1
课时作业(九)
[27.2.1 第 2 课时 相似三角形判定定理 1，2]
一、
选择题
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为 1， 2， 5，乙三角形木框的三边
长分别为 5， 5， 10，则甲、乙两个三角形( )
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2．图 K－9－2 中的四个三角形与图 K－9－1 中的三角形相似的是( )
图 K－9－1
图 K－9－2
3．如图 K－9－3，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且将这个四边形分成①②③④四
个三角形．若 OA∶OC ＝ OB∶OD，则下列结论中一定正确的是( )
图 K－9－3
A．①和②相似 B．①和③相似
C．①和④相似 D．③和④相似2
4．已知线段 AD，BC 相交于点 O，OB∶OD＝3∶1，若 OA＝12 cm，OC＝4 cm，AB＝30 cm，则 CD
的长为( )
A．5 cm B．10 cm C．45 cm D．90 cm
5．如图 K－9－4，在方格纸中，△ABC 和△EPD 的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点 P
所在的格点为( )
图 K－9－4
A．P1 B．P2
C．P3 D．P4
6．一个钢筋三角架的三边长分别为 20 cm，50 cm，60 cm，现在要做一个和它相似的钢筋三角
架，而只有长为 30 cm 和 50 cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段(允许有
余料)作为另两边，则不同的截法有( )
链接听课例1归纳总结
A．一种 B．两种
C．三种 D．四种或四种以上
二、填空题
7．如图 K－9－5，D 是△ABC 内的一点，连接 BD 并延长到点 E，连接 AD，AE，若
AD
AB＝
DE
BC＝
AE
AC，
且∠CAE＝29°，则∠BAD＝________°.
图 K－9－5
8．如图 K－9－6 所示，D 是∠ABC 平分线上的一点，AB＝15 cm，BD＝12 cm，要使△ABD∽△
DBC，则 BC 的长为________cm.
图 K－9－6
9．如图 K－9－7 所示，正方形 ABCD 的边长为 2，AE＝EB，MN＝1，线段 MN 的两端分别在 CB，CD
上滑动，当 CM＝________时，△AED 与以 M，N，C 为顶点的三角形相似．
图 K－9－7
10．如图 K－9－8，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI 是 4 个全等的等腰三角形，底边 BC，3
CE ，EG ，GI 在同一直线上，且 AB ＝2 ，BC ＝1 ，连接 AI ，交 FG 于点 Q ，则 QI ＝________.
链接听课例2归纳总结
图 K－9－8
三、解答题
11．如图 K－9－9，已知
AB
DB＝
BC
BE＝
CA
ED，则∠ABD 与∠CBE 相等吗？为什么？
图 K－9－9
12．如图 K－9－10，在△ABC 中，已知 AB＝AC，点 D，E，B，C 在同一条直线上，且 AB 2＝
BD·CE.求证：△ABD∽△ECA.
图 K－9－10
13．如图 K－9－11 所示，在正方形 ABCD 中，已知 P 是 BC 边上的点，且 BP＝3PC，Q 是 CD 的中
点，△ADQ 与△QCP 相似吗？请说明理由．
链接听课例2归纳总结
图 K－9－114
14．如图 K－9－12，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，∠AED＝∠B，射线 AG 分别交线
段 DE，BC 于点 F，G，且
AD
AC＝
DF
CG.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若
AD
AC＝
1
2，求
AF
FG的值．
图 K－9－12
动态
探究如图 K－9－13，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BC＝10 cm，AC＝6 cm，在线段 BC 上，动点 P 以 2
cm/s 的速度从点 B 向点 C 匀速运动；同时在线段 CA 上，点 Q 以 a cm/s 的速度从点 C 向点 A 匀速运
动，当点 P 到达点 C(或点 Q 到达点 A)时，两点停止运动．
(1)当点 P 运动
30
11 s 时，△CPQ 与△ABC 第一次相似，求点 Q 的速度；
(2)在(1)的条件下，当△CPQ 与△ABC 第二次相似时，求点 P 总共运动了多少秒．
图 K－9－135
详解详析
[课堂达标]
1．[解析] A 因为
5
1 ＝
10
2 ＝
5
5＝ 5，即两个三角形的三边对应成比例，所以甲、乙两个
三角形一定相似．
2．[解析] B 设网格中小正方形的边长为 1.首先判断出题图中的三角形是直角三角形，根据
勾股定理求出两直角边长分别是 2和 2 2，然后根据两边成比例且夹角相等的三角形相似可知选
B.
3．[解析] B 两个三角形两边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似．
4．[解析] B ∵
OB
OD＝
OA
OC＝
3
1，∠AOB＝∠COD，∴△AOB∽△COD，
∴
AB
CD＝
OB
OD，即
30
CD＝
3
1，
∴CD＝10 (cm)．故选 B.
5．[解析] C ∵∠BAC＝∠PED，
且
AB
AC＝
3
2，
∴当
EP
ED＝
3
2时，△ABC∽△EPD.
∵DE＝4，∴EP＝6，∴点 P 落在 P3 处．
6．[解析] B 由相似三角形对应边成比例可知，只能将 30 cm 长的一根作为一边，再从 50 cm
长的一根上截下两段．
设从 50 cm 长的钢筋上截下的两段分别长 x cm，y cm(x＜y)，
当 30 cm 长的边对应 20 cm 长的边时，
20
30＝
50
x ＝
60
y ，∴x＝75 cm，x＞50 cm，不成立；
当 30 cm 长的边对应 50 cm 长的边时，
20
x ＝
50
30＝
60
y ，∴x＝12 cm，y＝36 cm，x＋y＝48 cm＜50
cm，成立；
当 30 cm 长的边对应 60 cm 长的边时，
20
x ＝
50
y ＝
60
30，∴x＝10 cm，y＝25 cm，x＋y＝35 cm＜50
cm，成立．故有两种截法．故选 B.
7．[答案] 29
[解析] ∵
AD
AB＝
DE
BC＝
AE
AC，
∴△ADE∽△ABC，6
∴∠DAE＝∠BAC，
即∠BAD＋∠DAC＝∠DAC＋∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE＝29°.
8．[答案]
48
5
[解析] ∵△ABD∽△DBC，
∴
AB
DB＝
BD
BC，∴BC＝
BD2
AB ＝
12
15
2＝
48
5 (cm)．
9．[答案]
5
5 或
2 5
5
[解析] 只需
AD
CM＝
AE
CN或
AD
CN＝
AE
CM，即可得这两个三角形相似，但它们的比值都等于
DE
MN.
∵AD＝2，AE＝1，∴DE＝ 5，
∴
2
CM＝
5
1 或
1
CM＝
5
1 ，
∴CM＝
2 5
5 或 CM＝
5
5 .
[点评] 弄清两个三角形相似需具备的条件和各种情形．
10．[答案]
4
3
[解析] ∵△ABC，△DCE，△FEG，△HGI 是 4 个全等的等腰三角形，∴HI＝AB＝2，GI＝BC＝1，
BI＝4BC＝4，
∴
AB
BI＝
2
4＝
1
2，
BC
AB＝
1
2，
∴
AB
BI＝
BC
AB.
又∵∠ABI＝∠ABC，
∴△ABI∽△CBA，
∴
AC
AI＝
AB
BI.
∵AB＝AC，∴AI＝BI＝4.
∵∠ACB＝∠FGE，∴AC∥FG，
∴
QI
AI＝
GI
CI＝
1
3，∴QI＝
1
3AI＝
4
3.
11．解：∠ABD＝∠CBE.理由如下：
因为
AB
DB＝
BC
BE＝
CA
ED，所以△BAC∽△BDE，
所以∠ABC＝∠DBE，
则∠ABC－∠DBC＝∠DBE－∠DBC，
即∠ABD＝∠CBE.
12．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，
∴∠ABD＝∠ACE.
∵AB2＝BD·CE，
∴
AB
CE＝
BD
AB，即
AB
EC＝
BD
CA，
∴△ABD∽△ECA.
13．[解析] △ADQ 与△QCP 中已有一角对应相等，条件中告诉了边之间的关系，判断两三角形
是否相似，就是看夹已知角的两边是否对应成比例．
解：相似．理由如下：
设 PC＝a，则 BP＝3a，BC＝BP＋PC＝4a.
∵Q 是 CD 的中点，∴DQ＝QC＝
1
2CD＝2a，7
∴
AD
QC＝
4a
2a＝2，
DQ
CP＝
2a
a ＝2，∴
AD
QC＝
DQ
CP.
又∵∠D＝∠C＝90°，∴△ADQ∽△QCP.
[点评] 当两个三角形中已有一个角对应相等时，要判定两三角形相似，只需证明夹这个角的两
边对应成比例即可．
14．解：(1)证明：因为∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，
所以∠ADF＝∠C.
又因为
AD
AC＝
DF
CG，所以△ADF∽△ACG.
(2)因为△ADF∽△ACG，所以
AD
AC＝
AF
AG.
又因为
AD
AC＝
1
2，所以
AF
AG ＝
1
2，所以
AF
FG ＝1.
[素养提升]
解：(1)如图①，BP＝
30
11×2＝
60
11(cm)．
依题意，知当
QC
AC＝
PC
BC时，△CPQ 与△ABC 第一次相似，
即
30a
11
6 ＝
10－
60
11
10 ，解得 a＝1，
∴点 Q 的速度为 1 cm/s.
(2)如图②，设点 P 运动了 t s.
依题意，知当
QC
BC＝
PC
AC时，△CPQ 与△ABC 第二次相似，即
t
10＝
10－2t
6 ，解得 t＝
50
13，
∴点 P 总共运动了
50
13 s.
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