考点15 三角函数的图象与性质
（1）能画出y=sin x，y =cos x，y = tan x的图象，了解三角函数的周期性.
（2）理解正弦函数、余弦函数在区间上的性质（如单调性、 最大值和最小值以及与x轴的交点等），理解正切函数在区间内的单调性.
（3）了解函数的物理意义；能画出的图象，了解参数对函数图象变化的影响.
（4）了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.
一、正弦函数,余弦函数,正切函数的图象与性质
函数
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当时，．
当时，；
当时，．
既无最大值，也无最小值
周期性
最小正周期为
最小正周期为
最小正周期为
奇偶性
,奇函数
，偶函数
，奇函数
单调性
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数；
在上是减函数．
在上是增函数．
对称性
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
对称轴，
既是中心对称图形又是轴对称图形.
对称中心；
无对称轴，
是中心对称图形但不是轴对称图形.
二、函数的图象与性质
1．函数的图象的画法
（1）变换作图法
由函数的图象通过变换得到（A>0,ω>0）的图象，有两种主
要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.如下图.
（2）五点作图法
找五个关键点，分别为使y取得最小值、最大值的点和曲线与x轴的交点.其步骤为：
①先确定最小正周期T=,在一个周期内作出图象；
②令,令X分别取0，,,,求出对应的x值，列表如下：
由此可得五个关键点；
③描点画图，再利用函数的周期性把所得简图向左右分别扩展，从而得到的简图.
2．函数（A>0,ω>0）的性质
（1）奇偶性：时，函数为奇函数；时，函数为偶函数.
（2）周期性：存在周期性，其最小正周期为T= .
（3）单调性：根据y=sint和t=的单调性来研究，由
得单调增区间；由得单调减区间.
（4）对称性：利用y=sin x的对称中心为求解，令，求得x.
利用y=sin x的对称轴为求解，令，得其对称轴.
3．函数（A>0,ω>0）的物理意义
当函数（A>0,ω>0,）表示一个简谐振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期，f =叫做频率,叫做相位，x=0时的相位叫做初相.
三、三角函数的综合应用
（1）函数，的定义域均为；函数的定义域均为.
（2）函数，的最大值为，最小值为；函数的值域为.
（3）函数，的最小正周期为；函数的最小正周期为．
（4）对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数，当且仅当时为偶函数；对于，当且仅当时为奇函数．
（5）函数的单调递增区间由不等式
来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定，单调递减区间由不等式来确定；函数的单调递增区间由不等式来确定．
【注】函数，，（有可能为负数）的单调区间：先利用诱导公式把化为正数后再求解．
（6）函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称轴为，对称中心为；函数图象的对称中心为.
【注】函数，的图象与轴的交点都为对称中心，过最高点或最低点且垂直于轴的直线都为对称轴. 函数的图象与轴的交点和渐近线与轴的交点都为对称中心，无对称轴.
考向一 三角函数的图象变换
函数图象的平移变换解题策略
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
典例1 将函数图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，则在图象的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】将函数的图象上的每个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到的图象，
再将所得图象向左平移个单位得到函数的图象，
即，
由，得，
则当时，离原点最近的对称轴方程为，故选A．
【名师点睛】（1）进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身；要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；
（2）在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量而言的，如果的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．
1．已知函数 的部分图象如图所示，是正三角形，为了得到的图象，只需将的图象
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度
考向二 确定三角函数的解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；“第五点”为ωx＋φ=2π.
典例2已知函数的部分图象如图.
（1）求函数的解析式.
（2）求函数在区间上的最值，并求出相应的值.
【解析】（1）由图象可知，又，故.
周期，
又，∴.
∴
∵.
则函数的解析式为.
2．已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+h(A>0,ω>0,0
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