第七讲 一元二次方程
宜宾中考考情与预测
宜宾考题感知与试做
1.（2014·宜宾中考）若关于x的一元二次方程的两根为x1＝1，x2＝2，则这个方程是（ B ）
A.x2＋3x－2＝0 B.x2－3x＋2＝0
C.x2－2x＋3＝0 D.x2＋3x＋2＝0
2.（2018·宜宾中考）一元二次方程x2－2x＝0的两根分别为x1和x2，则x1x2为（ D ）
A.－2 B.1 C.2 D.0
3.（2013·宜宾中考改编）对于实数a、b，定义一种运算“”为：ab＝a2＋ab－2，则方程x1＝0的根为 x1＝－2，x2＝1 .
4.（2015·宜宾中考）关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＞ Ｗ.
5.（2018·宜宾中考）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业.据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元.预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ C ）
A.2% B.4.4% C.20% D.44%
宜宾中考考点梳理
一元二次方程的概念
1.只含有 一 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程叫做一元二次方程，其一般形式是 ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a≠0） Ｗ.
一元二次方程的解法
直接开
平方法
这种方法适合于左边是一个完全平方式，而右边是一个非负数的一元二次方程，即形如（x±m）2＝n（n≥0）的方程
配方法
配方法一般适用于解二次项系数为1，一次项系数为偶数的这类一元二次方程，配方的关键是把方程左边化为含有未知数的 完全平方 式，右边是一个非负常数
公式法
求根公式为 x＝（b2－4ac≥0） ，适用于所有的一元二次方程
5
因式分
解法
因式分解法的步骤：
（1）将方程右边化为 0 ；
（2）将方程左边分解为一次因式的乘积；
（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解
【温馨提示】关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a、b、c为已知数，a≠0）的解法：
（1）当b＝0，c≠0时，x2＝－，考虑用直接开平方法求解；
（2）当c＝0，b≠0时，考虑用因式分解法求解；
（3）当a＝1，b为偶数时，用配方法求解更简便.
一元二次方程根的判别式
2.根的判别式：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可由 b2－4ac 来判定，我们将它称为根的判别式，通常用“Δ”表示.
3.判别式与根的关系
（1）b2－4ac>0⇔方程有 两个不相等 的实数根；
（2）b2－4ac＝0⇔方程有 两个相等 的实数根；
（3）b2－4ac0.
一元二次方程根与系数的关系
4.根与系数的关系：设一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根为x1、x2，那么x1＋x2＝ －p ，x1x2＝ q Ｗ.
一元二次方程的应用
5.列一元二次方程解应用题的步骤
（1）审题；（2）设未知数；（3）列方程；（4）解方程；（5）检验；（6）作答.
6.一元二次方程应用问题常见的等量关系
（1）增长率中的等量关系：增长率＝增量÷原有量.
（2）利率中的等量关系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×时间.
（3）利润中的等量关系：毛利润＝售价－进价，纯利润＝售价－进价－其他费用，利润率＝×100%，总利润＝单件利润×件数.
（4）面积类应用题：一类是求小路宽度和围矩形面积的应用题，是常考题；另一类是边框类应用题.
（5）传染病类应用题：有两种类型，一种是传染类，另一种是细胞分裂类；两种类型应用题列方程是不同的，分裂类分裂后原细胞不存在.
【温馨提示】在一元二次方程应用题中值的取舍要结合实际情况，否则会多值或少值.
1.（2017·宜宾中考）一元二次方程4x2－2x＋＝0的根的情况是（ B ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
5
D.无法判断
2.方程3x（x－1）＝2（x－1）的根是 x1＝1，x2＝ Ｗ.
3.（2018·内江中考）关于x的一元二次方程x2＋4x－k＝0有实数根，则k的取值范围是 k≥－4 Ｗ.
4.已知α、β是方程x2－3x－4＝0的两个实数根，则α2＋αβ－3α的值为 0 Ｗ.
5.（2017·宜宾中考）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 50（1－x）2＝32 Ｗ.
中考典题精讲精练
一元二次方程及其解法
【典例1】用配方法解方程x2－2x－1＝0时，配方后得到的方程为（ D ）
A.（x＋1）2＝0 B.（x－1）2＝0
C.（x＋1）2＝2 D.（x－1）2＝2
【解析】在本题中，把方程x2－2x－1＝0的常数项－1移项移到等号的右边，得到x2－2x＝1.方程两边同时加上一次项系数－2的一半的平方，得到x2－2x＋1＝1＋1，由此配方可得结果.
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
【典例2】（2018·怀化中考）关于x的一元二次方程x2＋2x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是 1 Ｗ.
【解析】根据一元二次方程根的判别式及该方程有实数根，得b2－4ac＝22－4×1×m＝4－m＝0，解之可得m的值.
【典例3】 若x1、x2是一元二次方程x2－5x－1＝0的两实根，则x＋x的值为 27 Ｗ.
【解析】首先根据一元二次方程的根与系数的关系求出x1＋x2＝5，x1x2＝－1，然后把x＋x转化为（x1＋x2）2－2x1x2，最后整体代入求值.
一元二次方程的应用
【典例4】 一幅长20 cm、宽12 cm的图案（如图，单位：cm），其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3∶2.设竖彩条的宽度为x cm，图案中三条彩条所占面积为y cm2.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度.
【解析】（1）根据横、竖彩条的宽度比分别用含x的式子表示出横、竖彩条的宽度，再根据图案中三条彩条所占面积为一条横彩条面积加上两条竖彩条面积再减去两部分重合的面积，从而得到y与x之间的函数关系式；
（2）根据图案中三条彩条所占面积是图案面积的建立方程求解，从而求出横、竖彩条的宽度.
5
【解答】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为x cm，∴y＝20×x＋2×12x－2×x·x，
即y＝－3x2＋54x（0
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