（1）理解等差数列的概念.
（2）掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.
（3）了解等差数列与一次函数的关系.
一、等差数列
1．等差数列的概念
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数．
2．等差中项
如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且．
3．等差数列的通项公式及其变形
以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为．
公式的变形：，．
4．等差数列与一次函数的关系
由等差数列的通项公式，可得．
令，，则，其中，为常数．
（1）当时，在一次函数的图象上，数列的图象是直线上均匀分布的一群孤立的点，且当时数列为递增数列，当时数列为递减数列．
（2）当时，，等差数列为常数列，数列的图象是平行于x轴的直线（或
x轴）上均匀分布的一群孤立的点．
二、等差数列的前n项和
1．等差数列的前n项和
首项为，末项为，项数为n的等差数列的前n项和公式：．
令，，可得，则
当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点；
当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点．
我们可以借助二次函数的图象和性质来研究等差数列的前n项和的相关问题．
2．用前n项和公式法判定等差数列
等差数列的前n项和公式与函数的关系给出了一种判断数列是否为等差数列的方法：若数列的前n项和，那么当且仅当时，数列是以为首项，为公差的等差数列；当时，数列不是等差数列．
三、等差数列的性质
1．等差数列的常用性质
由等差数列的定义可得公差为的等差数列具有如下性质：
（1）通项公式的推广：，．
（2）若，则．
特别地，①若，则；
②若，则．
③有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，都等于首末两项的和，即
（3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列．
（4）数列是常数是公差为td的等差数列．
（5）若数列为等差数列，则数列是常数仍为等差数列．
（6）若，则．
2．与等差数列各项的和有关的性质
利用等差数列的通项公式及前n项和公式易得等差数列的前n项和具有如下性质：
设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为，
（1）数列是等差数列，首项为，公差为．
（2）构成公差为的等差数列．
（3）若数列共有项，则，．
（4）若数列共有项，则，．
（5），．
考向一 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明的方法：
定义法：或是等差数列；
定义变形法：验证是否满足；
等差中项法：为等差数列；
通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列；
前n项和公式法：为常数为等差数列．
注意：（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项，使得即可；
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法．
典例1 已知数列满足，则“数列为等差数列”是“数列为等差数列”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【名师点睛】根据等差数列的定义，“数列为等差数列”能推出“数列为等差数列”，“数列为等差数列”不能推出“数列为等差数列”，从而可得结果.
1．已知数列满足，且.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
考向二 等差数列中基本量的求解
1．等差数列运算问题的一般求法是设出首项和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
2．等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量，，d，n，，知其中三个就能求另外两个，体现了方程的思想．
典例2 已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.
【答案】6
【解析】∵是等差数列，∴，，∴，解得，
∴，故填6．
典例3 在等差数列中，a1＝1，S5＝－15.
（1）求数列的通项公式；
（2）若数列的前k项和Sk＝－48，求k的值．
2．已知等差数列的前项和为，若，则
A． B．
C． D．
考向三 求解等差数列的通项及前n项和
1．求解等差数列通项公式的方法主要有两种：（1）定义法.（2）前项和法，即根据前项和与的关系求解.
在利用定义法求等差数列通项公式时，常涉及设等差数列项的问题，等差数列中项的常见设法有：（1）通项法；（2）对称项设法.当等差数列的项数为奇数时，可设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：；当等差数列的项数为偶数时，可设中间两项分别为，再以公差为向两边分别设项：.
2．递推关系式构造等差数列的常见类型：
（1）转化为常数，则是等差数列；
（2）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列；
（3）转化为常数，则是等差数列；
（4）转化为常数，则是等差数列；
（5）转化为常数，则（c可以为0）是等差数列．
3．等差数列前n项和公式的应用方法：
根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用；若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用.
典例4 已知数列中，，当时，，求数列的通项公式．
【解析】当时，，即，
两边同时取倒数，得，即，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列，
所以，故．
典例5 已知为等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为d，依题意得，解得，
则.
故数列的通项公式为.
（2）由（1）得，
，
故数列的前n项和.
3．已知数列是等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和.
考向四 数列的前n项和的求解
1．求数列的前n项和的关键是分清哪些项为正的，哪些项为负的，最终转化为去掉绝对值符号后的数列进行求和．
2．当的各项都为非负数时，的前n项和就等于的前n项和；当从某项开始
各项都为负数（或正数）时，求的前n项和要充分利用的前n项和公式，这样能简化解题过程．
3．当所求的前n项和的表达式需分情况讨论时，其结果应用分段函数表示．
典例6 已知数列的前项和为.
（1）请问数列是否为等差数列？如果是，请证明；
（2）设，求数列的前项和.
.
故数列的前项和为.
典例7 设数列满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
综上，.
4．已知数列的通项公式为.
（1）求证：数列是等差数列；
（2）令，求数列的前项和.
考向五 等差数列的性质的应用
等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题.
解题时要注意性质运用的限制条件，明确各性质的结构特征是正确解题的前提．如，则，只有当序号之和相等、项数相同时才成立．
典例8 已知等差数列的公差，，则__________．
【答案】180
典例9 一个等差数列的前10项的和为30，前30项的和为10，求前40项的和．
【解析】方法1：设其首项为，公差为d，则，解得，，故．
方法2：易知数列成等差数列，设其公差为，则前3项的和为，即，
又，所以，所以，
所以．
方法3：设，则，解得，
故，所以．
方法4：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，
即，，三点共线，于是，将，代入解得．
方法5：因为，
又，所以，所以．
方法6：利用性质：，可得．
方法7：利用性质：当，时，．
由于，，可得．
5．已知等差数列的前项和为,且,则
A． B．
C． D．
考向六 等差数列的前n项和的最值问题
1．二次函数法：，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．
注意：自变量n为正整数这一隐含条件.
2．通项公式法：求使()成立时最大的n值即可．
一般地，等差数列中，若，且，则
①若为偶数，则当时，最大；
②若为奇数，则当或时，最大．
3．不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值．
典例10 已知数列是一个等差数列，且，.
（1）求的通项；
（2）求的前n项和的最大值．
【解析】（1）由题意知，
所以.
（2）因为，所以，
根据二次函数的图象及性质可知，当时，前项和取得最大值，最大值为4.
典例11 已知数列,,前n项和Sn=(an+2)2.
（1）求证：{an}是等差数列；
（2）设bn=an−30，求数列{bn}的前n项和的最小值.
【解析】（1）由已知得8Sn=(an+2)2,则8Sn−1=(an−1+2)2(n≥2),
两式相减,得8an=(an+2)2−(an−1+2)2,即(an+an−1)(an−an−1−4)=0.
因为,所以an+an−1>0,所以an−an−1=4(n≥2),
故数列{an}是以4为公差的等差数列.
（2）令n=1,得S1=a1=(a1+2)2,解得a1=2.
由（1）知an=2+(n−1)×4=4n−2,所以bn=an−30=2n−31.
由bn=2n−310”是“S4 + S6>2S5”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2016浙江理科）如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且，，表示点P与 Q不重合．若为的面积，则
A．是等差数列 B．是等差数列
C．是等差数列 D．是等差数列
6．（2016江苏）已知是等差数列，是其前项和，若，，则的值是____________．
7．（2017新课标全国II理科）等差数列的前项和为，，，则____________．
8．（2018北京理科）设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为__________．
9．（2018新课标全国II理科）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
10．（2017江苏）对于给定的正整数，若数列满足：对任意正整数总成立，则称数列是“数列”．
（1）证明：等差数列是“数列”；
（2）若数列既是“数列”，又是“数列”，证明：是等差数列．
变式拓展
1．【答案】（1）见解析；（2）.
故数列的前项和为.
2．【答案】D
【解析】设等差数列的公差为d，，，
∴，则.
故选D．
【名师点睛】利用等差数列的通项公式与求和公式及其性质即可得出.等差数列运算问题的通性通法：
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了方程思想．
3．【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）设数列的公差为，则，
∴，
∴.
（2）由（1）知，
∴.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查运算求解能力，属于基础题.（1）利用等差数列通项公式列出关于基本量的方程，从而得到数列的通项公式；（2）利用等差数列前n项和公式求得结果.
4．【答案】（1）见解析；（2）50.
【名师点睛】（1）根据数列的通项公式，通过作差并结合等差数列的定义证明．（2）根据数列的通项公式，去掉绝对值后求和即可．
5．【答案】C
【解析】由得，∴,又，∴，即.故选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的有关性质，属中档题.熟练掌握等差中项得性质：若，则，可快速准确解决此类问题.
6．【答案】B
【解析】根据，，可以确定，所以可以得到，所以取最大值时的值为7，故选B．
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的前项和最大值的问题，在求解的过程中，需要明确其前项和取最大值的条件，之后就是应用题的条件，确定其相关项的符号，从而求得结果.
考点冲关
1．【答案】B
【解析】因为，所以，又公差为2，所以，故选B．
2．【答案】B
【解析】因为，所以，所以数列是公差为1的等差数列.故选B.
3．【答案】D
【解析】因为，所以可得，
所以，故选D．
【名师点睛】本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，意在考查等差数列基本量的运算，解答过程注意避免计算错误.
【名师点睛】该题考查的是有关对数值的求解问题，涉及到的知识点有指数式的运算性质，等差数列的性质，对数值的求解，属于简单题目.利用已知条件判断出数列是等差数列，求出公差，利用等差数列的性质化简求解即可.
6．【答案】B
【解析】因为，所以所以数列为等差数列，因为，因为，因此，故选B．
【名师点睛】先根据等差数列的定义及其通项公式得出，再根据正项数列条件得an，即得a6.证明或判断为等差数列的方法：
(1)用定义证明：为常数）；
(2)用等差中项证明：；
(3)通项法：为的一次函数；
(4)前项和法：.
7．【答案】B
【名师点睛】本题主要考查等差数列前n项和公式，等差数列的应用，等差数列的通项公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.将原问题转化为等差数列的问题，然后结合等差数列相关公式整理计算即可求得最终结果.
8．【答案】C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵满足S2016==＞0，S2017==2017a1009＜0，∴a1008+a1009＞0，a1008＞0，a1009＜0，d＜0，
∵对任意正整数n，都有|an|≥|ak|，∴k=1009．
故选C．
【名师点睛】本题的解题关键在于公式的选择和解题思路.本题在转化和时，选择的都是不含有公差d的公式，如果选择含有d的公式，解题就比较困难，所以公式的选择很关键.在得到a1008+a1009＞0，a1009＜0后，要能分析出a1008＞0，d＜0.这也是解题的一个关键.
9．【答案】A
【解析】由题意得：，所以，又因为函数单调且为奇函数，所以，即，即，再结合等差数列的性质可得：，故答案为A．
【名师点睛】本题主要考查奇函数的性质、等差数列的性质，本题能得出是解题的关键，属于中档题.
10．【答案】D
【名师点睛】本题主要考查等差数列的求和公式、等差数列的性质，以及数列前项和的最大值问题，属于难题.求数列前项和的最大值的方法通常有两种：①将前项和表示成关于的函数，利用函数的性质求解；②可根据且确定最大时的值.
11．【答案】
【解析】∵等差数列中，∴，∴．
设等差数列的公差为，则．
【名师点睛】根据等差数列中下标和的性质与前n项和公式求解，即若，则，这个性质经常和前n项和公式结合在一起应用，利用整体代换的方法可使得运算简单．
12．【答案】
【解析】由，可知，则(当且仅当n=4时取等号)．故填．
13．【答案】（1）见解析；（2）．
【名师点睛】（1）数列中已知求时，要注意公式只对成立，利用与相等求得，然后比较可得通项公式；
（2）当数列的通项可以看作是由等差数列相乘取倒数所得，即若是等差数列，，则数列的前项和用裂项相消法求得，其中．
14．【答案】（1）an=2n−1；（2）.
【解析】（1）设等差数列的首项为,公差为,
由成等差数列，可知,即
由得：，解得:，
因此，.
（2）令，则，
∴①，
②，
①－②,得
.
所以.
【名师点睛】本题考查等差数列的公差及首项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质、错位相减法的合理运用．
15．【答案】（1）；（2）.
所以数列的前项和为，当时，有最小值.
又，
所以，
故当时，的最小值是.
【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等差数列的通项公式和数列的求和问题，熟记数列的通项公式和数列的求和方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与计算能力，属于基础题.（1）利用数列的递推关系式推出数列是首项为，公差为2的等差数列，即可求解数列的通项公式；（2）由（1）化简通项公式后再求和.
直通高考
1．【答案】B
【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差的值，之后利用等差数列的通项公式得到与的关系，从而求得结果.
2．【答案】C
【解析】设公差为，，
，联立解得，故选C．
【秒杀解】因为，即，
则，即，解得，故选C．
【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如为等差数列，若，则.
3．【答案】C
【解析】由已知所以故选C．
【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法.
4．【答案】C
【解析】由，可知当时，有，即，反之，若，则，所以“d>0”是“S4 + S6>2S5”的充要条件，选C．
【名师点睛】本题考查等差数列的前项和公式，通过套入公式与简单运算，可知， 结合充分必要性的判断，若，则是的充分条件，若，则是的必要条件，该题“”“”，故互为充要条件．
5．【答案】A
6．【答案】20
【解析】由得，因此
7．【答案】
【解析】设等差数列的首项为，公差为，由题意有 ，解得 ，
数列的前n项和，
裂项可得，
所以．
8．【答案】
【解析】设等差数列的公差为，
【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.
9．【答案】（1）an=2n–9；（2）Sn=n2–8n，最小值为–16．
【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n项和公式得关于n的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.
10．【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】（1）因为是等差数列，设其公差为，则，
从而，当时，
，
所以，
因此等差数列是“数列”．
【思路分析】（1）利用等差数列性质得，即得，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得，，再将条件集中消元：，，即得，最后验证起始项也满足即可．
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