2017-2018学年广西防城港市九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x3﹣2x﹣3=0 D．xy+1=0
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．打开电视机，正在播放体育新闻
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯
4．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70°
5．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接四边形的对角互余
8．（3分）已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
9．（3分）在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．（3分）关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m=1 D．m＜﹣1
11．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的最大值是c﹣a．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是 ．
14．（3分）掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是 ．
15．（3分）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是 ．
16．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′= ．
17．（3分）某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为 ．
18．（3分）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是 ．[来源:学*科*网]
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）解关于x的方程：x2﹣4x=0．
20．（6分）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证： =．
21．（8分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
22．（8分）如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求点A在旋转过程中所经过的路线的长．（结果保留π）
23．（8分）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）求上述试验中“2朝下”的频率；
（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．
24．（10分）某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为 元，每件商品的利润为 元，每周的商品销售量为 件；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
26．（10分）如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
2017-2018学年广西防城港市九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x﹣2=0 B．x2﹣4x﹣1=0 C．x3﹣2x﹣3=0 D．xy+1=0
【解答】解：A、不是一元二次方程，故此选项错误；
B、是一元二次方程，故此选项正确；
C、不是一元二次方程，故此选项错误；
D、不是一元二次方程，故此选项错误；
故选：B．
3．（3分）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．明天太阳从东方升起
B．打开电视机，正在播放体育新闻
C．射击运动员射击一次，命中靶心
D．经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯
【解答】解：A、明天太阳从东方升起是必然事件，故A符合题意；
B、打开电视机，正在播放体育新闻是随机事件，故B不符合题意；
C、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故C不符合题意；
D、经过有交通信号灯的路灯，遇到红灯是随机事件，故D不符合题意；
故选：A．
4．（3分）如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠C=35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．35° B．55° C．145° D．70°[来源:学科网ZXXK]
【解答】解：∵∠C=35°，
∴∠AOB=2∠C=70°．
故选：D．
5．（3分）抛物线y=2（x﹣1）2+3的对称轴为（ ）
A．直线x=1 B．直线y=1 C．直线y=﹣1 D．直线x=﹣1
【解答】解：∵y=2（x﹣1）2+3，
∴该抛物线的对称轴是直线x=1，
故选：A．
6．（3分）在平面直角坐标系中，点P（1，2）关于原点对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【解答】解：∵P（1，2），
∴点P关于原点对称的点的坐标是：（﹣1，﹣2），
故选：A．
7．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．三点确定一个圆
B．三角形的外心到三角形各顶点的距离相等
C．相等的圆心角所对的弧相等
D．圆内接四边形的对角互余
【解答】解：不在同一直线上的三点确定一个圆，A错误；
三角形的外心到三角形各顶点的距离相等，B正确；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，C错误；
圆内接四边形的对角互补，D错误；
故选：B．
8．（3分）已知袋中有若干个球，其中只有2个红球，它们除颜色外其它都相同．若随机从中摸出一个，摸到红球的概率是，则袋中球的总个数是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【解答】解：袋中球的总个数是：2÷=8（个）．
故选：D．
9．（3分）在⊙O中，已知半径为5，弦AB的长为8，则圆心O到AB的距离为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：作OC⊥AB于C，连结OA，如图，
∵OC⊥AB，
∴AC=BC=AB=×8=4，
在Rt△AOC中，OA=5，
∴OC=，
即圆心O到AB的距离为3．
故选：A．
10．（3分）关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，则实数m的取值范围为（ ）
A．m≥1 B．m＜1 C．m=1 D．m＜﹣1
【解答】解：
∵关于x的方程x2﹣2x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=0，即（﹣2）2﹣4m=0，解得m=1，
故选：C．
11．（3分）如图，P为⊙O外一点，PA、PB分别切⊙O于A、B，CD切⊙O于点E，分别交PA、PB于点C、D，若PA=5，则△PCD的周长为（ ）
A．5 B．7 C．8 D．10
【解答】解：∵PA、PB为圆的两条相交切线，
∴PA=PB，
同理可得：CA=CE，DE=DB．
∵△PCD的周长=PC+CE+ED+PD，
∴△PCD的周长=PC+CA+BD+PD=PA+PB=2PA，
∴△PCD的周长=10，
故选：D．
12．（3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列四个结论：①AC＜0；②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3；③b=2a；④函数的最大值是c﹣a．其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【解答】解：∵图象与x轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，两根是x1=﹣1，x2=3，故②正确；
∵函数图象开口向下，故a＜0，有﹣＞0，则b＞0，故①正确；
对称轴为x=1=﹣，则2a+b=0，故③错误；
又∵当x=1时，y=a+b+c=a﹣2a+c=c﹣a，故④正确；
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）抛物线y=x2+5x﹣1的开口方向是 向上 ．
【解答】解：
在y=x2+5x﹣1中，
∵a=1＞0，
∴抛物线开口向上，
故答案为：向上．
14．（3分）掷一个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数为奇数的概率是 ．
【解答】解：根据题意知，掷一次骰子6个可能结果，而奇数有3个，
所以掷到上面为奇数的概率为：．
故答案为：．
15．（3分）将抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是
y=﹣x2﹣4x﹣4 ．
【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y=﹣x2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是y=﹣（x+2）2，即y=﹣x2﹣4x﹣4．
故答案为：y=﹣x2﹣4x﹣4．
16．（3分）如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，连接BB′，则∠B′BC′= 68° ．
【解答】解：∵把△ABC绕点A逆时针旋转44°，得到△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′=44°，AB=AB′．
∴∠AB′B=∠ABB′．
∴∠B′BC′=（180°﹣44°）=68°．
故答案为：68°．[来源:Z|xx|k.Com]
17．（3分）某工程一月份的产值为600万元，三月份的产值达到了726万元，设每月产值的增长率x相同，则可列出方程为 600（1+x）2=726 ．
【解答】解：设平均每月增长率是x，由题意得：600（1+x）2=726，
故答案为600（1+x）2=726．
18．（3分）如图，点A在以BC为直径的⊙O内，且AB=AC，以点A为圆心，AC长为半径作弧，得到扇形ABC，剪下扇形ABC围成一个圆锥（AB和AC重合），若∠BAC=120°，BC=2，则这个圆锥底面圆的半径是 ．
【解答】解：如图，连接AO，∠BAC=120°，
∵BC=2，∠OAC=60°，
∴OC=，
∴AC=2，
设圆锥的底面半径为r，则2πr==π，
解得：r=，
故答案是：．
三、解答题（本大题共8小题，满分66分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（6分）解关于x的方程：x2﹣4x=0．
【解答】解：x2﹣4x=0，
x（x﹣4）=0，
则x=0，x﹣4=0，
解得x1=0，x2=4．
20．（6分）如图，在⊙O中，弦AB与DC相交于E，且BE=DE，求证： =．
【解答】证明：在△AED和△CEB中，
，
∴△AED≌△CEB（AAS）．
∴AD=BC，
∴=．
21．（8分）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．
（1）求m的值；
（2）求△ABC的周长．
【解答】解：（1）把x=2代入方程得4﹣4m+3m=0，解得m=4；
（2）当m=4时，原方程变为x2﹣8x+12=0，解得x1=2，x2=6，
∵该方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，且不存在三边为2，2，6的等腰三角形
∴△ABC的腰为6，底边为2，
∴△ABC的周长为6+6+2=14．
22．（8分）如图，在方格纸上，每个小方格都是边长为1cm的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上，将△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到△A′B′C′（其中A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′）．
（1）画出旋转后的△A′B′C′；
（2）求点A在旋转过程中所经过的路线的长．（结果保留π）
【解答】解：（1）△A′B′C′如图所示：
（2）由勾股定理得：OA==2，
∴点A在旋转过程中所经过的路线的长为=π．
23．（8分）如图，均匀的正四面体的各面依次标有1，2，3，4四个数字，小明做了60次投掷试验，结果统计如下：
朝下数字
1
2
3
4
出现的次数
16
20
14
10
（1）求上述试验中“2朝下”的频率；
（2）随机投掷正四面体两次，请用列表或画树状图法，求两次朝下的数字之和大于5的概率．
【解答】解：（1）“2朝下”的频率： =，
（2）根据题意列表如下：
第一次
第二次
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）
总共有16种结果，每种结果出现的可能性相同，而两次朝下数字之和大于5的结果有6种．
则P（两次朝下的数字之和大于5）==．
24．（10分）某商品的进货价为每件30元，为了合理定价，先投放市场试销．据市场调查，销售价为每件40元时，每周的销售量是180件，而销售价每上涨1元，则每周的销售量就会减少5件，设每件商品的销售价上涨x元，每周的销售利润为y元．
（1）用含x的代数式表示：每件商品的销售价为 x+40 元，每件商品的利润为 x+10 元，每周的商品销售量为 180﹣5x 件；
（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；
（3）应怎样确定销售价，使该商品的每周销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）每件商品的销售价为：（x+40）元，每件商品的利润为：（x+10）元，
每周的商品销售量为：（180﹣5x）件；
故答案为：x+40，x+10，180﹣5x；
（2）所求函数关系式为：y=（x+10）（18﹣5x）
即y=﹣5x2+130x+1800；
（3）∵在y=﹣5x2+130x+1800中，
a=﹣5＜0，b=130，x=1800，
∴当x=﹣=﹣=13时，x+40=13+40=53，[来源:Zxxk.Com]
y有最大值且最大值为： =1800﹣=2645（元），
∴当售价为53元时，可获得最大利润2645元．
25．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC∥AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，
∴CD是圆O的切线；
（2）
∵在Rt△AED中，∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt△AED中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，
∴CD=，
∴S△OCD=，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
∴S扇形OBC=×π×OC2=，
∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC
∴S阴影=8﹣，
∴阴影部分的面积为8﹣．
26．（10分）如图，直线y=x+3与两坐标轴交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点，且交x轴的正半轴于点C．
（1）直接写出A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）当x=0时，y=3，
∴B（0，3），
当y=0时，x+3=0，x=﹣3，
∴A（﹣3，0）；…（2分）
（2）把A（﹣3，0），B（0，3）分别代入y=﹣x2+bx+c得：
，解得：，
∴抛物线解析式为：y=﹣x2﹣2x+3； …（5分）
顶点D坐标为（﹣1，4）…（6分）
（3）存在．
设点P的坐标为（t，﹣t2﹣2t+3）．
∵A（﹣3，0），B（0，3），
∴AB2=32+32=18，AP2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，BP2=t2+（﹣t2﹣2t）2．…（8分）[来源:学科网]
当△PAB是以AB为直角边的直角三角形时，可分两种情况：
①如图1，如果点B为直角顶点，那么AB2+BP2=AP2
（事实这里的点P与点D 重合）
即18+t2+（﹣t2﹣2t）2=（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2，
整理得t2+t=0，解得t1=﹣1，t2=0（不合题意舍去），
则点P的坐标为（﹣1，4）； …（9分）
②如图2，如果点A为直角顶点，那么AP2+AB2=BP2，
即18+（t+3）2+（﹣t2﹣2t+3）2=t2+（﹣t2﹣2t）2，
整理得t2+t﹣6=0，解得t1=2，t2=﹣3（不合题意舍去），
则点P的坐标为（2，﹣5）；
综上所述，所有符合条件的点P的坐标为（﹣1，4）或（2，﹣5）．…（10分）
另解：如图3，作DE⊥y轴于点E，发现∠ABO=∠DBE=45°
可知顶点D满足△DAB是直角三角形，这时点P的坐标为（﹣1，4）；
作PA⊥AB交抛物线于点P，作PF⊥x轴于点F，发现∠PAF=∠APF=45°，
由PF=AF求出另一点P为（2，﹣5）．
说明：不同解法，请参照评分说明给分．
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