：PB＝1，
∴PC＝2，
∴BC＝3，即 m＝3；
当 BP＝1 时，PC＝2，两个三角形相似；
当 BP＝2 时，PC＝1，两个三角形全等，符合题目要求；
设 PB＝x，则 PC＝m﹣x，
∴x：2＝1：（m﹣x），
整理得：x2﹣mx+2＝0，
方程有唯一解时，△＝m2﹣8＝0，
解得：m＝±2 （负值舍去），
∴m＝2 ；
当 m＝2 时，
BP＝PC＝ 时，两个三角形相似；
BP＝ 时，PC＝ ，两个三角形相似；同样是两个点可以满足要求；
综上所述，若△PAB 与△PCD 相似，且满足条件的点 P 恰有 2 个，则 m 的值为 3 或 2 ；
故答案为：3 或 2 ．
20．如图，用长 3m、4m、5m 的三根木棒正好搭成一个 Rt△ABC，AC＝3，∠C＝90°，用一
束垂直于 AB 的平行光线照上去，AC、BC 在 AB 的影长分别为 AD、DB，则 AD＝ ，BD
＝ ．
【分析】由射影定理得到 AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，把相关线段的长度代入计算即可．
【解答】解：依题意知，AC＝3cm，AB＝5cm，BC＝4cm，∠C＝90°．
∵CD⊥AB，
∴AC2＝AD•AB，BC2＝BD•AB，
则 9＝5AD，16＝5BD，所以 AD＝ ，BD＝ ．
故答案是： ； ．
三．解答题（共 6 小题）
21．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，AC＝6 ，BD＝3．
（1）求∠A 的度数；
（2）求 BC 的长及△ABC 的面积．
【分析】（1）先利用射影定理得到 AC2＝AD•AB，即（6 ）2＝AD•（AD+3），再解方程得
到 AD＝9，然后根据正弦的定义求∠A；
（2）先根据含 30 度的直角三角形三边的关系求 BC，然后根据三角形面积公式求△ABC
的面积．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，
∴AC2＝AD•AB，即（6 ）2＝AD•（AD+3），
整理得 AD2+3AD﹣108＝0，解得 AD＝9 或 AD＝﹣12（舍去），
在 Rt△ACD 中，∵cosA＝ ＝ ＝ ，
∴∠A＝30°；
（2）∵AB＝AD+BD＝9+3＝12，
而∠A＝30°，
∴BC＝ AB＝6，
∴S△ABC＝ •AC•BC＝ •6 •6＝18 ．
22．如图，在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，如果 AC＝3，AB＝6，求 BD 的值．
【分析】利用射影定理解答即可．
【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，∴ ，
∴BD＝AB﹣AD＝6﹣1.5＝4.5．
23．课本中有一道作业题：有一块三角形余斜 ABC，它的边 BC＝120mm，高 AD＝80mm．要把
它 加 工 成 正 方 形 零 件 ， 使 正 方 形 的 一 边 在 BC 上 ， 其 余 两 个 顶 点 分 别 在 AB，AC
上．
（1）加工成的正方形零件的边长是多少 mm？
【探索发现】】
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图，问这个矩形的最大面积是多少？
如果 BC＝a，高 AD＝h，则矩形 PQMN 面积的最大值为 （用含 a，h 的代数式表示）
【实际应用】
（3）现有一块四边形的木板余料 ABCD，经测量 AB＝60cm，BC＝100cm，CD＝70cm，且∠
B＝∠C＝60°，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点 M、N 在边 BC 上且面积最大的矩形
PQMN，求该矩形的面积．
【分析】（1）设正方形的边长为 xmm，则 PN＝PQ＝ED＝x，AE＝AD﹣ED＝80﹣x，通过证
明△APN∽△ABC，利用相似比可得到 ＝ ，然后根据比例性质求出 x 即可；
（2）设 PN＝x，用 PQ 表示出 AE 的长度，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比列
出比例式并用 x 表示出 PN，然后根据矩形的面积公式列式计算，再根据二次函数的最值
问题解答；
（3）延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，由已知条件得到 EB＝EC、BH＝CH
＝50，EH＝50 BH＝72，继而求得 BE＝CE＝100，可判断中位线 PQ 的两端点在线段 AB、
CD 上，利用（2）结论解答可得．
【解答】解：（1）如图 1，设正方形的边长为 xmm，则 PN＝PQ＝ED＝x，
∴AE＝AD﹣ED＝80﹣x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，∴ ＝ ，即 ＝ ，
解得 x＝48．
∴加工成的正方形零件的边长是 48mm；
（2）设 PN＝x，矩形 PQMN 的面积为 S，
由条件可得△APN∽△ABC，
∴ ＝ ，
即 ＝ ，
解得：PQ＝h﹣ x．
则 S＝PN•PQ＝x（h﹣ x）＝﹣ x2+hx，
故 S 的最大值为 ；
故答案为： ；
（3）如图 2，延长 BA、CD 交于点 E，过点 E 作 EH⊥BC 于点 H，
∵∠B＝∠C，
∴EB＝EC，
∵BC＝100cm，且 EH⊥BC，
∴BH＝CH＝ BC＝50cm，
∵tanB＝ ＝ ，
∴EH＝ BH＝ ×50＝50 cm，
在 Rt△BHE 中，BE＝ ＝100cm，
∵AB＝60cm，
∴AE＝40cm，
∴BE 的中点 Q 在线段 AB 上，
∵CD＝70cm，
∴ED＝30cm，
∴CE 的中点 P 在线段 CD 上，
∴中位线 PQ 的两端点在线段 AB、CD 上，由（2）知，矩形 PQMN 的最大面积为 BC•EH＝1250 cm2，
答：该矩形的面积为 1250 cm2．
24．如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点△ABC（顶点网格
线的交点）以及格点 P．
（1）将△ABC 绕点 P 逆时针旋转 90°得到△DEF，画出△DEF；
（2）以 D 为一个顶点，画一个格点△A1B1C1，使得△A1B1C1∽△ABC，且相似比为 2．
【分析】（1）直接利用旋转对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用相似图形的性质，结合 D 点位置得出对应点位置进而得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△DEF，即为所求；
（2）如图所示：△A1B1C1，即为所求．25．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 和△A′B′C′是以坐标原点 O 为位似中心的位似
图形，且点 B（3，1），B′（6，2）．
（1）请你根据位似的特征并结合点 B 的坐标变化回答下列问题：
①若点 A（ ，3），则 A′的坐标为 （5，6） ；
②△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1：2 ；
（2）若△ABC 的面积为 m，求△A′B′C′的面积．（用含 m 的代数式表示）
【分析】（1）①观察点 B 点和 B′点的坐标得到位似比为 2，然后根据此规律确定 A′的
坐标（5，6）；
②易得△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1：2；
（2）根据三角形相似的性质求解．
【解答】解：（1）①∵点 B（3，1），B′（6，2），
∴位似比为 2，
∴若点 A（ ，3），则 A′的坐标（5，6）；
②△ABC 与△A′B′C′的相似比为 1：2；
故答案为（5，6），1：2；
（2）∵△ABC 与△A'B'C'的相似比为 1：2 …（7 分）
∴ ＝ ，而△ABC 的面积为 m，
∴△A′B′C′的面积＝4m．
26．如图，△ABC 在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 A（0，4），B（2，2），C（4，6）
（正方形网格中，每个小正方形的边长为 1）
（1）画出△ABC 向下平移 5 个单位得到的△A1B1C1，并写出点 B1 的坐标；
（2）以点 O 为位似中心，在第三象限画出△A2B2C2，使△A2B2C2 与△ABC 位似，且位似
比为 1：2，直接写出点 C2 的坐标和△A2B2C2 的面积．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而结合三角形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
点 B1 的坐标为：（2，﹣3）；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
点 C2 的坐标为：（﹣2，﹣3）；
△A2B2C2 的面积为：4﹣ ×1×1﹣ ×1×2﹣ ×1×2＝1.5．
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