2017-2018学年广深圳市宝安XX中学八年级下期中数学试卷含答案解析.doc

‎2017-2018学年广东省深圳市宝安XX中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（共12题，每题3分，共36分）‎ ‎1．若x＞y，则下列式子错误的是（　　）‎ A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣3x＞﹣3y C．x+1＞y+1 D．＞‎ ‎2．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）‎ A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 ‎3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）‎ A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） ‎ C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）‎ ‎4．下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）‎ A．15 B．‎30 ‎C．45 D．60‎ ‎6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）‎ A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 ‎7．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）‎ A．30或39 B．30 ‎ C．39 D．以上答案均不对 ‎9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎10．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（　　）‎ A．﹣6 B．‎6 ‎C．﹣9 D．9‎ ‎11．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x＞‎0 ‎C．x＞1 D．x＜1‎ ‎12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（　　）‎ A．2﹣ B． C．﹣1 D．1‎ 二、填空题（共4题，每题3分，共12分）‎ ‎13．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝　 　．‎ ‎14．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD 等于　 　．‎ ‎15．已知关于x的分式方程有增根且m≠0，则m＝　 　．‎ ‎16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是　 　．‎ 三、解答题．‎ ‎17．（8分）因式分解 ‎（1）2x2﹣4x+2‎ ‎（2）（a2+b2）2﹣‎4a2b2‎ ‎18．（8分）分式化简 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎19．（8分）（1）解分式方程：‎ ‎（2）解不等式组：‎ ‎20．（5分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．‎ ‎21．（7分）某汽车站站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．‎ ‎（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵．‎ ‎（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务．‎ ‎22．（7分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．‎ ‎（1）求∠DCE的度数；‎ ‎（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．‎ ‎23．（9分）运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．‎ ‎（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；‎ ‎（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是　 　；（直接写出结论不必证明）‎ ‎（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．‎ 参考答案与试题解析 一、选择题（共12题，每题3分，共36分）‎ ‎1．若x＞y，则下列式子错误的是（　　）‎ A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣3x＞﹣3y C．x+1＞y+1 D．＞‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质进行判断．‎ ‎【解答】解：A、在不等式x＞y的两边同时减去1，不等式仍成立，即x﹣1＞y﹣1，故本选项不符合题意；‎ B、在不等式x＞y的两边同时乘以﹣3，不等号方向发生改变，即﹣3x＜﹣3y，故本选项符合题意；‎ C、在不等式x＞y的两边同时加上1，不等式仍成立，即x+1＞y+1，故本选项不符合题意；‎ D、在不等式x＞y的两边同时除以3，不等式仍成立，即＞，故本选项不符合题意；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】主要考查了不等式的基本性质．“‎0”‎是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“‎0”‎存在与否，以防掉进“‎0”‎的陷阱．不等式的基本性质：‎ ‎（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．‎ ‎（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．‎ ‎（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．‎ ‎2．若把分式中的x和y都扩大到原来的3倍，那么分式的值（　　）‎ A．扩大3倍 B．缩小3倍 C．缩小6倍 D．不变 ‎【分析】x，y都扩大3倍就是分别变成原来的3倍，变成3x和3y．用3x和3y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系．‎ ‎【解答】解：用3x和3y代替式子中的x和y得：，‎ 则分式的值缩小成原来的，即缩小3倍．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．‎ ‎3．下列式子中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）‎ A．（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2 B．x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2） ‎ C．x2+4x+4＝x（x﹣4）+4 D．x2+y2＝（x+y）（x﹣y）‎ ‎【分析】因式分解就是要将一个多项式分解为几个整式积的形式．‎ ‎【解答】解：根据因式分解的概念，A，C答案错误；‎ 根据平方差公式：（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2所以D错误；‎ B答案正确．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】注意对因式分解概念的理解．‎ ‎4．下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：A、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；‎ B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项正确；‎ C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项错误；‎ D、是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题将汽车标志与对称相结合，掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．‎ ‎5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）‎ A．15 B．‎30 ‎C．45 D．60‎ ‎【分析】判断出AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．‎ ‎【解答】解：由题意得AP是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB于E，‎ 又∵∠C＝90°，‎ ‎∴DE＝CD，‎ ‎∴△ABD的面积＝AB•DE＝×15×4＝30．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质以及角平分线的画法，熟记性质是解题的关键．‎ ‎6．已知a，b，c是三角形的三边，那么代数式（a﹣b）2﹣c2的值（　　）‎ A．大于零 B．小于零 C．等于零 D．不能确定 ‎【分析】首先利用平方差公式分解因式，进而利用三角形三边关系得出即可．‎ ‎【解答】解：∵（a﹣b）2﹣c2＝（a﹣b+c）（a﹣b﹣c），a，b，c是三角形的三边，‎ ‎∴a+c﹣b＞0，a﹣b﹣c＜0，‎ ‎∴（a﹣b）2﹣c2的值是负数．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了因式分解的实际运用，正确应用平方差公式是解题关键．‎ ‎7．对于非零实数a、b，规定a⊗b＝．若2⊗（2x﹣1）＝1，则x的值为（　　）‎ A． B． C． D．﹣‎ ‎【分析】根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果．‎ ‎【解答】解：根据题意得：2⊗（2x﹣1）＝﹣＝1，‎ 去分母得：2﹣（2x﹣1）＝4x﹣2，‎ 去括号得：2﹣2x+1＝4x﹣2，‎ 移项合并得：6x＝5，‎ 解得：x＝，‎ 经检验是分式方程的解．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．‎ ‎8．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（　　）‎ A．30或39 B．30 ‎ C．39 D．以上答案均不对 ‎【分析】根据非负数的性质列式求出x、y的值，再分x是腰长与底边两种情况讨论求解．‎ ‎【解答】解：根据题意得，x﹣7＝0，y﹣16＝0，‎ 解得x＝7，y＝16，‎ ‎①x＝7是腰长时，三角形的三边分别为7、7、16，‎ ‎∵7+7＝14，‎ ‎∴7、7、16不能组成三角形，‎ ‎②x＝7是底边时，三角形的三边分别为7、16、16，‎ 能够组成三角形，‎ 周长＝7+16+16＝39；‎ 综上所述，三角形的周长为39．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，难点在于分情况讨论并利用三角形的三边关系进行判断．‎ ‎9．如图，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′（点B的对应点是点B'，点C的对应点是点C'），连接BB′，若AC′∥BB′，则∠C'AB′的度数为（　　）‎ A．15° B．30° C．45° D．60°‎ ‎【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B＝30°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′＝∠AB′B＝30°．‎ ‎【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，‎ ‎∴∠BAB′＝∠CAC′＝120°，AB＝AB′，‎ ‎∴∠AB′B＝（180°﹣120°）＝30°，‎ ‎∵AC′∥BB′，‎ ‎∴∠C′AB′＝∠AB′B＝30°，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．‎ ‎10．若（x+2）是多项式4x2+5x+m的一个因式，则m等于（　　）‎ A．﹣6 B．‎6 ‎C．﹣9 D．9‎ ‎【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，一个因式（x+2），可得另一个因式，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵4x2+5x+m＝（x+2）（4x﹣3），‎ 可得m＝2×（﹣3）＝﹣6，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了因式分解的意义，由十字相乘法得因式分解，由因式分解得出m的值．‎ ‎11．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解集是（　　）‎ A．x＞﹣2 B．x＞‎0 ‎C．x＞1 D．x＜1‎ ‎【分析】观察函数图象得到当x＞1时，函数y＝x+b的图象都在y＝kx+4的图象上方，所以关于x的不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．‎ ‎【解答】解：当x＞1时，x+b＞kx+4，‎ 即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．‎ ‎12．如图，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（　　）‎ A．2﹣ B． C．﹣1 D．1‎ ‎【分析】连接BB′，根据旋转的性质可得AB＝AB′，判断出△ABB′是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得AB＝BB′，然后利用“边边边”证明△ABC′和△B′BC′全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABC′＝∠B′BC′，延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′＝BD﹣C′D计算即可得解．‎ ‎【解答】解：如图，连接BB′，‎ ‎∵△ABC绕点A顺时针方向旋转60°得到△AB′C′，‎ ‎∴AB＝AB′，∠BAB′＝60°，‎ ‎∴△ABB′是等边三角形，‎ ‎∴AB＝BB′，‎ 在△ABC′和△B′BC′中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABC′≌△B′BC′（SSS），‎ ‎∴∠ABC′＝∠B′BC′，‎ 延长BC′交AB′于D，‎ 则BD⊥AB′，‎ ‎∵∠C＝90°，AC＝BC＝，‎ ‎∴AB＝＝2，‎ ‎∴BD＝2×＝，‎ C′D＝×2＝1，‎ ‎∴BC′＝BD﹣C′D＝﹣1．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形并求出BC′在等边三角形的高上是解题的关键，也是本题的难点．‎ 二、填空题（共4题，每题3分，共12分）‎ ‎13．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2＝　（a+b）（a﹣3b）　．‎ ‎【分析】直接利用平方差公式分解因式得出即可．‎ ‎【解答】解：（a﹣b）2﹣4b2‎ ‎＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）‎ ‎＝（a+b）（a﹣3b）．‎ 故答案为：（a+b）（a﹣3b）．‎ ‎【点评】此题主要考查了公式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键．‎ ‎14．如图所示，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝4，则PD等于　2　．‎ ‎【分析】过点P作PM⊥OB于M，根据平行线的性质可得到∠BCP 的度数，再根据直角三角形的性质可求得PM的长，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PM＝PD，从而求得PD的长．‎ ‎【解答】解：过点P作PM⊥OB于M，‎ ‎∵PC∥OA，‎ ‎∴∠COP＝∠CPO＝∠POD＝15°，‎ ‎∴∠BCP＝30°，‎ ‎∴PM＝PC＝2，‎ ‎∵PD＝PM，‎ ‎∴PD＝2．‎ 故答案为：2．‎ ‎【点评】本题考查了等腰三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质；解决本题的关键就是利用角平分线的性质，把求PD的长的问题进行转化．‎ ‎15．已知关于x的分式方程有增根且m≠0，则m＝　﹣4　．‎ ‎【分析】先将分式方程去分母，转化为整式方程，再将增根代入整式方程，求得m的值并进行判断．‎ ‎【解答】解：去分母，得2x+4+mx＝0，‎ ‎∴（2+m）x＝﹣4，‎ ‎∵关于x的分式方程有增根，‎ ‎∴x＝2或﹣2，‎ 当x＝2时，（2+m）×2＝﹣4，‎ 解得m＝﹣4，‎ 当x＝﹣2时，（2+m）×（﹣2）＝﹣4，‎ 解得m＝0，‎ 又∵m≠0，‎ ‎∴m的值为﹣4，‎ 故答案为：﹣4．‎ ‎【点评】本题主要考查了分式方程的增根，解题的依据是：代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．‎ ‎16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，M是BC的中点，P是A′B′的中点，连接PM，若BC＝2，∠BAC＝30°，则线段PM的最大值是　3　．‎ ‎【分析】连接PC．首先依据直角三角形斜边上中线的性质求出PC＝2，然后再依据三角形的三边关系可得到PM≤PC+CM，故此可得到PM的最大值为PC+CM．‎ ‎【解答】解：如图连接PC．‎ 在Rt△ABC中，∵∠A＝30°，BC＝2，‎ ‎∴AB＝4，‎ 根据旋转不变性可知，A′B′＝AB＝4，‎ ‎∴A′P＝PB′，‎ ‎∴PC＝A′B′＝2，‎ ‎∵CM＝BM＝1，‎ 又∵PM≤PC+CM，即PM≤3，‎ ‎∴PM的最大值为3（此时P、C、M共线）．‎ 故答案为：3．‎ ‎【点评】本题主要考查的是旋转的性质，直角三角形的性质、三角形的三边关系，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．‎ 三、解答题．‎ ‎17．（8分）因式分解 ‎（1）2x2﹣4x+2‎ ‎（2）（a2+b2）2﹣‎4a2b2‎ ‎【分析】（1）根据提公因式法，完全平方公式，可得答案；‎ ‎（2）根据平方差公式，完全平方公式，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）原式＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2；‎ ‎（2）原式＝[（a2+b2）+2ab][（a2+b2）﹣2ab]＝（a+b）2（a﹣b）2．‎ ‎【点评】本题考查了因式分解，一提，二套，三检查，分解要彻底．‎ ‎18．（8分）分式化简 ‎（1）‎ ‎（2）‎ ‎【分析】（1）根据分式的加法和除法可以解答本题；‎ ‎（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．‎ ‎【解答】解：（1）‎ ‎＝a（a+3）‎ ‎＝a；‎ ‎（2）¸ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝．‎ ‎【点评】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．‎ ‎19．（8分）（1）解分式方程：‎ ‎（2）解不等式组：‎ ‎【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；‎ ‎（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．‎ ‎【解答】解：（1）去分母得：x2+x﹣2x+1＝x2﹣1，‎ 解得：x＝2，‎ 经检验x＝2是分式方程的解；‎ ‎（2），‎ 由①得：x≤1，‎ 由②得：x＞﹣2，‎ 则不等式组的解集为﹣2＜x≤1．‎ ‎【点评】此题考查了解分式方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎20．（5分）先化简，再求值：，其中x是不等式组的整数解．‎ ‎【分析】根据分式的加法和乘法可以化简题目中的式子，然后由x是不等式组的整数解，x﹣1≠0，x+2≠0，x≠0可以求得x的值，然后代入化简后的式子即可解答本题．‎ ‎【解答】解：‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝，‎ 由不等式组，得﹣2≤x≤1，‎ ‎∵x是不等式组的整数解，x﹣1≠0，x+2≠0，x≠0，‎ ‎∴x＝﹣1，‎ 当x＝﹣1时，原式＝＝﹣1．‎ ‎【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．‎ ‎21．（7分）某汽车站站北广场将于2018年底投入使用，计划在广场内种植A、B两种花木共6600棵，若A花木数量是B花木数量的2倍少600棵．‎ ‎（1）A、B两种花木的数量分别是多少棵．‎ ‎（2）如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A花木60棵或B花木40棵，应分别安排多少人种植A花木和B花木，才能确保同时完成各自的任务．‎ ‎【分析】（1）设A种花木数量x棵，B种花木数量y棵，根据等量关系列出方程即可求出答案．‎ ‎（2）设安排n个人种植A种花木，则安排（26﹣n）个人种植B种花木，根据等量关系列出方程即可求出答案．‎ ‎【解答】解：（1）设A种花木数量x棵，B种花木数量y棵．‎ 根据题意可得方程组：‎ 将②代入①可得：2y﹣600+y＝6600，解得y＝2400，‎ 代入②可得x＝4200，所以原方程组的解为，‎ 故A种花木数量是4200棵，B种花木数量是2400棵．‎ ‎（2）设安排n个人种植A种花木，则安排（26﹣n）个人种植B种花木，则由题意可得方程：，‎ 化简得，‎ 解得：n＝14．经检验，n≠0，26﹣n≠0，且符合题意，故n＝14是方程的解．‎ 故应安排14个人种植A花木，12个人种植B花木．‎ ‎【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于中等题型．‎ ‎22．（7分）如图，等腰Rt△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE．‎ ‎（1）求∠DCE的度数；‎ ‎（2）若AB＝4，CD＝3AD，求DE的长．‎ ‎【分析】（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；‎ ‎（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠BAD＝∠BCD＝45°．‎ 由旋转的性质可知∠BAD＝∠BCE＝45°．‎ ‎∴∠DCE＝∠BCE+∠BCA＝45°+45°＝90°．‎ ‎（2）∵BA＝BC，∠ABC＝90°，‎ ‎∴AC＝＝4．‎ ‎∵CD＝3AD，‎ ‎∴AD＝，DC＝3．‎ 由旋转的性质可知：AD＝EC＝．‎ ‎∴DE＝＝2．‎ ‎【点评】本题主要考查的是旋转的性质、勾股定理的应用、等腰直角三角形的性质，求得∠DCE＝90°是解题的关键．‎ ‎23．（9分）运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．‎ ‎（1）如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AC边上的高为h，M是底边BC上的任意一点，点M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．请用面积法证明：h1+h2＝h；‎ ‎（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间的等量关系式是　h1﹣h2＝h　；（直接写出结论不必证明）‎ ‎（3）如图2在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3、l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是1，请运用（1）、（2）的结论求出点M的坐标．‎ ‎【分析】（1）连接AM，△ABC被分成△ABM和△ACM两个三角形，根据三角形的面积公式底乘以高除以2分别求解，再根据S△ABC＝S△ABM+S△AMC整理即可得到h1+h2＝h．‎ ‎（2）根据（1）的方法，利用三角形面积的关系求解即可；‎ ‎（3）先根据直线关系式求出A、B、C三点的坐标利用勾股定理求出AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，再分点M在线段BC上和CB的延长线上两种情况讨论求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，‎ 又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，‎ ‎∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，‎ ‎∴h1+h2＝h．‎ ‎（2）h1﹣h2＝h．‎ ‎（3）在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，则：‎ A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0），‎ AB＝＝5，AC＝5，‎ 所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．‎ ‎①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：‎ ‎1+My＝OB，My＝3﹣1＝2，把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝，‎ ‎∴M（，2）；‎ ‎②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：My﹣1＝OB，My＝3+1＝4，‎ 把它代入y＝﹣3x+3中求得：Mx＝﹣，‎ ‎∴M（﹣，4），‎ ‎∴点M的坐标为（，2）或（，4）．‎ ‎【点评】解答本题的关键在于利用等腰三角形两边相等的性质和三角形面积的关系，利用面积求解在几何解答题中经常用到，同学们在答题时一定要灵活运用．‎