第七讲 一元二次方程
(时间：45分钟)
一、选择题
1.方程(x－1)(x＋2)＝0的两根分别为( D )
A.x1＝－1,x2＝2 B.x1＝1,x2＝2
C.x1＝－1,x2＝－2 D.x1＝1,x2＝－2
2.我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1,x2＝－3,现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0,它的解是( D )
A.x1＝1,x2＝－3 B.x1＝1,x2＝－3
C.x1＝－1,x2＝3 D.x1＝－1,x2＝－3
3.(2018·泰安中考)一元二次方程(x＋1)(x－3)＝2x－5根的情况是( D )
A.无实数根
B.有一个正根,一个负根
C.有两个正根,且都小于3
D.有两个正根,且有一根大于3
4.(2018·安顺中考)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2－7x＋10＝0的两根,则该等腰三角形的周长是( A )
A.12 B.9 C.13 D.12或9
5.若1－是方程x2－2x＋c＝0的一个根,则c的值为( A )
A.－2 B.4－2 C.3－ D.1＋
6.若关于x的方程x2＋2x－3＝0与＝有一个解相同,则a的值为( C )
A.1 B.1或－3 C.－1 D.－1或3
7.(2018·眉山中考)我市某楼盘准备以每平方6 000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4 860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是( C )
A.8% B.9% C.10% D.11%
8.关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两个根是－2和1,则nm的值为( C )
A.－8 B.8 C.16 D.－16
9.已知a、b、c为常数,点P(a,c)在第二象限,则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0根的情况是( B )
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
二、填空题
10.若一元二次方ax2－bx－2 019＝0有一根为x＝－1,则a＋b＝__2__019__.
11.(2018·邵阳中考)已知关于x的方程x2＋3x－m＝0的一个解为－3,则它的另一个解是__0__.
12.关于x的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0的一个根是0,则k的值是__0__.
13.(2018·常德中考)若关于x的一元二次方程2x2＋bx＋3＝0有两个不相等的实数根,则b的值可能是
3
__6__(只写一个).
14.一件商品的原价是100元,经过两次提价后的价格为121元,如果每次提价的百分率都是x,根据题意列出方程为__100(1＋x)2＝121__.
三、解答题
15.关于x的方程x2－(2k－1)x＋k2－2k＋3＝0有两个不相等的实数根.
(1)求实数k的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为x1、x2 ,存不存在这样的实数k,使－＝？若存在,求出这样的k值；若不存在,说明理由.
解：(1)由方程有两个不相等的实数根,得
Δ＝[－(2k－1)]2－4(k2－2k＋3)＝4k－11＞0,
解得k＞；
(2)存在.
由题意,得x1＋x2＝2k－1,
x1x2＝k2－2k＋3＝(k－1)2＋2＞0.
将－＝两边平方,得
x－2x1x2＋x＝5,即(x1＋x2)2－4x1x2＝5,
∴(2k－1)2－4(k2－2k＋3)＝5,即4k－11＝5,
解得k＝4.
16.东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件,每件利润10元.调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加2元.
(1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元,此批次蛋糕属第几档次产品？
(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少4件.若生产的某档次产品一天的总利润为1 080元,该烘焙店生产的是第几档次的产品？
解：(1)(14－10)÷2＋1＝3(档次).
答：此批次蛋糕属于第三档次产品；
(2)设该烘焙店生产的是第x档次的产品,则每件利润为[10＋2(x－1)]元,每天的产量为[76－4(x－1)]件,根据题意,得
[10＋2(x－1)][76－4(x－1)]＝1 080.
整理,得x2－16x＋55＝0,
解得x1＝5,x2＝11(不符合题意,舍去).
答：该烘焙店生产的是第五档次的产品.
17.(2018·舟山中考)欧几里得的《原本》记载,形如x2＋ax＝b2的方程的图解法是：画Rt△ABC,使∠ACB＝90°,BC＝,AC＝b,再在斜边AB上截取BD＝.则该方程的一个正根是( B )
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A.AC的长 B.AD的长
C.BC的长 D.CD的长
18.若t为实数,关于x的方程x2＋4x＋t－2＝0的两个非负实数根为a、b,则代数式(a2－1)(b2－1)的最小值是( A )
A.－15 B.－16 C.15 D.16
19.(2018·达州中考)已知：m2－2m－1＝0,n2＋2n－1＝0且mn≠1,则的值为__3__.
20.(2018·乐山中考)已知关于x的一元二次方程mx2＋(1－5m)x－5＝0(m≠0).
(1)求证：无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根；
(2)若抛物线y＝mx2＋(1－5m)x－5与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,且＝6,求m的值；
(3)若m>0,点P(a,b)与Q(a＋n,b)在(2)中抛物线上(点P、Q不重合),求代数式4a2－n2＋8n的值.
(1)证明：由题意,得m≠0,且
Δ＝(1－5m)2－4m×(－5)＝(5m＋1)2≥0.
∴无论m为任何非零实数,此方程总有两个实数根；
(2)解方程mx2＋(1－5m)x－5＝0,得
x1＝－,x2＝5.
由＝6,得＝6,
∴m＝1或m＝－；
(3)由(2),得当m>0时,m＝1,
此时抛物线为y＝x2－4x－5,其对称轴为x＝2.
由题意知,P、Q关于x＝2对称,
∴＝2,即2a＝4－n,
∴4a2－n2＋8n＝(4－n)2－n2＋8n＝16.
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