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2017-2018人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 单元测试卷
一、选择题(本大题共8小题，每小题只有一个正确选项，每小题4分，共32分)
1．若＝，则的值为( )
A．1 B. C. D.
2．已知△ABC∽△A′B′C′且＝，则S△ABC∶S△A′B′C′为( )
A．1∶2 B．2∶1 C．1∶4 D．4∶1
3．如图，身高为1.6米的某学生想测量学校旗杆的高度，当她在C处时，她的影子正好与旗杆的影子重合，并测得AC＝2米，BC＝8米，则旗杆的高度是( )
A．6.4米 B．7米 C．8米 D．9米
4．如图，E是平行四边形ABCD的边BC的延长线上的一点，连接AE交CD于点F，则图中共有相似三角形( )
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，以斜边AB上的一点O为圆心所作的半圆分别与AC，BC相切于点D，E，则AD为( )
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A．2.5 B．1.6 C．1.5 D．1
6．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB∶AC等于( )
A．BD∶CD B．AD∶CD C．BC∶AD D．BC∶AC
7．如图，AB＝4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE＝DB，作EF⊥DE并截取EF＝DE，连接AF并延长交射线BM于点C.设BE＝x，BC＝y，则y关于x的函数解析式为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
8．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF＝CD，下列结论：①∠BAE＝30°；②△ABE∽△AEF；③AE⊥EF；④△ADF∽△ECF.其中正确的个数为( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分)
9．如果＝＝＝k(b＋d＋f≠0)，且a＋c＋e＝3(b＋d＋f)，那么k＝________.
10．在△ABC中，AB＝8，AC＝6，在△DEF中，DE＝4，DF＝3，要使△ABC与△DEF相似，则需要添加一个条件是______________________________．(写出一种情况即可)
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11．如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OA＝4，OD＝6，则△AOB与△DOC的周长比是________．
12．如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，PD＝12米，那么该古城墙的高度是________米．(平面镜的厚度忽略不计)
13．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，若BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为________．
14．如图，一条4m宽的道路将矩形花坛分为一个直角三角形和一个直角梯形，根据图中数据，可知这条道路的占地面积为________m2.
三、解答题(共9个小题，共70分)
15．(5分)(2017·长春模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上一点，且∠AED＝∠B.若AE＝5，AB＝9，CB＝6，求ED的长．
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16．(6分)如图所示，已知AB∥CD，AD，BC相交于点E，F为BC上一点，且∠EAF＝∠C.求证：
(1) ∠EAF＝∠B；
(2) AF2＝FE·FB.
17．(7分)如图所示，在正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G.
(1) 求证：△BDG∽△DEG；
(2) 若EG·BG＝4，求BE的长．
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18．(7分)如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是关于点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1) 画出位似中心点O；
(2) 求出△ABC与△A′B′C′的位似比；
(3) 以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的位似比等于1.5.
19．(7分)王亮同学利用课余时间对学校旗杆的高度进行测量，他是这样测量的：把长为3m的标杆垂直放置于旗杆一侧的地面上，测得标杆底端距旗杆底端的距离为15m，然后往后退，直到视线通过标杆顶端正好看不到旗杆顶端时为止，测得此时人与标杆的水平距离为2m，已知王亮的身高为1.6m，请帮他计算旗杆的高度(王亮眼睛距地面的高度视为他的身高)．
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20．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1) 求证：∠DFA＝∠ECD；
(2) △ADF与△DEC相似吗？为什么？
(3) 若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
21．(9分)一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件如图①，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1) 求证：△AEF∽△ABC；
(2) 求这个正方形零件的边长；
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(3) 如果把它加工成矩形零件如图②，问这个矩形的最大面积是多少？
22．(9分)如图，已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，弦ED⊥AB于点F，交BC于点G，过点C的直线与ED的延长线交于点P，PC＝PG.
(1 )求证：PC是⊙O的切线；
(2) 当点C在劣弧AD上运动时，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.求证：点G是BC的中点；
(3) 在满足(2)的条件下，若AB＝10，ED＝4，求BG的长．
23．(12分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，P(t，0)是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线相交于点D.
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(1) 求b，c的值；
(2) 当t为何值时，点D落在抛物线上；
(3) 是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．
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答案;
一、
1---8 DCCCB AAB
二、
9. 3
10. ∠A＝∠D(或BC∶EF＝2∶1)
11. 2∶3
12. 8
13.
14. 80
三、
15. 解：∵∠AED＝∠B，∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，∴＝，∵AE＝5，AB＝9，CB＝6，∴＝，解得DE＝
16. 证明：(1)∵AB∥CD，∴∠B＝∠C，又∠C＝∠EAF，∴∠EAF＝∠B
(2)∵∠EAF＝∠B，∠AFE＝∠BFA，∴△AFE∽△BFA，则＝，∴AF2＝FE·FB
17. 解：(1)证明：∵BE平分∠DBC，∴∠CBE＝∠DBG，∵∠CBE＝∠CDF，∴∠DBG
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＝∠CDF，∵∠BGD＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG
(2)∵△BDG∽△DEG，＝，∴DG2＝BG·EG＝4，∴DG＝2，∵∠EBC＋∠BEC＝90°，∠BEC＝∠DEG，∠EBC＝∠EDG，∴∠BGD＝90°，∵∠DBG＝∠FBG，BG＝BG，∴△BDG≌△BFG，∴FG＝DG＝2，∴DF＝4，∵BE＝DF，∴BE＝DF＝4.
18. 解：(1) 连接A′A，C′C，并分别延长相交于点O，即为位似中心
(2) 位似比为1∶2
(3) 略
19. 解：根据题意知，AB⊥BF，CD⊥BF，EF⊥BF，EF＝1.6 m，CD＝3 m，FD＝2 m，BD＝15 m，过E点作EH⊥AB，交AB于点H，交CD于点G，则EG⊥CD，EH∥FB，EF＝DG＝BH，EG＝FD，CG＝CD－EF.因为△ECG∽△EAH，所以＝，即＝，所以AH＝11.9 m，所以AB＝AH＋HB＝AH＋EF＝11.9＋1.6＝13.5(m)，即旗杆的高度为13.5 m
20. 解：(1)证明：∵∠AFE＝∠B，∠AFE＋∠DFA＝180°，∠B＋∠ECD＝180°，∴∠DFA＝∠ECD
(2)△ADF∽△DEC.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠ADF＝∠DEC，∴△ADF∽△DEC
(3)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，CD＝AB＝4，又∵AE⊥BC，∴AE⊥AD，在Rt△ADE中，DE＝＝＝6，∵△ADF∽△DEC，∴＝，∴＝，AF＝2
21. 解：(1)∵四边形EFHG为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC
(2)∵四边形EFHG为正方形，∴EF∥BC，EG⊥BC，又∵AD⊥BC，∴EG∥AD，
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设EG＝EF＝x，则KD＝x，∵BC＝120 mm，AD＝80 mm，∴AK＝80－x，∵△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝48，∴这个正方形零件的边长是48 mm
(3)设EG＝KD＝m，则AK＝80－m，∵△AEF∽△ABC，∴＝，即＝，∴EF＝120－m，∴S矩形EFHG＝EG·EF＝m·(120－m)＝－m2＋120m＝－(m－40)2＋2400，故当m＝40时，矩形EFHG的面积最大，最大面积为2400 mm2
22. 解：(1)连接OC，∵ED⊥AB，∴∠BFG＝90°，∴∠B＋∠BGF＝90°，又∵PC＝PG，∴∠PCG＝∠PGC，而∠PGC＝∠BGF，∴∠B＋∠PCG＝90°，又∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO.∴∠BCO＋∠PCG＝90°，则∠PCO＝90°，即OC⊥PC，而OC是半径，∴PC是⊙O的切线
(2)连接OG，∵BG2＝BF·BO，∴＝，而∠B＝∠B，∴△BFG∽△BGO，∴∠BGO＝∠BFG＝90°，∴OG⊥BC，∴点G是BC的中点
(3)连接OE，∵AB是⊙O的直径，ED⊥AB，∴EF＝ED，∵AB＝10，ED＝4，∴EF＝2，OE＝OB＝AB＝5.在Rt△OEF中，OF＝＝1，∴BF＝OB－OF＝5－1＝4，∴BG＝＝2
23. 解：(1)由抛物线y＝－x2＋bx＋c过点A(0，4)和C(8，0)，可得解得
(2)∵∠AOP＝∠PEB＝90°，∠OAP＝90°－∠APO＝∠EPB，∴△AOP∽△PEB，且相似比为＝＝2，∵AO＝4，PE＝2，OE＝OP＋PE＝t＋2，又∵DE＝OA＝4，∴
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点D的坐标为(t＋2，4)，∴点D落在抛物线上时，有－(t＋2)2＋(t＋2)＋4＝4，解得t＝3或t＝－2，∵t＞0，∴t＝3，故当t为3时，点D落在抛物线上
(3)存在t，能够使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似．理由：①当0＜t＜8时，若△POA∽△ADB，则＝，即＝，整理，得t2＋16＝0，∴t无解，若△POA∽△BDA，同理，解得t＝－2＋2(负值舍去)；②当t＞8时，若△POA∽△ADB，则＝，即＝，解得t＝8＋4(负值舍去)，若△POA∽△BDA，同理，解得t无解．综上所述，当t＝－2＋2或t＝8＋4时，以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似
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