2019高中数学第二章空间向量与立体几何2.6距离的计算课后训练案巩固提升含解析北师大版选修2_1.doc

‎§6　距离的计算 课后训练案巩固提升 A组 ‎1.已知向量n=(1,0,-1)与直线l垂直,且l经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到l的距离为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:∵n=(1,0,-1)与直线l垂直,‎ ‎∴n的单位向量n0=.‎ 又∵l经过点A(2,3,1),‎ ‎∴=(2,0,1),‎ ‎∴在n上的投影·n0=(2,0,1)·.∴点P到l的距离为.‎ 答案:B ‎2.已知平面α的一个法向量n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(-2,1,4)到α的距离为(　　)‎ A.10 B.3 C. D.‎ 解析:∵α的一个法向量为n=(-2,-2,1),‎ ‎∴n0=.‎ 又点A(-1,3,0)在α内,∴=(-1,-2,4),‎ ‎∴点P到平面α的距离为|·n0|=.‎ 答案:D ‎3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则点A1到对角线BC1所在的直线的距离为(　　)‎ A.a B.a C.a D.‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,‎ - 11 -‎ 则A1(a,0,a),B(a,a,0),C1(0,a,a).‎ ‎∴=(0,a,-a),=(-a,0,a).‎ ‎∴||=a,||=a.‎ ‎∴点A1到BC1的距离 d=a.‎ 答案:A ‎4.‎ 导学号90074046如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是线段BB1,B1C1的中点,则直线MN与平面ACD1间的距离是(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:如图,‎ 建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),D1(0,0,1),M,N,C(0,1,0).‎ 所以=(-1,0,1),.‎ 所以.又直线AD1与MN不重合,‎ 所以MN∥AD1.又MN⊈平面ACD1,‎ - 11 -‎ 所以MN∥平面ACD1.‎ 因为=(-1,0,1),=(0,1,-1),‎ 设平面ACD1的法向量n=(x,y,z),‎ 则所以 所以x=y=z.令x=1,则n=(1,1,1).‎ 又因为-(1,0,0)=,所以点M到平面ACD1的距离d=.‎ 故直线MN与平面ACD1间的距离为.‎ 答案:D ‎5.‎ 如图,在长方体ABCD-A'B'C'D'中,AB=2,BC=3,AA'=4,则点B到直线A'C的距离为　　　　. ‎ 解析:∵AB=2,BC=3,AA'=4,则B(2,0,0),C(2,3,0),A'(0,0,4),‎ ‎∴=(0,0,4)-(2,3,0)=(-2,-3,4),‎ ‎∴=(2,0,0)-(2,3,0)=(0,-3,0),‎ ‎∴上的投影为 ‎=.‎ ‎∴点B到直线A'C的距离 d=‎ - 11 -‎ ‎=.‎ 答案:‎ ‎6.‎ ‎ 如图,已知△ABC是以∠B为直角的直角三角形,SA⊥平面ABC,SA=BC=2,AB=4,M,N,D分别是SC,AB,BC的中点,则点A到平面SND的距离为　　　　. ‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则N(0,2,0),S(0,0,2),D(-1,4,0),∴=(0,-2,2),=(-1,4,-2).设平面SND的法向量为n=(x,y,1).‎ ‎∴n·=0,n·=0,‎ ‎∴‎ ‎∴n=(2,1,1).∵=(0,0,2),‎ ‎∴点A到平面SND的距离为.‎ 答案:‎ ‎7.‎ - 11 -‎ 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧棱PA⊥底面ABCD,AB=,BC=1,PA=2,E为PD的中点.在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面PAC,并分别求出点N到AB和AP的距离.‎ 解建立如图所示的空间直角坐标系,则由题意有 A(0,0,0),C(,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2),E.‎ 所以=(,1,0),=(0,0,2).‎ 因为点N在侧面PAB内,故可设点N的坐标为(x,0,z),则.‎ 由NE⊥平面PAC,可得 即 化简,得所以 即点N的坐标为,从而点N到AB和AP的距离分别为1,.‎ ‎8.已知三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点.求点C到平面AB1D的距离.‎ 解 ‎(方法一)如图,连接A1B,交AB1于点M,连接DM,则DM⊥平面AA1B1B,所以A1B⊥DM.又=()·()=||2-||2=0,‎ ‎∴A1B⊥AB1.‎ ‎∴A1B⊥平面AB1D.‎ - 11 -‎ 即是平面AB1D的一个法向量.‎ 故点C到平面AB1D的距离 d=‎ ‎=a.‎ ‎(方法二)如图,以B为原点,过点B与BC垂直的直线为x轴,BC所在的直线为y轴,BB1所在的直线为z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),A,A1,B1(0,0,a),D,C(0,a,0).‎ 可知.‎ 取AB1的中点M,则M.‎ ‎∴,‎ ‎∴a×+0×(-a)=0.‎ ‎∴DM⊥A1B.又a2+-a2=0,‎ ‎∴A1B⊥AB1.‎ ‎∴A1B⊥平面AB1D.‎ 即是平面AB1D的一个法向量,‎ 故点C到平面AB1D的距离d=‎ - 11 -‎ ‎=a.‎ B组 ‎1.已知ABCD-EFGH是棱长为1的正方体,若点P在正方体内部且满足,则点P到AB的距离为(　　)‎ A. B. C. D.‎ 解析:‎ ‎ 建立如图所示的空间直角坐标系,则(1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=.又=(1,0,0),∴上的投影为,∴点P到AB的距离为.‎ 答案:A ‎2.‎ 如图,在直二面角D-AB-E中,四边形ABCD是边长为2的正方形,△AEB是等腰直角三角形,其中∠AEB=90°,则点D到平面ACE的距离为(　　)‎ A. B.‎ C. D.2‎ 解析:‎ - 11 -‎ ‎ 取AB的中点O,以O为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,-1,0),E(1,0,0),D(0,-1,2),C(0,1,2),从而=(0,0,2),=(1,1,0),=(0,2,2).设平面ACE的法向量为n=(x,y,z),则令y=1,则x=-1,z=-1,∴n=(-1,1,-1)为平面ACE的一个法向量.故点D到平面ACE的距离d=.‎ 答案:B ‎3.‎ 如图,△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2,则点A到平面MBC的距离为　　　　　. ‎ 解析:取CD的中点O,连接OB,OM,则OB⊥CD,OM⊥CD.‎ 又平面MCD⊥平面BCD,则MO⊥平面BCD.‎ 以O为原点,建立空间直角坐标系如图,‎ 由题意得OB=OM=,AB=2,‎ 所以C(1,0,0),M(0,0,),B(0,-,0),A(0,-,2).‎ 设n=(x,y,z)是平面MBC的法向量,‎ 则=(1,,0),=(0,),‎ 由取n=(,-1,1).‎ 又=(0,0,2),则点A到平面MBC的距离d=.‎ - 11 -‎ 答案:‎ ‎4.‎ 如图,正方体的棱长为1,E,F,M,N分别是所在棱的中点,则平面A1EF与平面B1NMD1间的距离为　　　　. ‎ 解析:建立如图所示的空间直角坐标系,‎ 则A1(1,0,0),B1(1,1,0),E,F,D1(0,0,0),M,N.‎ ‎∵E,F,M,N分别是所在棱的中点,∴MN∥EF,A1E∥B1N.∴平面A1EF∥平面B1NMD1.‎ ‎∴平面A1EF与平面B1NMD1间的距离即为A1到平面B1NMD1的距离.‎ 设平面B1NMD1的法向量为n=(x,y,z),‎ ‎∵=(1,1,0),,‎ ‎∴n·=0,且n·=0.‎ 即(x,y,z)·(1,1,0)=0,且(x,y,z)·=0.∴x+y=0,且-x+z=0,‎ 令x=2,则y=-2,z=1.‎ ‎∴n=(2,-2,1),n0=.‎ ‎∵=(0,1,0),‎ ‎∴A1到平面B1NMD1的距离为d=|·n0|=.‎ 答案:‎ ‎5.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=BC=3,AC=2,D是AC的中点.‎ - 11 -‎ ‎(1)求证:B1C∥平面A1BD;‎ ‎(2)求点B1到平面A1BD的距离.‎ ‎(1)证明连接AB1交A1B于E,连接DE.‎ ‎⇒B1C∥平面A1BD.‎ ‎(2)解建立如图所示的坐标系,‎ 则B1(0,2,3),B(0,2,0),A1(-1,0,3),‎ 所以=(0,2,3),=(0,2,0),=(-1,0,3).‎ 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z),‎ 所以 即取n=(3,0,1).‎ 所以所求距离为d=.‎ ‎6.‎ 导学号90074047如图,平面PAD⊥平面ABCD,ABCD为正方形,∠PAD=90°,且PA=AD=2,E,F分别是线段PA,PD的中点.问:线段CD上是否存在一点Q,使得点A到平面EFQ的距离为?若存在,求出CQ的值;若不存在,请说明理由.‎ 解由题意知PA,AD,AB两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,‎ - 11 -‎ 则A(0,0,0),D(0,2,0),E(0,0,1),F(0,1,1).‎ 假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件.‎ 令CQ=m(0≤m≤2),则DQ=2-m.‎ ‎∴点Q的坐标为(2-m,2,0),∴=(2-m,2,-1).‎ 而=(0,1,0),设平面EFQ的法向量为n=(x,y,z),‎ 则 令x=1,则n=(1,0,2-m)是平面EFQ的一个法向量.‎ 又=(0,0,1),‎ ‎∴点A到平面EFQ的距离d=,即(2-m)2=,‎ ‎∴m=>2,不合题意,舍去.‎ 故存在点Q,且CQ=时,点A到平面EFQ的距离为.‎ - 11 -‎