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第一章空间几何体章末质量检测(有解析新人教A版必修2)

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w.Ttzyw.cOM章末质量检测(一) 空间几何体
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析:A错误.如图1所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.
B错误.如图2,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥.
 
C错误.若六棱锥的所有棱长都相等,则底面多边形是正六边形.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D正确.
答案:D
2.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )
A.20条  B.15条
C.12条  D.10条
解析:由题意五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,五棱柱共有对角线2×5=10条.
答案:D
3.关于直观图画法的说法中,不正确的是( )
A.原图形中平行于x轴的线段,其对应线段仍平行于x′轴,其长度不变
B.原图形中平行于y轴的线段,其对应线段仍平行于y′轴,其长度不变
C.画与坐标系xOy对应的坐标系x′O′y′时,∠x′O′y′可画成135°
D.作直观图时,由于选轴不同,所画直观图可能不同
解析:根据斜二测画法的规则可知B不正确.
答案:B
4.若圆柱的轴截面是一个正方形,其面积为4S,则它的一个底面面积是( )
A.4S  B.4πS
C.πS  D.2πS
解析:由题意知圆柱的母线长为底面圆的直径2R,
则2R•2R=4S,得R2=S.所以底面面积为πR2=πS.
答案:C
5.如果一个正四面体(各个面都是正三角形)的体积为9 cm3,则其表面积为( )
A.183 cm2  B.18 cm2
C.123 cm2  D.12 cm2
解析:设正四面体的棱长为a cm,则底面积为34a2 cm2,易求得高为63a cm,则体积为13×34a2×63a=212a3=9,解得a=32,所以其表面积为4×34a2=183(cm2).
答案:A
6.一个四面体共一个顶点的三条棱两两互相垂直,其长分别为1,6,3,其四面体的四个顶点在一个球面上,则这个球的表面积为( )
A.16π B.32π  C.36π D.64π
解析:将四面体可补形为长方体,此长方体的对角线即为球的直径,而长方体的对角线长为12+?6?2+32=4,即球的半径为2,故这个球的表面积为4πr2=16π.
答案:A
7.用斜二测画法得到的一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形,则原来的图形是( )
 
 
解析:直观图中的多边形为正方形,对角线的长为2,所以原图形为平行四边形,位于y轴上的对角线的长为22.
答案:A
8.球O的截面把垂直于截面的直径分成1?:3两部分,若截面圆半径为3,则球O的体积为( )
A.16π  B.16π3
C.32π3    D.43π
解析:设直径被分成的两部分分别为r、3r,易知(3)2=r•3r,得r=1,则球O的半径R=2,故V=43π•R3=323π.
答案:C
 
9.[2019•湖北省黄冈中学检测]已知某几何体的直观图如图所示,则该几何体的体积是( )
A.233+π    B.233+2π
C.23+π  D.23+2π
解析:由直观图可知该几何体由一个半圆柱和一个三棱柱组成,故其体积V=12π×12×2+12×2×3×2=π+23.
答案:C
10.
 
如图,在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是A1B1上一点,且PB1=14A1B1,则多面体P-BCC1B1的体积为( )
A.83    B.163
C.4  D.5
解析:V多面体P-BCC1B1=13S正方形BCC1B1•PB1=13×42×1=163.
答案:B
11.过圆锥的高的三等分点作平行于底面的截面,它们把圆锥的侧面分成的三部分的面积之比为( )
A.1?:2?:3 B.1?:3?:5
C.1?:2?:4  D.1?:3?:9
解析:
 
如图,由题意知O1A1?O2A2?OA=1?:2?:3,以O1A1,O2A2,OA为半径的圆锥的侧面积之比为1?:4?:9.
故圆锥被截面分成的三部分侧面的面积之比为1?:(4-1)?:(9-4)=1?:3?:5.
答案:B
12.已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( )
A.122π  B.12π
C.82π  D.10π
 
解析:过直线O1O2的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以2r=l=22,所以r=2,所以圆柱的表面积为2πrl+2πr2=8π+4π=12π.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
13.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是________.
解析:由圆锥的定义知是两个同底的圆锥形成的组合体.
答案:两个同底的圆锥组合体
 
14.[2019•甘肃省兰州市校级检测]若某空间几何体的直观图如图所示,则该几何体的表面积是________.
解析:根据直观图可知该几何体是横着放的直三棱柱,所以
S侧=(1+2+3)×2=2+2+6,
S底=12×1×2=22,
故S表=2+2+6+2×22=2+22+6.
答案:2+22+6
15.
 
如图所示,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为2,高为5,一质点自A点出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为________.
解析:如图所示,将三棱柱沿AA1剪开,可得一矩形,其长为6,宽为5,其最短路线为两相等线段之和,其长度等于2522+62=13.
 
答案:13
16.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为________.
解析:过圆锥的旋转轴作轴截面,得△ABC及其内切圆⊙O1和外切圆⊙O2,且两圆同圆心,即△ABC的内心与外心重合,易得△ABC为正三角形,由题意知⊙O1的半径为r=1,△ABC的边长为23,于是知圆锥的底面半径为3,高为3.故所求体积为V=13×π×3×3=3π.
答案:3π
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
 
17.(10分)如图所示是一个长方体截去一个角得到的几何体的直观图(单位:cm).按照给出的数据,求该几何体的体积.
解:该几何体的体积V=V长方体-V三棱锥=4×4×6-13×12×2×2×2=2843(cm3).
 
18.(12分)如图是由正方形ABCE和正三角形CDE所组成的平面图形,试画出其水平放置的直观图.
解:(1)以AB所在的直线为x轴,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,如图(1),再建立坐标系x′O′y′,使两轴的夹角为45°,如图(2).
(2)以O′为中点,在x′轴上截取A′B′=AB,
分别过A′,B′作y′轴的平行线,截取A′E′=12AE,B′C′=12BC.
在y′轴上截取O′D′=12OD.
(3)连接E′D′,E′C′,C′D′,并擦去作为辅助线的坐标轴,就得到所求的直观图,如图(3).
 
 
19.(12分)如图所示,在多面体FE­ABCD中,已知ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,求该多面体的体积V.


 
解析:如图所示,分别过A,B作EF的垂线AG,BH,垂足分别为G,H.连接DG,CH,容易求得EG=HF=12.
所以AG=GD=BH=HC=32,
S△AGD=S△BHC=12×22×1=24,
V=VE­ADG+VF­BHC+VAGD­BHC
=13×12×24×2+24×1
=23.
20.(12分)用一张相邻边长分别为4 cm,8 cm的矩形硬纸片卷成圆柱的侧面(接缝处忽略不计),求该圆柱的表面积.
解析:有两种不同的卷法,分别如下:
(1)如图①所示,以矩形8 cm长的边为母线,把矩形硬纸片卷成圆柱侧面,此时底面圆的周长为2π•OA=4,
则OA=r1=2π cm,∴两底面面积之和为8π cm2,
∴S表=32+8π cm2,即该圆柱的表面积为32+8πcm2.
(2)如图②所示,以矩形4 cm长的边为母线,把矩形硬纸片卷成圆柱侧面,此时底面圆的周长为2π•OB=8,
 
则OB=r2=4π cm,∴两底面面积之和为32π cm2,
∴S表=32+32πcm2,即该圆柱的表面积为32+32πcm2.
 
21.(12分)如图,正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a,连接A′C′,A′D,A′B,BD,BC′,C′D,得到一个三棱锥.求:
(1)三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值;
(2)三棱锥A′-BC′D的体积.
解析:(1)∵ABCD-A′B′C′D′是正方体,
∴A′B=A′C′=A′D=BC′=BD=C′D=2a,
∴三棱锥A′-BC′D的表面积为4×12×2a×32×2a=23a2.
而正方体的表面积为6a2,故三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体表面积的比值为23a26a2=33.
(2)三棱锥A′-ABD,C′-BCD,D-A′D′C′,B-A′B′C′是完全一样的.
故V三棱锥A′-BC′D=V正方体-4V三棱锥A′-ABD
=a3-4×13×12a2×a=a33.
22.(12分)若圆锥与球的体积相等,且圆锥底面半径与球的直径相等,求圆锥侧面积与球的表面积之比.
解析:设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,球的半径为R,
则由题意得13πr2•h=43πR3r=2R
∴13π(2R)2•h=43πR3,∴R=h,r=2h,
∴l=r2+h2=5h,
∴S圆锥侧=πrl=π×2h×5h=25πh2,S球=4πR2=4πh2,
∴S圆锥侧S球=25πh24πh2=52.

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