3.5 圆周角(1)
(1)圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.(2)直径(或半圆)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
1.如图所示，在⊙O中，OD⊥BC，∠BOD=60°，则∠CAD的度数为(D).
A.15° B.20° C.25° D.30°
(第1题) （第2题）(第3题)(第4题)
2.如图所示，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为(B).
A.100° B.110° C.115° D.120°
3.如图所示，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点.若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为(A).
A.3 B.4 C. D.5
4.如图所示，ABCD的顶点A，B，D在⊙O上，顶点C在⊙O的直径BE上，连结AE，∠E=36°，则∠ADC的度数为(B).
A.44° B.54° C.72° D.53°
5.如图所示，在△ABC中，AB是⊙O的直径，∠B=60°，∠C=70°，则∠BOD的度数为(B).
A.90° B.100° C.110° D.120°
(第5题)(第6题)(第7题)(第8题)
6.如图所示，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=32°，则∠C= 58° .
7.如图所示，点B，D，C是⊙A上的点，∠BDC=130°，则∠BAC= 100° ．
8.如图所示，在△ABC中，AB=AC.以AB为直径作半⊙O，交BC于点D.若∠BAC=40°，则的度数是 140° .
9.如图所示，已知△ABC，以AB为直径的半圆O交AC于点D，交BC于点E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
(第9题) （第9题答图）
【答案】如答图所示，连结AE.∵AB是半圆O的直径，∴∠AEB=90°.∴AE⊥BC.∵BE=CE，∴AB=AC.∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE.∴∠BAC=40°.∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°.
(第10题)
10.如图所示，△ABD是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，C为的中点，AD分别与BC，OC交于E，F两点.求证：
(1)OF∥BD．
(2)若∠C=30°，则AD平分OC．
【答案】(1)∵OC为半径，点C为中点，∴AF=DF.∵AO=BO，∴OF∥BD.
（第10题答图）
(2)如答图所示，延长CO交⊙O于点N.∵∠C=30°，∴∠BON=60°.∵∠AOC=∠BON，∴∠AOC=60°.∵OC为半径，C为中点，∴OF⊥AD.∴∠OFA=90°.∴∠A=30°.∴OF=OA=OC，即AD平分OC.
11.如图所示，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M是半径OD上任意一点.若∠BDC=40°，则∠AMB的度数不可能是(D).
A.45° B.60° C.75° D.85°
（第11题） (第12题) （第13题） （第14题）
12.如图所示，⊙O的直径AB为8，P是上半圆(点A，B除外)上任一点，∠APB的平分线交⊙O于点C，弦EF过AC，BC的中点M，N，则EF的长是(A).
A.4 B.2 C.6 D.2
13.如图所示，A，B，C为⊙O上的三个点，∠BOC=2∠AOB，∠BAC=40°，则∠ACB= 20° .
14.AB为半圆O的直径，现将一把等腰直角三角尺如图所示放置，锐角顶点P在半圆上，斜边过点B，一条直角边交该半圆于点Q.若AB=2，则线段BQ的长为 .
(第15题)
15.如图所示，D为边AC上一点，O为边AB上一点，AD=DO.以点O为圆心，OD长为半径作圆，交AC于另一点E，交AB于点F，G，连结EF.若∠BAC=22°，则∠EFG= 33° ．
16.我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.则圆心角∠AOB的度数等于它所对的弧的度数，记为：.由此可知：命题“圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半”是真命题，请结合图1给予证明(不要求写已知、求证，只需直接证明)，并解决以下的问题．
(1)如图2所示，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆内一点P，求证：．
(2)如图3所示，⊙O的两条弦AB，CD相交于圆外一点P.(1)中的结论是否成立？如果成立，给予证明；如果不成立，写出一个类似的结论(不要求证明).
(第16题) （第16题答图）
【答案】∵∠APB=∠AOB，,即圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半.
(1)如答图所示，连结BC，则∠APC=∠PCB+∠PBC.∵.
(2)(1)中的结论不成立.类似的结论为：.
（第17题
17.【毕节】如图所示，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为(C).
A.30° B.50° C.60° D.70°
18.【临沂】如图所示，∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D，∠ABC的平分线交AD于点E.
(1)求证：DE=DB.
(2)若∠BAC=90°，BD=4，求△ABC外接圆的半径.
（第18题） （第18题答图）
【答案】(1)∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.又∵∠DBC=∠CAD，∴∠DBC=∠BAD.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE.∵∠DBE=∠CBE+∠DBC，∠DEB=∠ABE+∠BAD，∴∠DBE=∠DEB.∴DE=DB.
(2)如答图所示，连结CD.由(1)得，∴CD=BD=4.∵∠BAC=90°，∴BC是直径.∴∠BDC=90°.∴BC==4.∴△ABC外接圆的半径=×4=2.
19.研究发现：当四边形的对角线互相垂直时，该四边形的面积等于对角线乘积的一半.如图1所示，已知四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC=BD，且AC⊥BD.
(1)求证：AB=CD.
(2)若⊙O的半径为8，的度数为120°，求四边形ABCD的面积.
(3)如图2所示，作OM⊥BC于点M，请猜测OM与AD的数量关系，并证明你的结论.
图1图2（第19题）图1图2（第19题答图）
【答案】(1)∵AC=BD，∴，∴AB=CD.
(2)如答图所示，连结OB，OD，作OH⊥BD于点H，∵的度数为120°，∴∠BOD=120°.∴∠BOH=60°.则BH=OB=4，∴BD=8则四边形ABCD的面积S=×AC×BD=96.
(3)AD=2OM.证明：如答图2所示，连结OB，OC，OA，OD，作OE⊥AD于点E.∵OE⊥AD，∴AE=DE.
∵∠BOC=2∠BAC，而∠BOC=2∠BOM，∴∠BOM=∠BAC.同理可得∠AOE=∠ABD.∵BD⊥AC，∴∠BAC+∠ABD=90°.∴∠BOM+∠AOE=90°.∵∠BOM+∠OBM=90°，∴∠OBM=∠AOE.在△BOM和△OAE中，∵,∴△BOM≌△OAE.∴OM=AE.∴AD=2OM.
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