2018-2019 学年湖北省随州市随县九年级（上）期末数学模拟试
卷
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．下列计算正确的是（ ）
A． + ＝ B．3 ﹣ ＝3
C． ÷2＝ D． ＝2
2．如图，△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点 A 与点 A′是对称点 B．BO＝B′O
C．AB∥A′B′ D．∠ACB＝∠C′A′B′
3．某药品经过两次降价，每瓶零售价由 168 元降为 108 元，已知两次降价的百分率相同，
设每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得（ ）
A．168（1﹣x）2＝108 B．168（1﹣x2）＝108
C．168（1﹣2x）＝108 D．168（1+x）2＝108
4．下列说法中，不正确的是（ ）
A．在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等
B．在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为 60°
C．在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大
D．若两弧的度数相等，则这两条弧是等弧
5．掷一枚均匀的骰子，骰子的 6 个面上分别刻有 1、2、3、4、5、6 点，则点数为奇数的概
率是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，已知 AB 是
⊙
O 的直径，点 P 在 BA 的延长线上，PD 与
⊙
O 相切于点 D，过点 B
作 PD 的垂线交 PD 的延长线于点 C，若
⊙
O 的半径为 4，BC＝6，则 PA 的长为（ ）A．4 B．2 C．3 D．2.5
7．把抛物线 y＝﹣2x2+4x+1 的图象向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，所得的抛物
线的函数关系式是（ ）
A．y＝﹣2（x﹣1）2+6 B．y＝﹣2（x﹣1）2﹣6
C．y＝﹣2（x+1）2+6 D．y＝﹣2（x+1）2﹣6
8．如图，点 A 是反比例函数 y＝ 的图象上的一点，过点 A 作 AB⊥x 轴，垂足为 B．点 C
为 y 轴上的一点，连接 AC，BC．若△ABC 的面积为 3，则 k 的值是（ ）
A．3 B．﹣3 C．6 D．﹣6
9．已知：如图，点 P 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点（A、C 除外），作 PE⊥
AB 于点 E，作 PF⊥BC 于点 F，设正方形 ABCD 的边长为 x，矩形 PEBF 的周长为 y，在
下列图象中，大致表示 y 与 x 之间的函数关系的是（ ）
A． B． C． D．
10．下列命题中正确的是（ ）
A．平分弦的直径垂直于弦
B．圆心角的度数等于圆周角度数的 2 倍C．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形
D．到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若
从中随机摸出一个球，它是白球的概率为 ，则黄球的个数为 ．
12．如图，
⊙
O 中，已知弧 AB＝弧 BC，且弧 AB：弧 AmC＝3：4，则∠AOC＝ 度．
13．已知圆锥的底面半径为 3，母线长为 6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
14．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数值 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣7 ﹣1 3 5 5 …
则 的值为 ．
15．关于 x 的方程 x2+5x+m＝0 的一个根为﹣2，则另一个根是 ．
16．如图，线段 AB＝4，M 为 AB 的中点，动点 P 到点 M 的距离是 1，连接 PB，线段
PB 绕点 P 逆时针旋转 90°得到线段 PC，连接 AC，则线段 AC 长度的最大值是 ．
三．解答题（共 9 小题，满分 72 分）
17．解方程：
（1）5x（x+1）＝2（x+1）；
（2）x2﹣3x﹣1＝0．18．小莉的爸爸买了去看中国篮球职业联赛总决赛的一张门票，她和哥哥两人都很想去观看，
可门票只有一张，读九年级的哥哥想了一个办法，拿了八张扑克牌，将数字为 1，2，3，
5 的四张牌给小莉，将数字为 4，6，7，8 的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：
小莉和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果
和为偶数，则小莉去；如果和为奇数，则哥哥去．
（1）请用列表的方法求小莉去看中国篮球职业联赛总决赛的概率；
（2）哥哥设计的游戏规则公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请你设计一种公平的
游戏规则．
19．淮北市某中学七年级一位同学不幸得了重病，牵动了全校师生的心，该校开展了“献爱
心”捐款活动．第一天收到捐款 10 000 元，第三天收到捐款 12 100 元．
（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；
（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该校能收到多少捐款？20．如图，AB 为
⊙
O 的直径，点 C 在
⊙
O 上，延长 BC 至点 D，使 DC＝CB，延长 DA 与
⊙
O 的另一个交点为 E，连接 AC，CE．
（1）求证：∠B＝∠D；
（2）若 AB＝4，BC﹣AC＝2，求 CE 的长．
21．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 y＝ x 与反比例函数 y＝ （k≠0）的图
象交于点 A，且点 A 的横坐标为 1，点 B 是 x 轴正半轴上一点，且 AB⊥OA．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求点 B 的坐标；
（3）先在∠AOB 的内部求作点 P，使点 P 到∠AOB 的两边 OA、OB 的距离相等，且 PA＝
PB；再写出点 P 的坐标．（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点 P）22．我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，
斜坡 AB＝40 米，坡角∠BAD＝60°，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决
定对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过 45°时，可确保山体不滑坡，改造
时保持坡脚 A 不动，从坡顶 B 沿 BC 削进到 E 处，问 BE 至少是多少米？（结果保留根
号）．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是 50 元，为了合理定价，投放市场进行试销．据
市场调查，销售单价是 100 元时，每天的销售量是 50 件，而销售单价每降低 1 元，每天
就可多售出 5 件，但要求销售单价不得低于成本．
（1）求出每天的销售利润 y（元）与销售单价 x（元）之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于 4000 元，那么销售单价应控制在什么范围内？24．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，将对角线 AC 绕对角线交点 O 旋转，分别交
边 AD、BC 于点 E、F，点 P 是边 DC 上的一个动点，且保持 DP＝AE，连接 PE、PF，
设 AE＝x（0＜x＜3）．
（1）填空：PC＝ ，FC＝ ；（用含 x 的代数式表示）
（2）求△PEF 面积的最小值；
（3）在运动过程中，PE⊥PF 是否成立？若成立，求出 x 的值；若不成立，请说明理由．
25．如图，点 A，B，C 都在抛物线 y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣ ＜a＜0）上，AB∥x 轴，
∠ABC＝135°，且 AB＝4．
（1）填空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含 m 的代数式表示）；
（2）求△ABC 的面积（用含 a 的代数式表示）；
（3）若△ABC 的面积为 2，当 2m﹣5≤x≤2m﹣2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值．参考答案
一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）
1．【解答】解：A、 与 不能合并，所以 A 选项错误；
B、原式＝2 ，所以 B 选项错误；
C、原式＝ ，所以 C 选项错误；
D、原式＝ ＝2 ，所以 D 选项正确．
故选：D．
2．【解答】解：观察图形可知，
A、点 A 与点 A′是对称点，故本选项正确；
B、BO＝B′O，故本选项正确；
C、AB∥A′B′，故本选项正确；
D、∠ACB＝∠A′C′B′，故本选项错误．
故选：D．
3．【解答】解：设每次降价的百分率为 x，根据题意得：
168（1﹣x）2＝108．
故选：A．
4．【解答】解：A、在同圆或等圆中，若两弧相等，则他们所对的弦相等，正确；
B、在同一个圆中，若弦长等于半径，则该弦所对的劣弧的度数为 60°，正确；
C、在同一个圆中，若两弧不等，则大弧所对的圆心角较大，正确；
D、若两弧的度数相等，则这两条弧不一定是等弧，错误．
故选：D．
5．【解答】解：由题意可得，
点数为奇数的概率是： ，
故选：C．
6．【解答】解：连接 DO，
∵PD 与
⊙
O 相切于点 D，
∴∠PDO＝90°，
∵∠C＝90°，∴DO∥BC，
∴△PDO∽△PCB，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
设 PA＝x，则 ＝ ，
解得：x＝4，
故 PA＝4．
故选：A．
7．【解答】解：原抛物线的顶点坐标为（1，3），向左平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位
得到新抛物线的顶点坐标为（﹣1，6）．可设新抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣h）2+k，
代入得：y＝﹣2（x+1）2+6．故选 C．
8．【解答】解：连结 OA，如图，
∵AB⊥x 轴，
∴OC∥AB，
∴S△OAB＝S△CAB＝3，
而 S△OAB＝ |k|，
∴ |k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：D．
9．【解答】解：由题意可得：△APE 和△PCF 都是等腰直角三角形．∴AE＝PE，PF＝CF，那么矩形 PEBF 的周长等于 2 个正方形的边长．则 y＝2x，为正比例
函数．
故选：A．
10．【解答】解：A、此弦不能是直径，故此选项错误；
B、必须是同弧或等弧所对的圆心角和圆周角之间才有 2 倍的关系，故此选项错误；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故此选项错误；
D、根据两条平行线间的距离的概念，故此选项正确．
故选：D．
二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）
11．【解答】解：∵在一个不透明的盒子中装有 8 个白球，从中随机摸出一个球，它是白球
的概率为 ，
设黄球有 x 个，根据题意得出：
∴ ＝ ，
解得：x＝4．
故答案为：4．
12．【解答】解：∵弧 AB＝弧 BC，且弧 AB：弧 AmC＝3：4，
∴弧 ABC：弧 AmC＝6：4，
∴∠AOC 的度数为（360°÷10）×4＝144°．
13．【解答】解：∵圆锥底面半径是 3，
∴圆锥的底面周长为 6
π
，
设圆锥的侧面展开的扇形圆心角为 n°，
＝6
π
，
解得 n＝180．
故答案为 180°．
14．【解答】解：∵x＝1、x＝2 时的函数值都是﹣1 相等，
∴此函数图象的对称轴为直线 x＝﹣ ＝ ＝ ，
即 ＝﹣ ．故答案为：﹣ ．
15．【解答】解：
设方程的另一根为 x，
∵方程 x2+5x+m＝0 的一个根为﹣2，
∴x+（﹣2）＝﹣5，解得 x＝﹣3，
即方程的另一根是﹣3，
故答案为：﹣3．
16．【解答】解：如图所示：过点 C 作 CD⊥y 轴，垂足为 D，过点 P 作 PE⊥DC，垂足为 E，
延长 EP 交 x 轴于点 F．
∵AB＝4，O 为 AB 的中点，
∴A（﹣2，0），B（2，0）．
设点 P 的坐标为（x，y），则 x2+y2＝1．
∵∠EPC+∠BPF＝90°，∠EPC+∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB．
由旋转的性质可知：PC＝PB．
在△ECP 和△FPB 中，
，
∴△ECP≌△FPB．
∴EC＝PF＝y，FB＝EP＝2﹣x．
∴C（x+y，y+2﹣x）．
∵AB＝4，O 为 AB 的中点，
∴AC＝ ＝ ．
∵x2+y2＝1，∴AC＝ ．
∵﹣1≤y≤1，
∴当 y＝1 时，AC 有最大值，AC 的最大值为 ＝3 ．
故答案为：3 ．
三．解答题（共 9 小题，满分 72 分）
17．【解答】解：（1）5x（x+1）﹣2（x+1）＝0，
（x+1）（5x﹣2）＝0
x+1＝0 或 5x﹣2＝0，
所以 x1＝﹣1，x2＝ ；
（2）△＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13，
x＝ ，
所以 x1＝ ，x2＝ ．
18．【解答】解：（1）列表如下
和 1 2 3 5
4 5 6 7 9
6 7 8 9 11
7 8 9 10 12
8 9 10 11 13
共有 16 种等可能的结果，和为偶数的有 6 种，
故 P（小莉去） ＝ ．
（2）不公平，因为 P（哥哥去）＝ ，P（小莉去）＝ ，哥哥去的可能性大，所以不公平．
可以修改为：和大于 9，哥哥去，小于 9，小莉去，等于 9，重新开始．
19．【解答】解：（1）捐款增长率为 x，根据题意得：
10000（1+x）2＝12100，
解得：x1＝0.1，x2＝﹣2.1（舍去）．
则 x＝0.1＝10%．答：捐款的增长率为 10%．
（2）根据题意得：12100×（1+10%）＝13310（元），
答：第四天该校能收到的捐款是 13310 元．
20．【解答】（1）证明：∵AB 为
⊙
O 的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴AC⊥BC，
又∵DC＝CB，
∴AD＝AB，
∴∠B＝∠D；
（2）解：设 BC＝x，则 AC＝x﹣2，
在 Rt△ABC 中，AC2+BC2＝AB2，
∴（x﹣2）2+x2＝42，
解得：x1＝1+ ，x2＝1﹣ （舍去），
∵∠B＝∠E，∠B＝∠D，
∴∠D＝∠E，
∴CD＝CE，
∵CD＝CB，
∴CE＝CB＝1+ ．
21．【解答】解：（1）由题意，设点 A 的坐标为（1，m），
∵点 A 在正比例函数 y＝ x 的图象上，
∴m＝ ．∴点 A 的坐标（1， ），
∵点 A 在反比例函数 y＝ 的图象上，
∴ ＝ ，解得 k＝ ，∴反比例函数的解析式为 y＝ ．
（2）过点 A 作 AC⊥OB⊥，垂足为点 C，
可得 OC＝1，AC＝ ．
∵AC⊥OB，
∴∠ACO＝90°．
由勾股定理，得 AO＝2，
∴OC＝ AO，
∴∠OAC＝30°，
∴∠ACO＝60°，
∵AB⊥OA，
∴∠OAB＝90°，
∴∠ABO＝30°，
∴OB＝2OA，
∴OB＝4，
∴点 B 的坐标是（4，0）．
（3）如图作∠AOB 的平分线 OM，AB 的垂直平分线 EF，OM 与 EF 的交点就是所求的点 P，
∵∠POB＝30°，
∴可以设点 P 坐标（m， m），
∵PA2＝PB2，
∴（m﹣1）2+（ m﹣ ）2＝（m﹣4）2+（ m）2，
解得 m＝3，
∴点 P 的坐标是（3， ）．22．【解答】解：作 BG⊥AD 于 G，作 EF⊥AD 于 F，则在 Rt△ABG 中，∠BAD＝60°，AB
＝40，
所以就有 BG＝AB•Sin60°＝20 ，AG＝AB•Cos60°＝20，
同理在 Rt△AEF 中，∠EAD＝45°，
则有 AF＝EF＝BG＝20 ，
所以 BE＝FG＝AF﹣AG＝20（ ﹣1）米．
故 BE 至少是 20（ ﹣1）米．
23．【解答】解：（1）y＝（x﹣50）[50+5（100﹣x）]
＝（x﹣50）（﹣5x+550）
＝﹣5x2+800x﹣27500，
∴y＝﹣5x2+800x﹣27500（50≤x≤100）；
（2）y＝﹣5x2+800x﹣27500＝﹣5（x﹣80）2+4500，
∵a＝﹣5＜0，
∴抛物线开口向下．
∵50≤x≤100，对称轴是直线 x＝80，
∴当 x＝80 时，y 最大值＝4500；
（3）当 y＝4000 时，﹣5（x﹣80）2+4500＝4000，
解得 x1＝70，x2＝90．
∴当 70≤x≤90 时，每天的销售利润不低于 4000 元．
24．【解答】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形
∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO
∴∠DAC＝∠ACB，且 AO＝CO，∠AOE＝∠COF
∴△AEO≌△CFO（ASA）
∴AE＝CF
∵AE＝x，且 DP＝AE
∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，
∴CP＝3﹣x，PC＝CD﹣DP＝3﹣x
故答案为：3﹣x，x
（2）∵S△EFP＝S 梯形 EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，∴S△EFP＝ ﹣ ﹣ ×x×（3﹣x）＝x2﹣ x+6＝（x﹣ ）2+
∴当 x＝ 时，△PEF 面积的最小值为
（3）不成立
理由如下：若 PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°
又∵∠EPD+∠DEP＝90°
∴∠DEP＝∠FPC，且 CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°
∴△DPE≌△CFP（AAS）
∴DE＝CP
∴3﹣x＝4﹣x
则方程无解，
∴不存在 x 的值使 PE⊥PF，
即 PE⊥PF 不成立．
25．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，
∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．
故答案为：（m，2m﹣5）．
（2）过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示．
∵AB∥x 轴，且 AB＝4，
∴点 B 的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．
∵∠ABC＝135°，
∴设 BD＝t，则 CD＝t，
∴点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．
∵点 C 在抛物线 y＝a（x﹣m）2+2m﹣5 上，
∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5，
整理，得：at2+（4a+1）t＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣ ，
∴S△ABC＝ AB•CD＝﹣ ．（3）∵△ABC 的面积为 2，
∴﹣ ＝2，
解得：a＝﹣ ，
∴抛物线的解析式为 y＝﹣ （x﹣m）2+2m﹣5．
分三种情况考虑：
①
当 m＞2m﹣2，即 m＜2 时，有﹣ （2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣14m+39＝0，
解得：m1＝7﹣ （舍去），m2＝7+ （舍去）；
②
当 2m﹣5≤m≤2m﹣2，即 2≤m≤5 时，有 2m﹣5＝2，
解得：m＝ ；
③
当 m＜2m﹣5，即 m＞5 时，有﹣ （2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2，
整理，得：m2﹣20m+60＝0，
解得：m3＝10﹣2 （舍去），m4＝10+2 ．
综上所述：m 的值为 或 10+2 ．
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