不小专题(一)　三角形三条重要线段的应用

小专题(一)　三角形三条重要线段的应用 类型 1　三角形的高的应用 1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC，垂足分别为点 E，F，G.求证：DE ＋DF＝BG. 证明：连接 AD， ∵S△ABC＝S△ABD＋S△ADC， ∴1 2AC·BG＝1 2AB·DE＋1 2AC·DF. 又∵AB＝AC， ∴BG＝DE＋DF. 类型 2　三角形的中线的应用 2．如图，已知 BE＝CE，ED 为△EBC 的中线，BD＝8，△AEC 的周长为 24，则△ABC 的周长为(A) A．40 B．46 C．50 D．56 3．(广东中考改编)如图，△ABC 的三边的中线 AD，BE，CF 的公共点为 G，且 AG∶GD＝2∶1， 若 S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是 4． 　　　 4．在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，一腰上的中线 BD 将这个三角形的周长分成 15 cm 和 6 cm 两 部分，求这个等腰三角形的三边长． 解：设 AD＝CD＝x cm，则 AB＝2x cm，BC＝(21－4x)cm. 依题意，有 AB＋AD＝15 cm 或 AB＋AD＝6 cm，则有 2x＋x＝15 或 2x＋x＝6， 解得 x＝5 或 x＝2.当 x＝5 时，三边长为 10 cm，10 cm，1 cm； 当 x＝2 时，三边长为 4 cm，4 cm，13 cm， 而 4＋4＜13，故不成立． ∴这个等腰三角形的三边长分别为 10 cm，10 cm，1 cm. 类型 3　三角形的角平分线的应用 5．(1)如图，在△ABC 中，D，E，F 是边 BC 上的三点，且∠1＝∠2＝∠3＝∠4，以 AE 为角平分 线的三角形有△ABC 和△ADF； (2)如图，若已知 AE 平分∠BAC，且∠1＝∠2＝∠4＝15°，计算∠3 的度数，并说明 AE 是△DAF 的角平分线． 解：∵AE 平分∠BAC， ∴∠BAE＝∠CAE. 又∵∠1＝∠2＝15°， ∴∠BAE＝∠1＋∠2 ＝15°＋15° ＝30°. ∴∠CAE＝∠BAE＝30°， 即∠CAE＝∠4＋∠3＝30°. 又∵∠4＝15°，∴∠3＝15°. ∴∠2＝∠3＝15°， ∴AE 是△DAF 的角平分线． 6．如图，在△ABC 中，BE，CD 分别为其角平分线且交于点 O. (1)当∠A＝60°时，求∠BOC 的度数；(2)当∠A＝100°时，求∠BOC 的度数； (3)当∠A＝α°时，求∠BOC 的度数． 解：(1)∵∠A＝60°， ∴∠ABC＋∠ACB＝120°. ∵BE，CD 为△ABC 的角平分线， ∴∠EBC＋∠DCB＝60°， ∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB) ＝180°－60°＝120°. (2)∵∠A＝100°， ∴∠ABC＋∠ACB＝80°. ∵BE，CD 为△ABC 的角平分线， ∴∠EBC＋∠DCB＝40°， ∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－40°＝140°. (3)∵∠A＝α°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－α°. ∵BE，CD 为△ABC 的角平分线， ∴∠EBC＋∠DCB＝90°－1 2α°， ∴∠BOC＝180°－(∠EBC＋∠DCB)＝180°－(90°－1 2α°)＝90°＋1 2α°.