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第2讲 参数方程
1．(2015·高考湖北卷改编)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，求|AB|.
解：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y＝3x.
由得y2－x2＝4.
由可得或
不妨设A，则B，
故|AB|＝
＝2.
2．(2016·唐山模拟)已知椭圆C：＋＝1，直线l：(t为参数)．
(1)写出椭圆C的参数方程及直线l的普通方程；
(2)设A(1，0)，若椭圆C上的点P满足到点A的距离与其到直线l的距离相等，求点P的坐标．
解：(1)椭圆C：(θ为参数)，直线l：x－y＋9＝0.
(2)设P(2cos θ，sin θ)，
则|AP|＝ ＝2－cos θ，
点P到直线l的距离
d＝＝.
由|AP|＝d得3sin θ－4cos θ＝5，
又sin2θ＋cos2θ＝1，得sin θ＝，cos θ＝－.
故P.
3．(2016·沈阳质量监测)在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1，2)，倾斜角α＝.
(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；
(2)设直线l与圆C相交于A、B两点，求|PA|·|PB|的值．
解：(1)圆C的标准方程为x2＋y2＝16.
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直线l的参数方程为(t为参数)，即(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，
得＋＝16，t2＋(＋2)t－11＝0，
所以t1t2＝－11，
即|PA|·|PB|＝11.
4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
(1)写出⊙C的直角坐标方程；
(2)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．
解：(1)由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，
从而有x2＋y2＝2y，
所以x2＋(y－)2＝3.
(2)设P，又C (0，)，
则|PC|＝ ＝，
故当t＝0时，|PC|取得最小值，
此时，点P的直角坐标为(3，0)．
1．(2016·唐山统考)极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)，斜率为的直线l交y轴于点E(0，1)．
(1)求C的直角坐标方程，l的参数方程；
(2)直线l与曲线C交于A、B两点，求|EA|＋|EB|.
解：(1)由ρ＝2(cos θ＋sin θ)，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，
即x2＋y2＝2x＋2y，
即(x－1)2＋(y－1)2＝2.
l的参数方程为(t为参数，t∈R)．
(2)将代入(x－1)2＋(y－1)2＝2得t2－t－1＝0.
解得t1＝，t2＝，
则|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝.
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2．(2016·长春调研)已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.
(1)求圆C的直角坐标方程；
(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．
解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，
所以ρ2＝4ρsin
＝4ρ.
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.
(2)设z＝x＋y，
由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得(x＋1)2＋(y－)2＝4，
所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.
将代入z＝x＋y，得z＝－t，
又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，所以－2≤t≤2，
所以－2≤－t≤2，即x＋y的取值范围是[－2，2]．
3．(2016·太原联考)已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点P的极坐标为，曲线C的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ＝1.
(1)写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；
(2)若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：(t为参数)距离的最小值．
解：(1)点P的直角坐标为(3，)．
由ρ2＋2ρsin θ＝1，得x2＋y2＋2y＝1，
即x2＋(y＋)2＝4，
所以曲线C的直角坐标方程为x2＋(y＋)2＝4.
(2)曲线C的参数方程为
(θ为参数)，直线l的普通方程为x－2y－7＝0.
设Q(2cos θ，－＋2sin θ)，
则M，那么点M到直线l的距离为
d＝
＝
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＝≥＝－1，
所以点M到直线l的最小距离为－1.
4．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为 (t为参数)，曲线C2的参数方程为(a>b>0，φ为参数)，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l：θ＝α与曲线C1、C2各有一个交点．当α＝0时，这两个交点间的距离为2，当α＝时，这两个交点重合．
(1)分别说明C1、C2是什么曲线，并求出a与b的值；
(2)设当α＝时，l与C1、C2的交点分别为A1、B1，当α＝－时，l与C1、C2的交点分别为A2、B2，求四边形A1A2B2B1的面积．
解：(1)由题意可知，曲线C1为圆，曲线C2为椭圆，
当α＝0时，射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(1，0)、(a，0)，
因为这两个交点间的距离为2，所以a＝3，
当α＝时，射线l与曲线C1、C2交点的直角坐标分别是(0，1)、(0，b)，
因为这两个交点重合，所以b＝1.
(2)由(1)可得，曲线C1、C2的普通方程分别为x2＋y2＝1，＋y2＝1，当α＝时，射线l与曲线C1的交点A1，与曲线C2的交点B1；
当α＝－时，射线l与曲线C1、C2的两个交点A2、B2分别与A1、B1关于x轴对称，
则四边形A1A2B2B1为梯形，
所以四边形A1A2B2B1的面积为
＝.
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