2019八年级数学下册第十八章平行四边形小专题（六）特殊平行四边形的性质与判定练习（新版）新人教版.docx

小专题(六)　特殊平行四边形的性质与判定 1． 如图，四边形ABCD，DEFG都是正方形，连接AE，CG.‎ ‎(1)求证：AE＝CG；‎ ‎(2)观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD，DEFG都是正方形，∴AD＝CD，DE＝DG，∠ADC＝∠GDE＝90 °.‎ ‎∴∠ADC＋∠ADG＝∠GDE＋∠ADG，即∠CDG＝∠ADE.‎ ‎∴△ADE≌△CDG(SAS)．‎ ‎∴AE＝CG.‎ ‎(2)猜想：AE⊥CG.‎ 证明：设AE与CG相交于点M，AD与CG相交于点N.‎ ‎∵△ADE≌△CDG，‎ ‎∴∠DAE＝∠DCG.‎ 又∵∠ANM＝∠CND，‎ ‎∴∠AMN＝∠ADC＝90 °.‎ ‎∴AE⊥CG.‎ 7‎ ‎2．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF.‎ ‎(1)求证：四边形BFDE是矩形；‎ ‎(2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求证：AF是∠DAB的平分线．‎ 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，AB＝CD.‎ ‎∵CF＝AE，‎ ‎∴BE＝DF.‎ ‎∴四边形BFDE为平行四边形．‎ ‎∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90 °.‎ ‎∴四边形BFDE是矩形．‎ ‎(2)∵四边形BFDE是矩形，‎ ‎∴∠BFD＝90 °.∴∠BFC＝90 °.‎ 在Rt△BFC中，由勾股定理得 BC＝＝＝10.‎ ‎∴AD＝BC＝10.‎ 又∵DF＝10，∴AD＝DF.‎ ‎∴∠DAF＝∠DFA.‎ ‎∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB.‎ ‎∴∠DAF＝∠FAB.‎ ‎∴AF是∠DAB的平分线．‎ 7‎ ‎3．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD相交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.‎ ‎(1)求证：四边形ABCD是菱形；‎ ‎(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．‎ 解：(1)证明：∵AB∥DC，‎ ‎∴∠BAC＝∠DCA.‎ ‎∵AC平分∠BAD，‎ ‎∴∠DAC＝∠BAC.‎ ‎∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.‎ ‎∵AB＝AD，∴AB＝CD.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．‎ 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎(2)由(1)知四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴BD⊥AC.∴∠AOB＝90 °，BO＝BD＝1.‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理，得 AO＝＝2.‎ ‎∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90 °.‎ 在Rt△ACE中，点O是斜边AC的中点，‎ ‎∴OE＝AO＝2.‎ 7‎ ‎4.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝60°，点E是AD边的中点，点M是AB边上一点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN. ‎ ‎(1)求证：四边形AMDN是平行四边形； ‎ ‎(2)请求出AM的长为何值时，四边形AMDN是矩形，并说明理由．‎ 解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴ND∥AM.‎ ‎∴∠NDE＝∠MAE，∠DNE＝∠AME.‎ 又∵点E是AD边的中点，‎ ‎∴DE＝AE.‎ ‎∴△NDE≌△MAE(AAS)．‎ ‎∴ND＝MA.‎ ‎∴四边形AMDN是平行四边形．‎ ‎(2)当AM的长为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：‎ ‎∵AM＝1＝AD＝AE，∠DAB＝60 °，‎ ‎∴△AEM是等边三角形．‎ ‎∴∠AME＝∠AEM＝60 °，EM＝AE＝ED.‎ ‎∴∠EMD＝∠EDM＝30 °.‎ ‎∴∠AMD＝∠AME＋∠EMD＝90 °.‎ ‎∴四边形AMDN是矩形．‎ 7‎ ‎5．如图1，在▱ABCD中，AF平分∠BAD交BC于点F，CE平分∠BCD交AD于点E.‎ ‎(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；‎ ‎(2)如图2，若BE⊥EC，求证：四边形ABFE是菱形．‎ ‎　　　‎ ‎　图1　　　　　　　　　　　　　　图2‎ 证明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD，‎ ‎∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD.‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC.‎ ‎∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED.‎ ‎∴∠FAE＝∠CED.∴AF∥EC.‎ 又∵AE∥CF，‎ ‎∴四边形AFCE为平行四边形．‎ ‎(2)∵AF∥EC，BE⊥EC，‎ ‎∴AF⊥BE.‎ ‎∴∠AOE＝∠AOB＝90 °.‎ 在△ABO和△AEO中，‎ 7‎ ‎∴△ABO≌△AEO(ASA)．‎ ‎∴BO＝EO.‎ ‎∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AFB.‎ ‎∵AF平分∠BAD，∴∠BAF＝∠EAF.‎ ‎∴∠AFB＝∠BAF.‎ 又∵∠AOB＝∠FOB＝90 °，BO＝BO，‎ ‎∴△ABO≌△FBO(AAS)．‎ ‎∴AO＝FO.‎ ‎∴四边形ABFE是平行四边形．‎ 又∵AF⊥BE，‎ ‎∴四边形ABFE是菱形．‎ ‎6．如图所示，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，AF与DE相交于点G，CE与BF相交于点H.‎ ‎(1)你能说明四边形EHFG是平行四边形吗？‎ ‎(2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EHFG是一个菱形？‎ ‎(3)四边形EHFG会成为一个正方形吗？‎ 解：(1)能说明四边形EHFG是平行四边形．‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ 7‎ ‎∴AB CD.‎ 而AE＝AB，CF＝CD，‎ ‎∴AE CF.‎ ‎∴四边形AECF是平行四边形．∴GF∥EH.‎ 同理可得GE∥HF.‎ ‎∴四边形EHFG是平行四边形．‎ ‎(2)当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．‎ 由(1)知，四边形EHFG是平行四边形．‎ 连接EF.当四边形ABCD是矩形时，四边形EBCF也是矩形，‎ ‎∴EH＝FH，∴四边形EHFG是菱形．‎ ‎(3)当四边形ABCD是矩形且AB＝2AD时，四边形EHFG是正方形．‎ 由(2)知，当四边形ABCD是矩形时，四边形EHFG是菱形．‎ 又由AB＝2AD可知，四边形EBCF是正方形．‎ 根据正方形的性质知，EC⊥BF，即∠EHF＝90 °，‎ ‎∴四边形EHFG是正方形．‎ 7‎