期末复习：浙教版九年级数学学上册 第四章 相似三角形
一、单选题（共10题；共30分）
1.若△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，则这两个三角形的面积比为（ ）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16
2.如图，在△ABC中，点D，E分AB，AC边上，DE∥BC，若AD：AB=3：4，AE=6，则AC等于（ ）
A. 3 B. 4 C. 6 D. 8
3.△ABC和△DEF相似，且相似比为 ，那么它们的周长比是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，△ABC中，AD⊥BC于D ， 下列条件：①∠B+∠DAC=90°；②∠B=∠DAC；③ = ；④AB2=BD•BC ． 其中一定能够判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.若把△ABC的各边扩大到原来的3倍后，得△A′B′C′，则下列结论错误的是（ ）
A. △ABC∽△A′B′C′ B. △ABC与△A′B′C′的相似比为14
C. △ABC与△A′B′C′的对应角相等 D. △ABC与△A′B′C′的相似比为13
6.如果两个相似三角形对应边之比是1：4，那么它们的对应中线之比是（ ）
A. 1：2 B. 1：4 C. 1：8 D. 1：16
7.如图,斜靠在墙上的梯子AB,梯脚B距墙面1．6米,梯上一点D距墙面1．4米,BD长0．55米,则梯子AB的长为( )米
A. 3．85 B. 4．00 C. 4．4 D. 4．50．
8.两个相似多边形的一组对分别是3cm和4.5cm，如果它们的面积之和是 ，那么较大的多边形的面积是（ ）
A. 44.8 B. 42 C. 52 D. 54
9.在同一时刻，身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米，一棵大树的影长为4.8米，则树的高度为（ ）
A. 10米 B. 9.6米 C. 6.4米 D. 4.8米
10.如图，正方形ABCD中，O为BD中点，以BC为边向正方形内作等边△BCE，连接并延长AE交CD于F，连接BD分别交CE、AF于G、H，下列结论：①∠CEH=45°；②GF∥DE；③2OH+DH=BD；④BG=2DG；⑤S△BEC：S△BGC＝ 3+12。其中正确的结论是（ )
A. ①②③ B. ①②④ C. ①②⑤ D. ②④⑤
二、填空题（共10题；共30分）
11.如果两个相似三角形的面积的比是4：9，那么它们对应的角平分线的比是________．
12.如图，已知直线 l1∥l2∥l3 ，分别交直线m、n 于点 A、C、D、E、F，AB＝5cm，AC＝15cm，DE＝3cm，则EF的长为________cm.
13.如图，△ABC中，D是边AB上一点，要使△ABC∽△ACD，添加一个条件，你所添加的条件是________．
14.如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似．则矩形DMNC与矩形ABCD的长与宽之比是________
15.如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F.若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝________．
16.如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，要使△ABC∽△AED成立，还需要添加一个条件为________ ．
17.若△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，则△ABC与△DEF的面积比为________．
18.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的 49 ，则AB：DE=________
19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC= 20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，则△ABE的面积等于________．
20.如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长为________．
三、解答题（共8题；共60分）
21.如图，在△ABC和△ADE中，已知∠B=∠D ， ∠BAD=∠CAE ， 求证：△ABC∽△ADE ．
22.已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．
求证：Rt△ADC∽Rt△CDB ．
23.如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB=∠ACB，延长AD、BC相交于点E．求证：AC•DE=BD•CE．
24.如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2 3 ．求证：△ACD∽△ABC．
25.如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD：DE=3：5，AE=8，BD=4，求DC的长．
26.如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A．
（1）求证：△BCD∽△ABC；
（2）如果BC=6 ， AC=3，求CD的长．
27.在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法．小芳的测量方法是：拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C、D两点的距离为3米，小芳的目高为1.5米，这样便可知道旗杆的高．你认为这种测量方法是否可行？请说明理由．
28.如图,四边形ABCD中,AC平分∠DAB,∠ADC＝∠ACB＝90°,E为AB的中点,
（1）求证：AC2＝AB•AD;
（2）求证：CE∥AD;
（3）若AD＝4,AB＝6,求ACAF的值．
答案解析部分
一、单选题
1.【答案】D
【考点】相似三角形的性质
【解析】【分析】先根据题意得出相似三角形的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方进行解答即可．
【解答】∵△ABC∽△DEF，顶点A、B、C分别与D、E、F对应，且AB：DE=1：4，
∴S△ABCS△DEF=（14)2=116．
故选D．
【点评】本题考查的是相似三角形的性质，即相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
2.【答案】D
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴AD：AB=AE：AC，
而AD：AB=3：4，AE=6，
∴3：4=6：AC，
∴AC=8．
故答案为：D．
【分析】用平行于三角形一边的直线截其它两边，截出的三角形与原三角形相似得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例得出AD：AB=AE：AC，进而得出答案。
3.【答案】A
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC∽△A′B′C′，它们的相似比为2：3，
∴它们的周长比是2：3．
故选A ．
【分析】根据相似三角形性质，相似三角形周长的比等于相似比可求．
4.【答案】B
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】解答：（1）∠B+∠DAC=90°，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（2）∵∠B=∠DAC ， ∠BAD+∠B=90°，∴∠BAD+∠DAC=90°，即∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；（3） = ，该条件无法判定△ABC是直角三角形；（4）∵AB2=BD•BC ，
∴ = ，
∵∠B=∠B ，
∴△ABD∽△CBA ，
∴∠BAC=90°，故该条件可以判定△ABC是直角三角形；
故选 B
分析：对题干中给出的条件逐一验证，证明∠BAC=90°即可解题．
5.【答案】B
【考点】位似变换
【解析】【分析】根据相似三角形的性质逐个进行判断可知A、C、D正确，B错误．
【解答】A、因为两个三角形的三条对应边的比相等，都为3，所以△ABC∽△A′B′C′，正确；
B、可知△ABC与△A′B′C′的相似比为13，错误；
C、所以△ABC与△A′B′C′的对应角相等，正确；
D、因为相似比即是对应边的比，所以△ABC与△A′B′C′的相似比为13，正确．
故选B．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，若对应边的比都相等，则两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．
6.【答案】B
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似三角形对应边之比是1：4，
又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，
∴它们的对应中线之比为1：4．
故选B．
【分析】利用相似三角形的相似比，对应高、中线、角平分线的比，都等于相似比来解答．
7.【答案】C
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据梯子、墙、地面三者构成的直角三角形与梯子、墙、梯上点D三者构成的直角三角相似，利用相似三角形对应边成比例解答即可．
【解答】因为梯子每一条踏板均和地面平行，所以构成一组相似三角形，
即△ABC∽△ADE，则DEBC=ADAB
设梯子长为x米，则x-0.55x=1.41.6 ，
解得，
x=4.40．
故选C．
【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．
8.【答案】D
【考点】相似多边形的性质
【解析】解答：设较大多边形与较小多边形的面积分别是m ， n ． 则 ． 因而 ．
根据面积之和是78cm2．得到 ．
解得： ．
故选D．
分析：根据相似多边形相似比即对应边的比，面积的比等于相似比的平方，即可解决．
9.【答案】B
【考点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设树高为x米，
因为 ，
所以 ，
解得：x=9.6．
答：这棵树的高度为9.6米．
故选：B．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．
10.【答案】C
【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】
【分析】①利用正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和与外角求得判定即可；
②由三角形的全等判定与性质，以及三角形的内角和求出判定即可；
③直接由图形判定即可；
④由特殊角的直角三角形的边角关系判定即可；
⑤两个三角形的底相同，由高的比进行判定即可．
【解答】
【解答】①由∠ABC=90°，△BEC为等边三角形，△ABE为等腰三角形，∠AEB+∠BEC+∠CEH=180°，可求得∠CEH=45°，此结论正确；
②由△EGD≌△DFE，EF=GD，再由△HDE为等腰三角形，∠DEH=30°，得出△HGF为等腰三角形，∠HFG=30°，可求得GF∥DE，此结论正确；
③由图可知2（OH+HD)=2OD=BD，所以2OH+DH=BD此结论不正确；
④如图，过点G作GM⊥CD垂足为M，GN⊥BC垂足为N，设GM=x，则GN=3x，进一步利用勾股定理求得GD=2x，BG=6x，得出BG=3GD，此结论不正确；
⑤由图可知△BCE和△BCG同底不等高，它们的面积比即是两个三角形的高之比，由④可知△BCE的高为32（3x+x)和△BCG的高为3x，因此S△BCE：S△BCG=32（3x+x)：3x=3+12 ， 此结论正确；
故正确的结论有①②⑤．
故选C．
【点评】此题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形全等的判定与性质，三角形的面积，特殊角的三角函数等知识点，学生需要有比较强的综合知识
二、填空题
11.【答案】2:3
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】先根据相似三角形面积的比是4：9，求出其相似比是2：3，再根据其对应的角平分线的比等于相似比，可知它们对应的角平分线比是2：3．
故答案为：2：3.
【分析】因为相似三角形面积的比等于相似比的平方，所以可得其相似比是2：3，而其对应的角平分线的比等于相似比，所以它们对应的角平分线比是2：3．
12.【答案】6
【考点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵ l1∥l2∥l3 ，∴ ABBC=DEEF ，即 5AC-AB=510=3EF ，解得，EF=6.【分析】根据平行线分线段成比例，结合题中所给的数据建立比例关系，即可得到EF的长度。
13.【答案】∠ACD=∠B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠CAD，
∴当∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或 ADAC=ACAB 时，△ACD∽△ABC．
故答案为：∠ACD=∠B或∠ADC=∠ACB或 ADAC=ACAB ．
【分析】观察图形。图形中隐含公共角∠A，要证明△ABC∽△ACD，利用相似三角形的判定定理：有两组对应角相等的两三角形相似，因此可添加另外的两组对应角相等；两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可添加AD、AC、AC、AB对应成比例，就可解决问题。
14.【答案】2:1
【考点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，则DM=12AD=12x．
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似．
∴
即y2=12x2 ．
∴x：y=2：1．
故答案为：2：1．
【分析】设矩形ABCD的长AD=x，宽AB=y，根据相似多边形对应边的比相等，即可求得．
15.【答案】169
【考点】三角形中位线定理，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过O点作OM∥AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB=OD，
∴OM是△ABD的中位线，
∴AM=BM= 12 AB= 52 ，OM= 12 BC=4．
∵AF∥OM，
∴△AEF∽△MEO，∴ AEEM=AFOM ，
∴
22+52=AF4 ，
∴AF= 169 ．
故答案为： 169 ．
【分析】过O点作OM∥AD，根据平行四边形的性质，可证得OM是△ABD的中位线，就可求出AM、OM的长，再根据平行得三角形相似，去证明△AEF∽△MEO，利用相似三角形的性质，可证得对应边成比例，从而可求出AF的长。
16.【答案】 ∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或 ADAC=AEAB
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠ABC=∠AED，∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED．
同理可得：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或ADAC=AEAB可以得出△ABC∽△AED；
故答案为：∠ADE=∠C 或∠AED=∠B或ADAC=AEAB ．
【分析】根据相似三角形对应角相等，可得∠ABC=∠AED，故添加条件∠ABC=∠AED即可求得△ABC∽△AED，即可解题．
17.【答案】1：4
【考点】相似三角形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的面积比为1：4，
故答案为：1：4．
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方。
18.【答案】2：3
【考点】位似变换
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，
∴△ABC∽△DEF，
∴△ABC的面积：△DEF面积=（ ABDE ）2= 49 ，
∴AB：DE=2：3，
故答案为：2：3．
【分析】由△ABC经过位似变换得到△DEF，点O是位似中心，根据位似图形的性质，即可得AB∥DE，即可求得△ABC的面积：△DEF面积= 49 ，得到AB：DE═2：3．
19.【答案】78
【考点】勾股定理，相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解:在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC= 20，
∴AB2+AC2=25
BC=25
∴△ABC的面积=12AB·AC=12×15×20=150
∵CD=AC-AD=20-5-15
∵DE⊥BC，
∴∠DEC=∠BAC=90°
∠C=∠C
∴△CDE∽△CBA
CEAC=CDCB 即CE:20=15：25
解之：CE=12
∴BE=BC-CE=13
∵S△ABE：S△ABC=BE:BC=13：25
∴S△ABE：150=13：25
解之：S△ABE=78
故答案为：78
【分析】根据题意，利用勾股定理求出BC的长，就可求出△ABC的面积，再证明△CDE∽△CBA，利用相似三角形的性质，得出对应边成比例，求出CE的长，从而求出BE的长，然后根据S△ABE：S△ABC=BE:BC，建立方程，求出△ABE的面积即可。
20.【答案】
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，
∴∠BAP+∠APB=180°-60°=120°，
∵∠APD=60°，
∴∠APB+∠DPC=180°-60°=120°，
∴∠BAP=∠DPC ，
即∠B=∠C ， ∠BAP=∠DPC ，
∴△BAP∽△CPD ，
∴ = ，
∵AB=BC=3，CP=BC-BP=3-1=2，BP=1，
即 = ，
解得：CD= ，
故答案为： ．
【分析】根据等边三角形性质求出AB=BC=AC=3，∠B=∠C=60°，推出∠BAP=∠DPC ， 证△BAP∽△CPD ， 得出 = ，代入求出即可．
三、解答题
21.【答案】解答：如图，∵∠BAD=∠CAE ，
∴∠BAD+∠BAE=∠CAE+∠BAE ， 即∠DAE=∠BAC ．
又∵∠B=∠D ，
∴△ABC∽△ADE ．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用“两角法”来证：△ABC∽△ADE ．
22.【答案】解答：∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD ，
∵∠ADC=∠CDB=90°，
∴Rt△ADC∽Rt△CDB ．
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】求出∠ADC=∠CDB=90°，根据∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，推出∠A=∠BCD ， 根据相似三角形的判定推出即可．
23.【答案】证明：∵∠ADB=∠ACB， ∴∠EDB=∠ECA．
又∠E=∠E，
∴△ECA∽△EDB，
∴ ，
即AC•DE=BD•CE
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据邻补角的定义得到∠BDE=∠ACE，又因为又∠E=∠E，所以可证明△ECA∽△EDB由相似三角形的性质即可得到结论．
24.【答案】证明：∵ ADAC = 223 = 33 ， ACAB = 236 = 33
∴ ADAC = ACAB ，
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先分别求出AD：AC，AC：AB的值，就可得出AD：AC=AC：AB，由∠A=∠A，根据两组对应边成比例且夹角相等的两三角形相似，可证得结论。
25.【答案】解：∵∠C=∠E，∠ADC=∠BDE，
∴△ADC∽△BDE，
∴ DCDE = ADBD ，
又∵AD：DE=3：5，AE=8，
∴AD=3，DE=5，
∵BD=4，
∴ DCDE = ADBD ，即 DC5=34 ．
∴DC= 154 ．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由对顶角相等，可得∠ADC=∠BDE,又∠C=∠E，可得△ADC∽△BDE，又因为对应边的比相等，计算可得CD的值。
26.【答案】（1）证明：∵∠DBC=∠A，∠C=∠C，
∴△ABCD∽△ABC；
（2）解：∵△BCD∽△ABC，
∴BCAC=CDBC，
∴63=CD6，
∴CD=2．
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
27.【答案】解：这种测量方法可行．
理由如下：
设旗杆高AB=x．过F作FG⊥AB于G，交CE于H（如图）．
所以△AGF∽△EHF．
因为FD=1.5，GF=27+3=30，HF=3，
所以EH=3.5﹣1.5=2，AG=x﹣1.5．
由△AGF∽△EHF，
得 AGEH=GFHF ，
即 x-1.52=603 ，
所以x﹣1.5=20，
解得x=21.5（米）
答：旗杆的高为21.5米
【考点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】过F作FG⊥AB于G，交CE于H，设旗杆高AB=x，则AG=x﹣1.5，易证△AGF∽△EHF，根据相似三角形的性质可得AGEH=GFHF，代入列方程求解可得。
28.【答案】解：（1）证明:∵AC平分∠DAB,
∴∠DAC=∠CAB,
∵∠ADC=∠ACB=90°,
∴△ADC∽△ACB,
∴AD:AC=AC:AB,
∴AC2=AB•AD;
（2）证明:∵E为AB的中点,
∴CE=12AB=AE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵∠DAC=∠CAB,
∴∠DAC=∠ECA,
∴CE∥AD;
（3）解:∵CE∥AD,
∴△AFD∽△CFE,
∴AD:CE=AF:CF,
∵CE=12AB,
∴CE=12×6=3,
∵AD=4,
∴43=AFCF,
∴ACAF=74．
【考点】直角三角形斜边上的中线，相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】
（1）由AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°,可证得△ADC∽△ACB,然后由相似三角形的对应边成比例,证得
AC2=AB•AD;
（2）由E为AB的中点,根据在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半,即可证得CE=12AB=AE,继而可证得∠DAC=∠ECA,得到CE∥AD;
（3）易证得△AFD∽△CFE,然后由相似三角形的对应边成比例,求得ACAF的值．
微信/支付宝扫码支付