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3.2 直棱柱、圆锥的侧面展开图
知|识|目|标
1．通过观察与动手操作，理解直棱柱的概念，能画出直棱柱的侧面展开图并能计算其侧面
积．
2．通过展开、观察，理解圆锥的概念及侧面积的构成，并能根据圆锥的侧面展开图计算侧面
积.
目标一 能画(求)出直棱柱的侧面展开图
例 1 教材补充例题有一种月饼包装盒如图 3－2－1 所示，为了生产这种包装盒，需要先画出
展开图纸样．
(1)图 3－2－2 给出了的三种纸样，它们都正确吗？
(2)从已知正确的纸样中选出一种，标上尺寸；
(3)利用你所选的纸样，求出包装盒的侧面积和表面积．
图 3－2－1 图 3－2－2
【归纳总结】判断直棱柱的侧面、表面展开图的方法：
(1)判断一个直棱柱是几棱柱，应该从平行的两底面多边形的边数上作出判断；
(2)判断平面图形是不是某立体图形的表面展开图，需要分别从底面与侧面两个方面进行分析；
(3)动手操作是解决此类问题的一般方法．
目标二 能计算圆锥的侧面积及表面积
例 2 教材例 2 针对训练如图 3－2－3 所示，圆锥的底面半径为 6 cm，高为 8 cm.
求：(1)这个圆锥的侧面积；
(2)这个圆锥的表面积．
图 3－2－3
【归纳总结】圆锥及其侧面展开图的有关计算：
(1)圆锥的母线长、高、底面半径构成直角三角形；
(2)圆锥的底面周长就是其侧面展开图(扇形)的弧长；2
(3)圆锥的母线长是侧面展开图(扇形)的半径．
温馨提示：这三组关系是解决圆锥有关计算的基础，也是容易出错的地方．
例 3 教材补充例题要在如图 3－2－4 所示的一个机器零件(尺寸如图 3－2－5，单位：mm)的
表面涂上防锈漆，请你帮助计算一下这个零件的表面积．(参考公式：S 圆柱侧＝2πrh，S 圆锥侧＝
πrl，S 圆＝πr2，其中 r 为底面圆的半径，h 为高，l 为母线长，π取 3.14)
图 3－2－4 图 3－2－5
【归纳总结】求圆锥侧面积的“三个公式”：
(1)已知圆锥侧面展开图(扇形)的圆心角 n°和半径 R，求圆锥的侧面积用 S 侧＝
nπR2
360 ；
(2)已知圆锥侧面展开图(扇形)的弧长 l 和半径 R，求圆锥的侧面积用 S 侧＝
1
2lR；
(3)已知圆锥底面圆半径 r 和母线长 l，求圆锥的侧面积用 S 侧＝πrl.
知识点一 直棱柱及其展开图
1．特征：(1)有两个面互相平行，称它们为底面；(2)其余各个面均为矩形，称它们为侧面；
(3)侧棱(指两个侧面的公共边)垂直于底面．
2．分类：根据底面图形的边数，可以分为直三棱柱、直四棱柱、直五棱柱……底面是正多边
形的棱柱叫作正棱柱．
3．常见棱柱的展开图．
名称 几何体 侧面展开图 常见表面展开图
正方体 等
长方体
等3
三棱柱
等
知识点二 圆锥的侧面展开图及侧面积的计算
圆锥的定义：圆锥是由一个底面和一个侧面围成的图形，也可以看成是由一个直角三角形绕
它的一条直角边所在的直线旋转一周形成的图形．
连接顶点与底面圆心的线段叫作圆锥的____，圆锥顶点与底面圆上任意一点的连线段都叫作
圆锥的______．
圆锥的侧面展开图是一个________，圆锥的母线长是扇形的______，圆锥底面圆的周长是扇
形的______．
[点拨] 1.圆锥的侧面积＝侧面展开图(扇形)的面积．
2．圆锥的底面圆半径为 r，母线长为 l，则：
①S 侧＝πrl；
②表面积＝S 侧＋S 底＝πrl＋πr2.
已知圆锥的侧面展开图的圆心角为 180°，底面积为 15 cm2，求圆锥的侧面积 S.
解：设圆锥底面圆的半径为 r cm，则πr2＝15，
∴r2＝
15
π.
∵圆锥的侧面展开图(扇形)的圆心角为 180°，
∴S＝
180πr2
360 ＝
1
2π×
15
π＝7.5(cm2)．
上述解答正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程．45
教师详解详析
【目标突破】
例 1 解：(1)甲、乙正确，丙不正确．
(2)若选甲，如图所示(选乙的情况略)．
(3)S 侧＝(b＋a＋b＋a)h＝2ah＋2bh，
S 表＝2ah＋2bh＋2ab.
例 2 [解析](1)应先利用勾股定理求得圆锥的母线长，圆锥的侧面积＝π×底面半径×母线
长，把相关数值代入即可求解；(2)圆锥的表面积＝圆锥的侧面积＋圆锥的底面积＝圆锥的侧
面积＋π×底面半径 2，把相关数值代入即可求解．
解：(1)∵圆锥的底面半径为 6 cm，高为 8 cm，
∴圆锥的母线长为 10 cm，
∴S 侧＝π×6×10＝60π(cm2)．
(2)∵圆锥底面圆的面积＝π×62＝36π(cm2)，
∴S 表＝60π＋36π＝96π(cm2)．
例 3 [解析] 理解图上零件的表面积是由哪几部分组成的，各部分的展开图又是什么图形．
解：由图可知，r＝80÷2＝40(mm)，圆柱的高 h＝100 mm，圆锥的高为 30 mm，l＝ 302＋402
＝50(mm)．S 表面积＝S 圆锥侧＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝πrl＋2πrh＋πr2＝π×40×50＋2
π×40×100＋π×402＝2000π＋8000π＋1600π＝11600π(mm2)≈36424(mm2)．
所以这个零件的表面积约为 36424 mm2.
[备选例题] 如图①所示，有一圆锥形粮堆，从前面看是边长为 6 m 的等边三角形 ABC，粮堆
母线 AC 的中点 P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在点 B 处，它要沿圆锥侧面到达点
P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是多少？
①
②
[解析] 这是圆锥侧面最短距离问题，先将侧面展开，如图②，再根据两点之间线段最短的原
理，确定最短路线应是线段 BP，本题可通过解直角三角形 ABP 求出 BP 的长．
解：如图①，∵△ABC 为等边三角形，边长为 6 m，
∴圆锥底面圆的周长为 2π×3＝6π(m)，6
∴图②中扇形的圆心角为
180 × 6π
π × 6 ＝180°，
∴∠BAP＝90°.∵P 是 AC 的中点，
∴AP＝3 m，
∴BP＝ AB2＋AP2＝ 62＋32＝3 5(m)．
答：小猫所经过的最短路程是 3 5 m.
[归纳总结] (1)善于把生活中的近似圆锥的图形建立成圆锥模型(如北方的粮垛、南方的斗笠、
建筑用的铅锤、蒙古包等)．
(2)计算实际问题中圆锥形物体的表面积时，要分清是否有底面，没有底面的侧面积就是表面
积．
(3)有关圆锥侧面的最短路程问题，要注意将其表面展开后，根据两点之间线段最短的原则，
先确定最短路线，再求其长度的最小值．
【总结反思】
[小结] 知识点二 高 母线 扇形 半径 弧长
[反思] 不正确．错把圆锥底面圆的半径当成其侧面展开图(扇形)的半径了．
正解：设圆锥底面圆的半径为 r cm，侧面展开图(扇形)的半径为 R cm，则πr2＝15，解得 r
＝
15
π(负值已舍去)．
∵2πr＝πR，
∴R＝2r＝2
15
π，
∴S＝πrR＝π×
15
π×2
15
π＝30(cm2)．
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