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第三章检测
(时间:90分钟 满分:100分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知在正方体ABCD - A1B1C1D1中,E为侧面BCC1B1的中心.
A.1 B
解析:
∴x=1,y=zx+y+z=2,故选C.
答案:C
2.已知i,j,k为单位正交基底,a=3i+2j-k,b=i-j+2k,则5a与3b的数量积等于( )
A.-15 B.-5 C.-3 D.-1
解析:a=(3,2,-1),b=(1,-1,2),
故5a=(15,10,-5),3b=(3,-3,6),
∴5a·3b=45-30-30=-15.
答案:A
3.已知向量ab=(x,1,2),其中x>0,若a∥b,则x的值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
解析:a∥b⇔存在λ∈R使a=λb⇔
答案:B
4.已知A,B,C三点不共线,对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )
A
B
C
D
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解析:选项D中的三个系数M与点A,B,C一定共面.
答案:D
5.若a,b,c是空间的非零向量,则下列命题中的真命题是 ( )
A.(a·b)c=(b·c)a
B.若a·b=-|a|·|b|,则a∥b
C.若a·c=b·c,则a∥b
D.若a·a=b·b,则a=b
解析:(a·b)c是与c共线的向量,(b·c)a是与a共线的向量,a与c不一定共线,故A项为假命题;
若a·b=-|a|·|b|,则a与b方向相反,所以a∥b,故B项为真命题;
若a·c=b·c,则(a-b)·c=0,即(a-b)⊥c,不能得出a∥b,故C项为假命题;
若a·a=b·b,则|a|=|b|,a与b方向未必相同,故不能得出a=b,所以D项为假命题.
答案:B
6.若向量a=(1,x,2),b=(2,-1,2),且a,b夹角的余弦值
A.2 B.-2
C.-2
解析:cos
解得x=-2或x
答案:C
7.在四棱锥P - ABCD中,底面ABCD是平行四边形
A.相交
B.垂直
C.不垂直
D.成60°角
解析:⊥平面ABCD.
答案:B
8.下面命题中,正确的命题有( )
①若n1,n2分别是不同平面α,β的法向量,则n1∥n2⇔α∥β;
②若n1,n2分别是平面α,β的法向量,则α⊥β⇔n1·n2=0;
③若n是平面α的法向量,b,c是α内两个不共线的向量,a=λb+μc(λ,μ∈R),则n·a=0;
④若两个平面的法向量不垂直,则这两个平面一定不垂直.
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
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答案:D
9.如图,在正四棱柱ABCD - A1B1C1D1中,AA1=2AB,则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )
A
C
解析:用坐标法求向量的夹角.
答案:D
10.已知向量n=(1,0,-1)与平面α垂直,且α经过点A(2,3,1),则点P(4,3,2)到α的距离为( )
A
C
解析:
又n与α垂直,
所以P到α的距离
故选B.
答案:B
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱CD,CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 .
解析:如图,以点D为原点,以DA,DC,DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2,A1M与
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DN所成的角的大小为90°.
答案:90°
12.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),若直线OA上的一点H(x,y,z),满足BH⊥OA,则x= ,y= ,z= .
解析:
∵BH⊥OA,
∴(x,y-1,z-1)·(-1,1,0)=0.
又OH∥OA,
∴(x,y,z)=k(-1,1,0),
联立解得x=
答案:
13.已知|a|=|b|=|c|=1,a+b+c=0,则a·c+b·c+a·b= .
解析:设a·c+b·c+a·b=x,
则2x=(a+b)·c+(b+c)·a+(c+a)·b
=-|c|2-|a|2-|b|2=-3,
解得x=
答案:
14.已知a=(2,-1,2),b=(2,2,1),则以a,b为邻边的平行四边形的面积为 .
解析:因为|a|=|b|,所以平行四边形为菱形.
又a+b=(4,1,3),a-b=(0,-3,1),
|a+b||a-b|
所以S
答案:
15.给出命题:
①在▱ABCD中
②在△ABC中,△ABC是锐角三角形;
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③在梯形ABCD中,E,F分别是两腰BC,DA的中点,
以上命题中,正确命题的序号是 .
解析:①满足向量运算的平行四边形法则,故正确;
·cos A>0⇒∠A
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