13.3.2等边三角形.docx

‎13.3.2　等边三角形 基础闯关全练 拓展训练 ‎1.(2018湖北天门期中)如图,△ABC是等边三角形,D为AB的中点,DE⊥AC,垂足为点E.若AE=1,则△ABC的边长为　(　　)‎ A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.8‎ ‎2.已知∠AOB=30°且∠AOB内有一点P,点P关于OA、OB的对称点分别为E、F,则△EOF一定是　　　　三角形. ‎ ‎3.如图所示,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,AD⊥BC,垂足为G,且AD=AB,∠EDF=60°,其两边分别交AB,AC于点E,F.‎ ‎(1)求证:△ABD是等边三角形;‎ ‎(2)求证:BE=AF.‎ 能力提升全练 拓展训练 ‎1.(2018江苏南通崇川月考)如图,在△ABC中,AB=AC,D、E是△ABC内的两点,AD平分∠BAC,∠EBC=∠E=60°.若BE=6 cm,DE=2 cm,则BC的长为(　　)‎ A.4 cm　　　　　B.6 cm C.8 cm　　　　　D.12 cm ‎2.(2018广西玉林北流扶新月考)如图所示是两块完全一样的含30°角的三角板,分别记作△ABC和△A1B1C1,现将两块三角板重叠在一起,设较长直角边的中点为M,绕中点M转动三角板ABC,使其直角顶点C恰好落在三角板A1B1C1的斜边A1B1上,当∠A=30°,AC=10时,两直角顶点C,C1间的距离是　　　　　. ‎ ‎3.如图1,若△ABC和△ADE为等边三角形,M,N分别为EB,CD的中点,易证:CD=BE,△AMN是等边三角形.‎ ‎(1)当把△ADE绕点A旋转到图2的位置时,CD=BE吗?若相等,请证明;若不相等,请说明理由;‎ ‎(2)当把△ADE绕点A旋转到图3的位置时,△AMN还是等边三角形吗?若是,请证明;若不是,请说明理由(可用第一问结论).‎ 三年模拟全练 拓展训练 ‎1.(2018湖北宜昌建湖期中,15,★★★)如图,△ABC是等边三角形,AQ=PQ,PR⊥AB于点R,PS⊥AC于点S,PR=PS,则下列结论:①点P在∠BAC的平分线上;②AS=AR;③QP∥AR;‎ ‎④△BRP≌△QSP.其中正确的有(　　)‎ A.1个　　　　B.2个　　　　C.3个　　　　D.4个 ‎2.(2018广西贵港期末,10,★★☆)如图,在等边△ABC中,AB=8,E是BA延长线上一点,且EA=4,D是BC上一点,且ED=EC,则BD的长为(　　)‎ A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6‎ ‎3.(2018四川宜宾模拟,18,★★☆)如图所示,将数轴从某一点开始折出一个等边三角形ABC,设点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为-4,若将△ABC向右滚动,则x的值等于　　　　,数字2 012对应的点将与△ABC的顶点　　　　重合. ‎ 五年中考全练 拓展训练 ‎1.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD平分∠CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是(　　)‎ A.∠CAD=30°　　　　　B.AD=BD C.BD=2CD　　　　 　D.CD=ED ‎2.如图,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分线交AB于点E,垂足为D,CE平分∠ACB.若BE=2,则AE的长为(　　)‎ A.‎3‎　　　　B.1　　　　C.‎2‎　　　　D.2‎ ‎3如图,在等边三角形ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,且DE∥AB,过点E作EF⊥DE,交BC的延长线于点F.(8分)‎ ‎(1)求∠F的度数;‎ ‎(2)若CD=2,求DF的长.‎ 核心素养全练 拓展训练 ‎1.已知:如图,△ABC、△CDE都是等边三角形,AD、BE相交于点O,点M、N分别是线段AD、BE的中点.‎ ‎(1)求证:AD=BE;‎ ‎(2)求∠DOE的度数;‎ ‎(3)求证:△MNC是等边三角形.‎ ‎2.如图,△ABC中,∠BAC=60°,点D、E分别在AB、AC上,∠BCD=∠CBE=30°,BE、CD相交于点O,OG⊥BC于点G,求证:OE+OD=2OG.‎ ‎13.3.2　等边三角形 基础闯关全练 拓展训练 ‎1.B　∵△ABC是等边三角形,DE⊥AC,∴∠A=60°,∠AED=90°,∴∠ADE=30°,∴AD=2AE=2,又∵D为AB的中点,∴AB=2AD=4,∴等边三角形ABC的边长为4,故选B.‎ ‎2.答案　等边 解析　如图.∵点P关于OA的对称点为E,∴OA垂直平分PE,∴OP=OE.同理,OF=OP,∴OE=OF.∴△EOF是等腰三角形.∵∠AOB=30°,∴∠EOF=60°,∴等腰△EOF是等边三角形.‎ ‎3.证明　(1)∵AB=AC,AD⊥BC,‎ ‎∴∠BAD=∠DAC=‎1‎‎2‎∠BAC,∵∠BAC=120°,‎ ‎∴∠BAD=∠DAC=‎1‎‎2‎×120°=60°,‎ ‎∵AD=AB,∴△ABD是等边三角形.‎ ‎(2)∵△ABD是等边三角形,‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD.‎ ‎∵∠EDF=60°,‎ ‎∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE,‎ 即∠BDE=∠ADF.‎ 在△BDE和△ADF中,‎ ‎∠DBE=∠DAF=60°,‎BD=AD,‎‎∠BDE=∠ADF,‎ ‎∴△BDE≌△ADF(ASA),‎ ‎∴BE=AF.‎ 能力提升全练 拓展训练 ‎1.C　延长ED交BC于M,延长AD交BC于N,‎ ‎∵AB=AC,AD平分∠BAC,‎ ‎∴AN⊥BC,BN=CN,∵∠EBC=∠E=60°,‎ ‎∴△BEM为等边三角形,‎ ‎∵BE=6 cm,DE=2 cm,‎ ‎∴DM=4 cm,∵△BEM为等边三角形,‎ ‎∴∠EMB=60°,∵AN⊥BC,∴∠DNM=90°,‎ ‎∴∠NDM=30°,∴NM=2 cm,∴BN=4 cm,‎ ‎∴BC=2BN=8 cm.故选C.‎ ‎2.答案　5‎ 解析　如图,连接CC1,‎ ‎∵两块三角板重叠在一起,较长直角边的中点为M,‎ ‎∴M是AC、A1C1的中点,AC=A1C1,‎ ‎∴CM=A1M=C1M=‎1‎‎2‎AC=5,‎ ‎∴∠A1=∠A1CM=30°,‎ ‎∴∠CMC1=60°,∴△CMC1为等边三角形,‎ ‎∴CC1=CM=5,∴CC1的长为5.‎ ‎3.解析　(1)CD=BE.理由如下:‎ ‎∵△ABC和△ADE为等边三角形,‎ ‎∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠EAD=60°,‎ ‎∵∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC,‎ ‎∠DAC=∠DAE-∠EAC=60°-∠EAC,‎ ‎∴∠BAE=∠DAC.‎ 在△ABE和△ACD中,‎ AB=AC,‎‎∠BAE=∠DAC,‎AE=AD,‎‎∴△ABE≌△ACD(SAS),∴BE=CD.‎ ‎(2)△AMN是等边三角形.理由如下:∵△ABE≌△ACD,∴∠ABE=∠ACD.‎ 由(1)得BE=CD.‎ ‎∵M、N分别是BE、CD的中点,‎ ‎∴BM=CN.‎ 在△ABM和△ACN中,‎ BM=CN,‎‎∠ABE=∠ACD,‎AB=AC,‎‎∴△ABM≌△ACN(SAS).‎ ‎∴AM=AN,∠MAB=∠NAC.‎ ‎∴∠NAM=∠NAC+∠CAM=∠MAB+∠CAM=∠BAC=60°,‎ ‎∴△AMN是等边三角形.‎ 三年模拟全练 拓展训练 ‎1.D　∵PR⊥AB,PS⊥AC,且PR=PS,‎ ‎∴点P在∠BAC的平分线上,故①正确;‎ 由已知及①可知,PB=PC,∵PR⊥AB,PS⊥AC,PS=PR,‎ ‎∴Rt△BPR≌Rt△CPS,∴BR=CS,‎ ‎∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC,‎ ‎∴AS=AR,故②正确;‎ ‎∵AQ=PQ,∴∠PQC=2∠PAC=60°=∠BAC,‎ ‎∴PQ∥AR,故③正确;‎ 易知△PQC是等边三角形,∵PS⊥QC,∴△PQS≌△PCS,‎ 结合②可知△BRP≌△QSP,故④也正确.‎ 故选D.‎ ‎2.B　过点E作EF⊥BC于F,如图所示,‎ 则∠BFE=90°,∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°,‎ ‎∴∠FEB=90°-60°=30°.∵BE=AB+AE=8+4=12,‎ ‎∴BF=‎1‎‎2‎BE=6,∴CF=BC-BF=2,‎ ‎∵ED=EC,EF⊥BC,∴DF=CF=2,∴BD=BF-DF=4.故选B.‎ ‎3.答案　-3;C 解析　若点A表示的数为x-3,点B表示的数为2x+1,点C表示的数为-4,‎ 则-4-(2x+1)=2x+1-(x-3),∴-3x=9,x=-3.‎ 故点A表示的数为x-3=-3-3=-6,‎ 点B表示的数为2x+1=2×(-3)+1=-5,‎ ‎∴等边三角形ABC的边长为1.‎ 数字2 012对应的点到-4对应的点的距离为2 012+4=2 016,‎ ‎∵2 016÷3=672,‎ ‎∴数字2 012对应的点将与△ABC的顶点C重合.‎ 五年中考全练 拓展训练 ‎1.D　∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠CAB=60°.‎ ‎∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD=30°,‎ ‎∴∠CAD=∠BAD=∠B=30°,∴AD=BD,AD=2CD,‎ ‎∴BD=2CD.‎ 根据已知不能推出CD=ED,因此选项D错误,‎ 故选D.‎ ‎2.B　∵BC的垂直平分线交AB于E,BE=2,∴BE=CE=2,∴∠B=∠DCE=30°,∵CE平分∠ACB,∴∠ACB=2∠DCE=60°,∠ACE=∠DCE=30°,∴∠A=180°-∠B-∠ACB=90°.在Rt△CAE中,∵∠A=90°,∠ACE=30°,CE=2,∴AE=‎1‎‎2‎CE=1.‎ ‎3.解析　(1)∵△ABC是等边三角形,∴∠B=60°.‎ ‎∵DE∥AB,∴∠EDC=∠B=60°.‎ ‎∵EF⊥DE,∴∠DEF=90°.‎ ‎∴∠F=90°-∠EDC=30°.‎ ‎(2)∵∠ACB=60°,∠EDC=60°,‎ ‎∴△EDC是等边三角形.∴ED=DC=2.‎ ‎∵∠DEF=90°,∠F=30°,‎ ‎∴DF=2DE=4.‎ 核心素养全练 拓展训练 ‎1.解析　(1)证明:∵△ABC、△CDE都是等边三角形,‎ ‎∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,‎ ‎∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,‎ ‎∴∠ACD=∠BCE.在△ACD和△BCE中,‎ AC=BC,‎‎∠ACD=∠BCE,‎CD=CE,‎ ‎∴△ACD≌△BCE,‎ ‎∴AD=BE.‎ ‎(2)∵△ACD≌△BCE,∴∠ADC=∠BEC.‎ ‎∵三角形DCE是等边三角形,‎ ‎∴∠CED=∠CDE=60°,‎ ‎∴∠ADE+∠BED=∠ADC+∠CDE+∠BED ‎=∠ADC+60°+∠BED=∠CED+60°=60°+60°=120°,‎ ‎∴∠DOE=180°-(∠ADE+∠BED)=60°.‎ ‎(3)证明:∵△ACD≌△BCE,‎ ‎∴∠CAD=∠CBE,AD=BE,‎ 又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点,‎ ‎∴AM=‎1‎‎2‎AD,BN=‎1‎‎2‎BE,∴AM=BN.‎ 在△ACM和△BCN中,‎ AC=BC,‎‎∠CAM=∠CBN,‎AM=BN,‎ ‎∴△ACM≌△BCN,∴CM=CN,∠ACM=∠BCN,‎ 又∠ACB=60°,‎ ‎∴∠ACM+∠MCB=60°,‎ ‎∴∠BCN+∠MCB=60°,∴∠MCN=60°,‎ ‎∴△MNC是等边三角形.‎ ‎2.证明　如图,延长OE至点M,使OM=OC,连接CM,‎ ‎∵∠BCD=∠CBE=30°,‎ ‎∴OB=OC,∠MOC=30°+30°=60°,‎ ‎∵OM=OC,∴△OMC为等边三角形,‎ ‎∴CM=OC=OB,∠M=∠MOC=60°,‎ 又∠BEC=∠A+∠DBO=60°+∠DBO,‎ ‎∠BEC=∠M+∠MCE=60°+∠MCE,‎ ‎∴∠DBO=∠MCE.∵∠DOB=∠MOC,∴∠M=∠DOB.‎ 在△BOD和△CME中,‎ ‎∠DBO=∠MCE,‎BO=CM,‎‎∠DOB=∠M,‎ ‎∴△BOD≌△CME,∴DO=EM,‎ ‎∴OE+OD=OM=OB.‎ 在Rt△OBG中,∠OBG=30°,OG⊥BC,‎ ‎∴2OG=OB,∴OE+OD=2OG.‎