2019年高考数学艺术生百日冲刺专题19考前模拟卷20190307379.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 专题19考前模拟卷 一.选择题 ‎1．设集合M={x|x2﹣x＞0}，N={x|＜1}，则（　　）‎ A．M∩N=∅ B．M∪N=∅ C．M=N D．M∪N=R ‎【答案】C ‎【解析】：M={x|x2﹣x＞0}={x|x＞1或x＜0}，N={x|＜1}={x|x＞1或x＜0}，‎ 则M=N，故选：C．‎ ‎2. 已知是虚数单位,,且,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，得，‎ ‎，即，故选A.‎ ‎3. 在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】：∵0≤x≤2，∴0≤≤π，∵sin≥，‎ ‎∴≤≤，即≤x≤，∴P==．故选：A．‎ ‎4. （2018•威海二模）已知命题p：“∀a＞b，|a|＞|b|”，命题q：“”，则下列为真命题的是（　　）‎ A．p∧q B．￢p∧￢q C．p∨q D．p∨￢q ‎【答案】C ‎【解析】：∵命题p：“∀a＞b，|a|＞|b|”是假命题，命题q：“”是真命题，∴p∨q是真命题．故选：C．‎ ‎5. 如图1为某省2018年1～4月快递业务量统计图，图2是该省2018年1～4月快递业务收入统计图，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 下列对统计图理解错误的是 A. 2018年1～4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件 B. 2018年1～4月的业务量同比增长率均超过50％，在3月最高 C. 从两图来看，2018年1～4月中的同一个月的快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致 D. 从1～4月来看，该省在2018年快递业务收入同比增长率逐月增长 ‎【答案】D 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎6.（2019•泉州期中）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn的最大值是S8”是“”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】：等差数列{an}的前n项和为Sn，则“Sn的最大值是S8”⇔a8＞0，a9＜0．‎ 则“”⇔．‎ ‎∴Sn的最大值是S8”是“”的充要条件．‎ 故选：C．‎ ‎7.已知点P（2，1）是抛物线C：x2=my上一点，A，B是抛物线C上异于P的两点，A，B在x轴上的射影分别为A1，B1，若直线PA与直线PB的斜率之差为1，D是圆（x﹣1）2+（y+4）2=1上一动点，则△A1B1D的面积的最大值为（　　） ‎ ‎（2）若b，a，c成等差数列，△ABC的面积为2，求a．‎ ‎【解析】：（1）∵asinB=bsin（A+）．‎ ‎∴由正弦定理可得：sinAsinB=sinBsin（A+）． ‎ ‎∵sinB≠0，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴sinA=sin（A+）．‎ ‎∵A∈（0，π），可得：A+A+=π，‎ ‎∴A=．…………6分 ‎（2）∵b，a，c成等差数列，‎ ‎∴b+c=，‎ ‎∵△ABC的面积为2，可得：S△ABC=bcsinA=2，‎ ‎∴=2，解得bc=8，‎ ‎∴由余弦定理可得：a2=b2+c2﹣2bccosA=（b+c）2﹣2bc﹣2bccos=（b+c）2﹣3bc=（a）2﹣24，‎ ‎∴解得：a=2．………………12分 ‎18. 如图所示，在四棱锥S—ABCD中，SA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，其中AB∥CD，∠ADC＝90°，AD＝AS＝2，AB＝1，CD＝3，点E在棱CS上，且CE＝λCS．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）若，证明：BE⊥CD；‎ ‎（2）若，求点E到平面SBD的距离．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，在线段CD上取一点F使，连接EF，BF，则EF∥SD且DF＝1．‎ 因为AB＝1，AB∥CD，∠ADC＝90°，‎ 所以四边形ABFD为矩形，所以CD⊥BF．‎ 又SA⊥平面ABCD，∠ADC＝90°，‎ 所以SA⊥CD，AD⊥CD．‎ 因为AD∩SA＝A，所以CD⊥平面SAD，‎ 所以CD⊥SD，从而CD⊥EF．‎ 因为BF∩EF＝F，所以CD⊥平面BEF．‎ 又BE平面BEF，所以CD⊥BE．…………5分 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（2）解：‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由题设得，，‎ 又因为，，，‎ 所以，‎ 设点C到平面SBD的距离为h，则由VS—BCD＝VC—SBD得，‎ 因为，所以点E到平面SBD的距离为．…………12分 ‎19. .2018年8月8日是我国第十个全民健身日，其主题是：新时代全民健身动起来．某市为了解全民健身情况，随机从某小区居民中抽取了40人，将他们的年龄分成7段：[10，20），[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70），[70，80]后得到如图所示的频率分布直方图．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎（1）试求这40人年龄的平均数、中位数的估计值；‎ ‎（2）（ⅰ）若从样本中年龄在[50，70）的居民中任取2人赠送健身卡，求这2人中至少有1人年龄不低于60岁的概率；‎ ‎（ⅱ）已知该小区年龄在[10，80]内的总人数为2000，若18岁以上（含18岁）为成年人，试估计该小区年龄不超过80岁的成年人人数．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）平均数．‎ 前三组的频率之和为0.15＋0.2＋0.3＝0.65，故中位数落在第3组，设中位数为x，‎ 则（x－30）×0.03＋0.15＋0.2＝0.5，解得x＝35，即中位数为35．…………5分 ‎（2）（ⅰ）样本中，年龄在[50，70）的人共有40×0.15＝6人，其中年龄在[50，60）的有4人，设为a，b，c，d，年龄在[60，70）的有2人，设为x，y．‎ 则从中任选2人共有如下15个基本事件：（a，b），（a，c），（a，d），（a，x），（a，y），（b，c），（b，d），（b，x），（b，y），（c，d），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 至少有1人年龄不低于60岁的共有如下9个基本事件：‎ ‎（a，x），（a，y），（b，x），（b，y），（c，x），（c，y），（d，x），（d，y），（x，y）．‎ 记“这2人中至少有1人年龄不低于60岁”为事件A，‎ 故所求概率．…………9分 ‎（ⅱ）样本中年龄在18岁以上的居民所占频率为1－（18－10）×0.015＝0.88，‎ 故可以估计，该小区年龄不超过80岁的成年人人数约为2000×0.88＝1760．……12分 ‎20. 已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（），其上顶点B（0，b）与左右焦点F1，F2构成等腰三角形，且∠F1BF2=120°．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆E的方程；‎ ‎（Ⅱ）以点B（0，b）为焦点的抛物线C：x2=2py（p＞0）上的一动点P（m，yp），抛物线C在点P处的切线l与椭圆E交于P1P2两点，线段P1P2的中点为D，直线OD（O为坐标原点）与过点P且垂直于x轴的直线交于点M，问：当0＜m≤b时，△POM面积是否存在最大值？若存在，求出最大值，若不存在说明理由．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）由已知得：a=2b，+=1，‎ 解得b2=1，a2=4．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故椭圆E的方程为：+y2=1．………………4分 ‎（Ⅱ）抛物线C的焦点B（0，1），则其方程为x2=4y．y′=x．‎ 于是抛物线上点P（m，），则在点P处的切线l的斜率为k=y′|x=m=，‎ 故切线l的方程为：y﹣=（x﹣m），即y=x﹣．…………6分 由方程组，消去y，整理后得（m2+1）x2﹣m3x+﹣4=0．‎ 由已知直线l与椭圆交于两点，则△=m6﹣4（m2+1）（﹣4）＞0．‎ 解得0≤m2＜8+4，其中m=0是不合题意的．‎ ‎∴﹣＜m＜0，或0＜m＜．‎ 设P1（x1，y1），P2（x2，y2），则xD==．…………8分 ‎ 代入l的方程得yD=．‎ 故直线OD的方程为：x，即y=﹣x．‎ 当x=m时，y=﹣，即点M．‎ ‎△POM面积S=|PM|•m=m=+m．‎ ‎∵S′=m2+＞0，‎ 故S关于m单调递增．‎ ‎∵0＜m≤1，∴当m=1时，△POM面积最大值为．…………12分 ‎21已知函数．‎ ‎（1）若函数f（x）在[1，＋∞）上是单调递减函数，求a的取值范围；‎ ‎（2）当－2＜a＜0时，证明：对任意x∈（0，＋∞），．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】 (1)解：由题意得.‎ 即在上恒成立，‎ 所以.…………3分 ‎(2)证明：由(1)可知，‎ 所以在上单调递增，在上单调递减，‎ 因为，‎ 所以，‎ 所以，即，‎ 即，‎ 所以.…………12分 ‎22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，已知直线l的参数方程为，（t为参数，0＜θ＜π），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ﹣2cosθ=0．‎ ‎（1）求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线l与曲线C相交于A，B两点，当θ变化时，求|AB|的最小值．‎ ‎【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的转化方法，求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）将直线l的参数方程代入y2=2x，得t2sin2θ﹣2tcosθ﹣1=0，利用参数的几何意义，求|AB|的最小值．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎ ‎ ‎23. 设函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|的最大值为m．‎ ‎（Ⅰ）作出函数f（x）的图象；‎ ‎（Ⅱ）若a2+2c2+3b2=m，求ab+2bc的最大值．‎ ‎【解析】：（Ⅰ）函数f（x）=|x﹣1|﹣|2x+1|=，‎ 画出图象如图，‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当x=﹣时，函数f（x）取得最大值为m=．‎ ‎∵a2+2c2+3b2=m==（a2+b2）+2（c2+b2）≥2ab+4bc，‎ ‎∴ab+2bc≤，当且仅当a=b=c=1时，取等号，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故ab+2bc的最大值为．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费