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第二章点、直线、平面之间的位置关系章末质量检测(有解析新人教A版必修2)

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tt z y W.CoM章末质量检测(二) 点、直线、平面之间的位置关系
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.直线l与平面α不平行,则( )
A.l与α相交 B.l⊂α
C.l与α相交或l⊂α  D.以上结论都不对
解析:直线与平面的位置关系有:直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面相交.因为直线l与平面α不平行,所以l与α相交或l⊂α.
答案:C
2.若直线a、b异面,直线b、c异面,则直线a、c的位置关系是( )
A.异面直线  
B.相交直线
C.平行直线  
D.以上都有可能
 
解析:如图,当c为AD、A1B1、A1D1的位置时,均满足b,c异面,则c与a的位置关系分别为相交、平行、异面.故选D.
答案:D
3.若直线a与平面α不垂直,则平面α内与直线a垂直的直线有( )
A.0条     B.1条
C.无数条  D.不确定
解析:若直线a与平面α不垂直,则当直线a∥平面α时,平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线;当直线a⊂平面α时,在平面α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直;当直线a与平面α相交但不垂直时,在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.所以,若直线a与平面α不垂直,则在平面α内与直线a垂直的直线有无数条.
答案:C
4.若平面α∥平面β,直线a∥平面α,点B在平面β内,则在平面β内且过点B的所有直线中( )
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一与a平行的直线
解析:当直线a⊂平面β,且点B在直线a上时,在平面β内且过点B的所有直线中不存在与a平行的直线.故选A.
答案:A
5.若α∥β,A∈α,C∈α,B∈β,D∈β,且AB+CD=28,AB、CD在β内的射影长分别为9和5,则AB、CD的长分别为( )
A.16和12  B.15和13
C.17和11  D.18和10
 
解析:如图,作AM⊥β,CN⊥β,垂足分别为M、N,设AB=x,则CD=28-x,BM=9,ND=5,
∴x2-81=(28-x)2-25,
∴x=15,28-x=13.
答案:B
6.正方体ABCD-A′B′C′D′中,E为A′C′的中点,则直线CE垂直于( )
A.AC      B.BD
C.A′D′  D.AA′
解析:连接B′D′(图略),∵B′D′⊥A′C′,B′D′⊥CC′,
且A′C′∩CC′=C′,∴B′D′⊥平面CC′E.
而CE⊂平面CC′E,∴B′D′⊥CE.
又∵BD∥B′D′,∴BD⊥CE.
答案:B
7.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,作截面EFGH(如图)交C1D1,A1B1,AB,CD分别于E,F,G,H,则四边形EFGH的形状为( )
 
A.平行四边形 B.菱形
C.矩形        D.梯形
解析:因为平面ABCD∥平面A1B1C1D1,平面EFGH交平面ABCD于GH,交平面A1B1C1D1于EF,则有GH∥EF,同理EH∥FG,所以四边形EFGH为平行四边形.
答案:A
8.对于直线m,n和平面α,β,γ,有如下四个命题:
①若m∥α,n⊥m,则n⊥α;②若m⊥α,n⊥m,则n∥α;③若α⊥β,γ⊥β,则α⊥γ;④若m⊥α,m⊂β,则α⊥β.
其中正确命题的个数是( )
A.1 B.2  C.3 D.4
解析:①中n与α位置关系不确定;②中n可能在α内;③中α与γ位置关系不确定;由面面垂直的判定定理可知④正确.故选A.
答案:A
 
9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为A1B1的中点,AB=BC=BB1=2,AC=25,则异面直线BD与AC所成的角为( )
A.30°  B.45°
C.60°  D.90°
 
解析:如图,取B1C1的中点E,连接BE,DE,则AC∥A1C1∥DE,则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角(或其补角).由条件可知BD=DE=EB=5,所以∠BDE=60°,故选C.
答案:C
 
10.[2019•贵阳市监测考试]如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是( )
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
解析:A中,因为AP⊥PB,AP⊥PC,PB∩PC=P,所以AP⊥平面PBC,又BC⊂平面PBC,所以AP⊥BC,故A正确;C中,因为平面BCP⊥平面PAC,BC⊥PC,所以BC⊥平面APC,AP⊂平面APC,所以AP⊥BC,故C正确;D中,由A知D正确;B中条件不能判断出AP⊥BC,故选B.
答案:B
11.在等腰Rt△ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C-BM-A的大小为( )
A.30°  B.60°
C.90°  D.120°
解析:如图所示,由AB=BC=1,∠A′BC=90°,得A′C=2.
 
∵M为A′C的中点,∴MC=AM=22,且CM⊥BM,AM⊥BM,
∴∠CMA为二面角C-BM-A的平面角.
∵AC=1,MC=AM=22,∴∠CMA=90°.
答案:C
12.在矩形ABCD中,若AB=3,BC=4,PA⊥平面AC,且PA=1,则点P到对角线BD的距离为( )
A.292  B.135
C.175    D.1195
解析:
 
如图,过点A作AE⊥BD于E,连接PE.
∵PA⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,
∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAE,∴BD⊥PE.
∵AE=AB•ADBD=125,PA=1,
∴PE=1+1252=135.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
 
13.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
解析:∵EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,∴EF∥AC,∴F为DC中点.故EF=12AC=2.
答案:2
 
14.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________.
解析:因为ABCD是正方形,
所以AC⊥BD.
又因为D1D⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
所以D1D⊥AC.
因为D1D∩DB=D,
所以AC⊥平面BB1D1D.
因为AC⊂平面ACD1,
所以平面ACD1⊥平面BB1D1D.
答案:垂直
15.如图,在直角梯形ABCD中,BC⊥DC,AE⊥DC,M,N分别是AD,BE的中点,将三角形ADE沿AE折起,则下列说法正确的是________(填序号).
 
①不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥平面DEC;②不论D折至何位置,都有MN⊥AE;③不论D折至何位置(不在平面ABC内),都有MN∥AB;④在折起过程中,一定存在某个位置,使EC⊥AD.
解析:分别取CE,DE的中点Q,P,连接MP,PQ,NQ,可证MNQP是矩形,所以①②正确;因为MN∥PQ,AB∥CE,若MN∥AB,则PQ∥CE,又PQ与CE相交,所以③错误;当平面ADE⊥平面ABCD时,有EC⊥AD,④正确.故填①②④.
答案:①②④
16.矩形ABCD中,AB=1,BC=2,PA⊥平面ABCD,PA=1,则PC与平面ABCD所成的角是________.
解析:tan∠PCA=PAAC=13=33,∴∠PCA=30°.
答案:30°
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(10分)
 
如图所示,空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG?:GC=DH?:HC=1?:2.求证:
(1)E,F,G,H四点共面;
(2)EG与HF的交点在直线AC上.
证明:(1)∵BG?:GC=DH?:HC,
∴GH∥BD.
又∵E、F分别为AB、AD的中点,∴EF∥BD,∴EF∥GH,
∴E,F,G,H四点共面.
(2)∵G,H不是BC,CD的中点,
∴EF∥GH,且EF≠GH,
∴EG与FH必相交.
设交点为M,而EG⊂平面ABC,HF⊂平面ACD,
∴M∈平面ABC,且M∈平面ACD,
∴M∈AC,
即GE与HF的交点在直线AC上.
 
18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB;
(2)求四面体N-BCM的体积.
解析:(1)证明:由已知得AM=23AD=2.
如图,取BP的中点T,连接AT,TN,
由N为PC中点知TN∥BC,
TN=12BC=2.
又AD∥BC,故TN綊AM,
所以四边形AMNT为平行四边形,
于是MN∥AT.
因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,
所以MN∥平面PAB.
(2)因为PA⊥平面ABCD,N为PC的中点,
所以N到平面ABCD的距离为12PA.
 
如图,取BC的中点E,连接AE.
由AB=AC=3得AE⊥BC,AE=AB2-BE2=5.
由AM∥BC得M到BC的距离为5,
故S△BCM=12×4×5=25.
所以四面体N-BCM的体积VN-BCM=13×S△BCM×PA2=453.
19.(12分)S是Rt△ABC所在平面外一点,且SA=SB=SC,D为斜边AC的中点.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
 
证明:(1)如图所示,取AB的中点E,连接SE,DE,
在Rt△ABC中,D、E分别为AC、AB的中点,
∴DE∥BC,∴DE⊥AB,
∵SA=SB,
∴△SAB为等腰三角形,∴SE⊥AB.
又SE∩DE=E,
∴AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE,∴AB⊥SD.
在△SAC中,SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.
又AC∩AB=A,∴SD⊥平面ABC.
(2)由于AB=BC,则BD⊥AC,
由(1)可知,SD⊥平面ABC,BD⊂平面ABC,∴SD⊥BD,
又SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.
 
20.(12分)如图,四边形ABCD与四边形ADEF为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.
(1)求证:BE∥平面MDF;
(2)求证:平面BDE∥平面MNG.
 
证明:(1)如图,连接AE,则AE必过DF与GN的交点O,连接MO,则MO为△ABE的中位线,所以BE∥MO,又BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,所以DE∥GN,又DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点,所以MN为△ABD的中位线,所以BD∥MN,又BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,所以BD∥平面MNG,又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,所以平面BDE∥平面MNG.
 
21.(12分)[2019•菏泽检测]如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,点E是AB的中点.
(1)求证:OE∥平面BCC1B1;
(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥BC.
 
证明:(1)连接BC1,因为侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,所以O为AC1的中点,又因为E是AB的中点,所以OE∥BC1,因为OE⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.
(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,因为AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C⊂平面A1BC,A1B⊂平面A1BC,所以AC1⊥平面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.

 
22.(12分)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点,连接ED,EC,EB和DB.
(1)求证:平面EDB⊥平面EBC;
(2)求二面角E-DB-C的正切值.
解析:(1)证明:在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BB1=BC=1,E为D1C1的中点.所以△DD1E为等腰直角三角形,∠D1ED=45°.
同理∠C1EC=45°.所以∠DEC=90°,即DE⊥EC.
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥平面D1DCC1,
又DE⊂平面D1DCC1,所以BC⊥DE.又EC∩BC=C,
所以DE⊥平面EBC.
因为DE⊂平面DEB,所以平面DEB⊥平面EBC.
 
(2)如图所示,过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,因为平面ABCD⊥平面D1DCC1,且交线为DC,所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F,连接EF,所以EF⊥BD.∠EFO为二面角E-DB-C的平面角.利用平面几何知识可得OF=15,又OE=1,所以tan∠EFO=5.

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