高二数学试题（理科）
（本试卷满分150分，时间：120分钟）
一.选择题（每小题5分，共60分）
1. 若是虚数单位，则复数的虚部等于（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中，常数项等于（ ）
A. B. C. D.
3. 《论语·子路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足”，所以，名不正，则民无所措手足.上述推理过程用的是（ ）
A. 类比推理 B. 归纳推理 C. 演绎推理 D. 合情推理
4. 某班准备从甲、乙、丙等6人中选出4人在班会上发言介绍学习经验，要求甲、乙、丙三人中至少有两人参加，那么不同的发言顺序有（ ）
A．18种 B．12种 C． 432种 D．288种
5. 若纯虚数满足,其中,是虚数单位，则实数的值等于（ ）
A. B. C. 2 D.
6. 若函数在取得极值，则函数的单调递减区间是（ ）
A.和 B. C.和 D.
7. 在等差数列中，如果，且，那么必有，类比该结论，在等比数列中, 如果，且，那么必有（ ）
A． B. C. D.
8. 若一条曲线上任意一点处的切线的斜率均为正数，则称该曲线为“升曲线”.已知函数定义域为R，且满足，则下列曲线中是“升曲线”的是（ ）
A. B. C. D.
9. 利用数学归纳法证明不等式的过程中，由到时，不等式的左边增加的项数为（ ）
A. B. C. D.
10．已知函数，若方程有两个相异实根，且，则实数的值等于（ ）
A. 或 B. C. D. 0
11. 已知，则的展开式中，项的系数等于（ ）
A. B. C. D.
12. 若直线与曲线相切，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二.填空题（每小题5分，共20分）
13. 若是虚数单位，复数满足，则复数在复平面内对应点的坐标为________.
14. 观察下列各式：，，，，由此可猜想，若，则__________.
15. 在某班举行的“庆五一”联欢晚会开幕前已排好有8个不同节目的节目单，如果保持原来的节目相对顺序不变，临时再插进去三个不同的新节目，且插进的三个新节目按顺序出场，那么共有__________种不同的插入方法(用数字作答)．
16. 若函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是
——————.
三.解答题（共6小题，满分70分）
17. （本小题满分10分）已知是虚数单位，复数的共轭复数是，且满足.
（I）求复数的模；
（II）若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数的取值范围.
18. （本小题满分12分）已知.
（I）试猜想与的大小关系；
（II）证明（I）中你的结论.
19. （本小题满分12分）若的展开式中第3项的系数是第5项的系数的4倍.
（I）求的值；
（II）若，求的值.
20. （本小题满分12分）已知函数的图像在处的切线方程为.
（I）求实数的值；
（II）若函数，求在上的极值.
21. （本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.
（I）求证：是等比数列；
（II）求证：不是等比数列.
22. （本小题满分12分）已知函数
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）当时，若对于区间上的任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围.
高二数学试题（理科）参考答案及评分标准
一.选择题
1.B 2. A 3. C 4. D 5. C 6. C 7. D 8. D 9. B 10. C 11. B 12. C
二.填空题
13. 14. 15. 165 16.
三.解答题
17. 解析：（I）设复数，则， ---------1分
于是，即， ---------3分
所以，解得，即. ---------5分
故. ---------6分
（II）由（I）得， ---------8分
由于复数在复平面内对应的点在第一象限，
所以，解得. ---------10分
18. 解：（I）取，则，，则有；
再取，则，，则有.
故猜想. ---------4分
（II）令，则，当时，，
即函数在上单调递减， ---------7分
又因为，所以，
即， ---------10分
故. ---------12分
19. 解：（I）展开式的通项，. ---------1分
因此第3项的系数是,第5项的系数, ---------3分
于是有, ---------4分
整理得，解得. ---------6分
（II）由（I）知.
令，即，得， ---------8分
令，即，得， ---------10分
两式相加得，
故. ---------12分
20. 解析：（I）因为所以. -----------2分
于是由题知，解得. -----------4分
因此，而，于是，解得. ----------6分
（II）由（I）得，所以， ----------8分
令得，
当变化时，的变化情况如下：
1
0
递减
极小值
递增
------------10分
所以在取得极小值，无极大值. ---------12分
21. 证明：（I）因为，所以当时， ---------1分
两式相减得，
即， ---------3分
因此， ---------4分
故是公比为的等比数列. ---------5分
（II）(方法一)假设是等比数列，则有，
即. ---------7分
由（I）知是等比数列，所以，
于是，即，解得，
这与是等比数列相矛盾， ---------11分
故假设错误，即不是等比数列. ---------12分
(方法二) 由（I）知，所以，因此. ---------7分
于是， ---------8分
假设是等比数列，则有， ---------10分
即，解得，
这与相矛盾， ---------11分
故假设错误，即不是等比数列. ---------12分
22. 解析：（I）当时，，定义域为.
. -----------2分
令得，解得，令得，解得，
因此的单调递增区间是，单调递减区间是. ---------4分
（II）不妨设.
因为，所以，因此在上单调递增，即.
又因为在上也单调递增，所以.
所以不等式即为，
即， ------------7分
设，即，
则，因此在上单调递减.
于是在上恒成立，
即在上恒成立. -------------9分
令，则，
即在上单调递增，因此在上的最小值为， ------------11分
所以，
故实数的取值范围是. ------------12分
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