2017-2018学年高中数学人教A版浙江专版必修4阶段质量检测（二） 平面向量 Word版含解析】.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 阶段质量检测（二） 平面向量 ‎(时间120分钟　满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,3)，那么|a＋b|等于(　　)‎ A．5　　　　　　　　　　　 B. C. D．13‎ 解析：选B　因为a＋b＝(3,2)，所以|a＋b|＝＝，故选B.‎ ‎2．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝(　　)‎ A．－4 B．－3‎ C．－2 D．－1‎ 解析：选B　因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.‎ ‎3．设点A(－1,2)，B(2,3)，C(3，－1)，且＝2－3，则点D的坐标为(　　)‎ A．(2,16) B．(－2，－16)‎ C．(4,16) D．(2,0)‎ 解析：选A　设D(x，y)，由题意可知＝(x＋1，y－2)，＝(3,1)，＝‎ ‎(1，－4)，‎ ‎∴2－3＝2(3,1)－3(1，－4)＝(3,14)．‎ ‎∴∴故选A.‎ ‎4．某人在静水中游泳，速度为4 km/h，水流的速度为4 km/h.他沿着垂直于对岸的方向前进，那么他实际前进的方向与河岸的夹角为(　　)‎ A．90 ° B．30°‎ C．45° D．60°‎ 解析： 选D　如图，用表示水速，表示某人垂直游向对岸的速度，则实际前进方向与河岸的夹角为∠AOC.‎ 于是tan∠AOC＝＝＝＝，‎ ‎∴∠AOC＝60°，故选D. ‎ ‎5．设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且＝2，＝2，＝2，则＋＋与 (　　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．反向平行 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：选A　∵＋＋＝(＋)＋(＋)＋(＋)‎ ‎＝＋＋ ‎＝＋＋＋＝－，‎ ‎∴(＋＋)与平行且方向相反．‎ ‎6．设a，b是两个非零向量(　　)‎ A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则a＋b＝|a|－|b|‎ C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b|‎ 解析：选C　若|a＋b|＝|a|－|b|，则a，b共线，即存在实数λ，使得a＝λb，故C正确；选项A：当|a＋b|＝|a|－|b|时，a，b可为异向的共线向量；选项B：若a⊥b，由矩形得|a＋b|＝|a|－|b|不成立；选项D：若存在实数λ，使得b＝λa，a，b可为同向的共线向量，此时显然 |a＋b|＝|a|－|b|不成立．‎ ‎7．已知平面上直线l与e所在直线平行且e＝，点O(0,0)和A(1，－2)在l上的射影分别是O′和A′，则＝λe，其中λ等于(　　)‎ A. B．－ C．2 D．－2‎ 解析：选D　由题意可知||＝||cos(π－θ)(θ为与e的夹角)．‎ ‎∵O(0,0)，A(1，－2)，∴＝(1，－2)．‎ ‎∵e＝，∴·e＝1×＋(－2)×＝－2＝||·|e|·cos θ，∴||·cos θ＝－2.‎ 又∵||＝|λ|·|e|，∴λ＝±2.‎ 又由已知可得λ0，则△ABC为锐角三角形．‎ 其中正确的命题有(　　)‎ A．①② B．①④‎ C．②③ D．②③④‎ 解析：选C　∵－＝＝－≠，∴①错误．＋＋＝＋＝－＝0，∴②正确．由(＋)·(－)＝－＝0，得||＝||，∴△ABC为等腰三角形，③正确．·>0⇒cos〈，〉>0，即cos A>0，∴A为锐角，但不能确定B，C的大小，∴不能判定△ABC是否为锐角三角形，∴④错误，故选C.‎ 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎9．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.‎ 解析：|5a－b|＝＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝7.‎ 答案：7‎ ‎10．在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________，y＝________.‎ 解析：∵＝2，∴＝.‎ ‎∵＝，∴＝(＋)，‎ ‎∴＝－＝(＋)－ ‎＝－.‎ 又＝x＋y，‎ ‎∴x＝，y＝－.‎ 答案：　－ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎11．已知向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则|c|＝________，|a－2b＋3c|＝________.‎ 解析：不妨设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1，所以c＝(－1，－1)，|c|＝.所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以|a－2b＋3c|＝＝.‎ 答案：　 ‎12．若向量a与b满足|a|＝，|b|＝2，(a－b)⊥a.则向量a与b的夹角等于________，|a＋b|＝________.‎ 解析：因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝0，所以a·b＝2，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以〈a，b〉＝.因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2×2＋4＝10，所以|a＋b|＝.‎ 答案：　 ‎13．设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a，b)＝acos θ－bsin θ，若e1，e2均为单位向量，且e1·e2＝，则向量f(e1，e2)的模为________，向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为________．‎ 解析：∵e1·e2＝，且e1，e2均为单位向量，∴向量e1与e2的夹角为30°，‎ ‎∴f(e1，e2)＝e1cos 30°－e2sin 30°＝e1－e2，‎ ‎∴|f(e1，e2)|＝ ‎＝ ＝.‎ ‎∵向量e1与e2的夹角为30°，∴向量e2与－e1的夹角为150°，‎ ‎∴f(e2，－e1)＝e2cos 150°＋e1sin 150°＝e1－e2，‎ ‎∴f(e1，e2)·f(e2，－e1)＝·＝e－e1·e2＋e＝0，‎ 故向量f(e1，e2)与f(e2，－e1)的夹角为.‎ 答案：　 ‎14．已知向量与的夹角为120 °，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析：＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)··＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.‎ 答案： ‎15.如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2，AD＝DC＝1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，＝λ，＝(1－λ)，则·的取值范围是________．‎ 解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则D(0,1)，C(1,1)．设Q(m，n)，由＝λ得，(m，n－1)＝λ(1,0)，即m＝λ，n＝1.又B(2,0)，设P(s，t)，由＝(1－λ)得，(s－1，t－1)＝(1－λ)(1，－1)，即s＝2－λ，t＝λ，所以·＝λ(2－λ)＋λ＝－λ2＋3λ，λ∈[0,1]．故·∈[0,2]．‎ 答案：[0,2]‎ 三、解答题(本大题共5小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．(本小题满分14分)平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点M为直线OP上的一动点．‎ ‎(1)当·取最小值时，求的坐标；‎ ‎(2)在(1)的条件下，求cos∠AMB的值．‎ 解：(1)设＝(x，y)，∵点M在直线OP上，‎ ‎∴向量与共线，又＝(2,1)．‎ ‎∴x×1－y×2＝0，即x＝2y.‎ ‎∴＝(2y，y)．又＝－，＝(1,7)，‎ ‎∴＝(1－2y,7－y)．‎ 同理＝－＝(5－2y,1－y)．‎ 于是·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)＝5y2－20y＋12.‎ 可知当y＝＝2时，·有最小值－8，此时＝(4,2)．‎ ‎(2)当＝(4,2)，即y＝2时，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 有＝(－3,5)，＝(1，－1)，‎ ‎||＝，||＝，‎ ‎·＝(－3)×1＋5×(－1)＝－8.‎ cos∠AMB＝＝＝－.‎ ‎17．(本小题满分15分)已知O，A，B是平面上不共线的三点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，‎ ‎(1)用，表示.‎ ‎(2)若点D是OB的中点，证明四边形OCAD是梯形．‎ 解：(1)因为2 ＋＝0，‎ 所以2(－)＋(－)＝0，‎ ‎2－2＋－＝0，‎ 所以＝2－.‎ ‎(2)证明：如图，‎ ‎＝＋＝－＋‎ ‎＝(2－)．‎ 故＝.即DA∥OC，且DA≠OC，故四边形OCAD为梯形．‎ ‎18．(本小题满分15分) ‎ 如图，平行四边形ABCD中，＝a，＝b，H，M分别是AD，DC的中点，F使BF＝BC.‎ ‎(1)以a，b为基底表示向量与；‎ ‎(2)若|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角为120°，求·.‎ 解：(1)连接AF，由已知得＝＋DM―→＝a＋b.‎ ‎∵＝＋＝a＋b，‎ ‎∴＝HA―→＋＝－b＋＝a－b.‎ ‎(2)由已知得a·b＝|a||b|cos 120°＝3×4× ‎＝－6，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 从而·‎ ‎＝· ‎＝|a|2＋a·b－|b|2‎ ‎＝×32＋×(－6)－×42＝－.‎ ‎19．(本小题满分15分)在△ABC中，·＝0，||＝12，||＝15，l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点．‎ ‎(1)求·的值；‎ ‎(2)判断·的值是否为一个常数，并说明理由．‎ 解：(1)∵·＝0，∴AB⊥AC.‎ 又||＝12，||＝15，∴||＝9.‎ 由已知可得＝(＋)，＝－，‎ ‎∴·＝(＋)·(－)‎ ‎＝(－)‎ ‎＝(144－81)＝.‎ ‎(2)·的值为一个常数．‎ 理由：∵l为线段BC的垂直平分线，l与BC交于点D，E为l上异于D的任意一点，∴·＝0.‎ 故·＝(＋)·＝·＋·＝·＝.‎ ‎20．(本小题满分15分)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a＝(－1,2)，且点A(8,0)，B(n，t)，C(ksin θ，t)，θ∈.‎ ‎(1)若⊥a，且||＝||，求向量；‎ ‎(2)若向量与向量a共线，当k>4，且tsin θ取最大值4时，求·.‎ 解：(1)因为＝(n－8，t)，且⊥a，‎ 所以8－n＋2t＝0，即n＝8＋2t.‎ 又||＝||，‎ 所以5×64＝(n－8)2＋t2＝5t2，解得t＝±8.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以＝(24,8)或(－8，－8)．‎ ‎(2)因为＝(ksin θ－8，t)，与a共线，‎ 所以t＝－2ksin θ＋16.‎ 又tsin θ＝(－2ksin θ＋16)sin θ ‎＝－2k2＋，‎ 当k>4时，1>>0，‎ 所以当sin θ＝时，tsin θ取得最大值；‎ 由＝4，得k＝8，此时θ＝，故＝(4,8)，‎ 所以·＝8×4＋8×0＝32.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费