《等比数列前n项和》教学设计

等比数列的前 项和（第一课时） 教材：北师大版高中数学必修五第一章第三节 一、教材分析 从教材的编写顺序上来看，等比数列的前 n 项和是第一章“数列”第三节的内容，一方 面它是“等差数列的前 n 项和”与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有 着密切的联系，另一方面它又为进一步学习数学归纳法等内容作准备. 就知识的应用价值上来看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在 公式推导中所蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数列求和问题中有着广泛的应用；另 外它在实际问题的计算中也经常涉及到，比如“分期付款”的相关计算. 就内容的人文价值上来看，等比数列的前 n 项和公式的探究与推导需要学生观察、分析、 归纳、猜想，有助于培养学生的思维能力和创新意识,同时，也是培养学生应用意识和数学能 力的良好载体． 教师教学用书安排“等比数列的前 n 项和”这部分内容授课时间 2 课时，本节课作为第 一课时，重在研究等比数列的前 n 项和公式的推导及简单应用，教学中注重公式的形成推导 过程并充分揭示公式的结构特征和内在联系. 二、教学目标 依据新课程标准，结合学生的认知水平和年龄特点，确定本节课的教学目标如下： 知识与技能目标：理解等比数列的前 n 项和公式的推导方法（错位相减法）；掌握等比 数列的前 n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题． 过程与方法目标：通过公式的推导过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决 问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想 及转化思想，优化思维品质． 情感与态度目标：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇 于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称 美、形式的简洁美、数学的严谨美． 三、教学重点和难点 重点：等比数列的前 项和公式的推导及其简单应用．从教材体系来看，它为后继学习 提供了知识基础，具有承上启下的作用；从知识特点而言，蕴涵丰富的思想方法；就能力培 养来看，通过公式推导教学可培养学生的运用数学语言交流表达的能力. 突出重点方法：“抓三线、突重点”，即(一)知识技能线：问题情境→公式推导→公式 运用；（二）过程与方法线:特殊到一般、猜想归纳→ 错位相减法等→转化、方程思想；（三） 能力线：观察能力→数学思想解决问题能力→灵活运用能力及严谨态度. 难点：等比数列的前 项和公式的推导．从学生认知水平来看，学生的探究能力和用数 n n n学语言交流的能力还有待提高.从知识本身特点来看，等比数列前n项和公式的推导方法和等 差数列的的前n项和公式的推导方法可比性低，无法用类比的方法进行，它需要对等比数列的 概念和性质能充分理解并融会贯通，而知识的整合对学生来说又是比较困难的，而且错位相 减法是第一次碰到，对学生来说是个新鲜事物. 突破难点手段：“抓两点，破难点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣， 鼓励学生大胆猜想、积极探索，及时地给以鼓励，使他们知难而进；二抓知识选择的切入点， 从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，教师在学生主体下给予适当的提示和指导. 四、教学方法 利用计算机和实物投影等辅助教学，采用启发和探究-建构教学相结合的教学模式. 五、教学过程 教 学 过 程 设计意图 创 设 情 境 【故事导入】 阿凡提与高利贷商人的约定 集市上，阿凡提遇见一个高利贷商人在吆喝：“放金币 喽，我的金币是个宝贝，只要把它埋在地里一天一夜，就会 变成 1000 个金币。”阿凡提说：“我借一个金币！”高利贷 商人说：“那你得还我 1000 个金币”阿凡提说：“好，我连 续 15 天借你金币，第一天借 1 个金币，以后每天都是前一天 的 2 倍。15 天后，开始偿还，每天还你 1000 个金币，30 天 后，我们互不相欠。” 高利贷商人一算计，眉开眼笑，立即答应。 【教师提问】 (1)大家来想一下：高利贷商人能否笑到最后？ (2) (观察数字特征，引出课题) 通过故事情 境引入，以 趣 引 思 , 激 发学生学习 热情. 探 究 1.解决情境问题：实际问题数学化，建立数学模型。 2.师生共同探究： 3.师生共同归纳 一 般 等 比 数 列 前 n 项 和 ： 即 方法 1：错位相减法 领悟数学应 用价值 从特殊到一 般 , 从 模 仿 到创新，有 利于学生的 知识迁移和 能力提高． 通过学生个 别学习，互 相讨论，揭 2 3 14 15 1 2 2 2 2S = + + + + + 2 3 14 15 1 2 2 2 2S = + + + + + ?1321 =+++++= − nnn aaaaaS  ?1 1 2 1 2 111 =++++= −− nn n qaqaqaqaaS     ++++= ++++= − −− nn n nn n qaqaqaqaqaqS qaqaqaqaaS 1 1 1 3 1 2 11 1 1 2 1 2 111   n n qaaSq 11)1( −=−∴问 题 方法 2：提取公比 q 方法 3：利用等比定理 …… 示知识的内 在联系. 通 过生生、师 生间的探讨、 合作，培养 学生的洞察 力．增强学 生思维的严 谨性. 辨 析 质 疑 1．口答： 在公比为 q 的等比数列 中 (1)若 ，则 ________ （2）若 ，则 ________ 2．判断是非： ① （ ） ② （ ） ③若 且 ，则 　　 （ ） 3．对公式的再认识． (1)、对公比 q 的分类讨论 (2)、公式中 n 的理解 剖析公式中 的基本量及 结构特征， 识记公式. 巩 固 提 高 例 1．已知 是等比数列，请完成下表： 题号 (1) 　　　　　 (2) 　　 　　 (3) 　　 　　 (4) 3 3 9 例 2．求等比数列 的第 5 项到第 10 项的 和． 熟练公式运 用，着重强 调公式的选 择. 本例由书中 的例题改编 而成，一题 多解及变式,       = ≠− − = 1 11 )1( 1 1 qna qq qa S n n 1 1 2 1 2 111 −− ++++= nn n qaqaqaqaaS  ）（ 2 1111 −+++= nqaqaaqa  ）（ 1 11 −−+= n n qaSqa n n qaaSq 11)1( −=−∴ = 1 2 a a = 2 3 a a = 3 4 a a qa a n n = −1 nn n n n aS aSq aaa aaa − −== +⋅⋅⋅++ +⋅⋅⋅++ − 1 121 32 qaaSq nn −=− 1)1( }{ na 3 1,3 2 1 == qa =nS 1,11 == qa =nS 21 )21(1)2(8421 1 − −×=−++−+− − nn  -1 2 3 -1 1 (1 2 )1 2 2 2 2 1 2 n n × −+ + + + + = − 0≠c 1≠c =++++ ncccc 2642  2 22 1 ])(1[ c cc n − − }{ na 1a q n na nS 2 1 2 1 8 27 3 2 8 2− 96− 63− ,16 1,8 1,4 1,2 1方法 1： 观察、发现： ． 方法 2： 此等比数列的连续项从第 5 项到第 10 项构成 一个新的等比数列：首项为 ，公比为 ， 项数为 ． 有利于提高 思维的灵活 性和梯度. 反 思 总 结 课堂小结 引导学生从知识、思想、方法三个方面进行总结． 从知识的归 纳延伸到思 想方法提炼， 把数学的学 习作为提高 学生数学素 养和文化水 平的有效途 径. 作 业 布 置 研究性作业：查阅“芝诺悖论”,并从数列求和的角度加以解 释． 布置弹性作 业使各个层 次的学生都 有 所 发 展 . 研究性学习， 旨在增长见 识，拓展视 野。 六、教学设计说明 1．情境设置生活化. 本着新课程的教学理念，考虑到高二学生的心理特点，让学生学生初步了解“数学来源 于生活”， 采用寓言故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的学习气氛，激发学生 的探究欲. 2．问题探究活动化． 教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程 的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体验 数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表达能 力，培养学生思维的发散性和严谨性. 3．辨析质疑结构化． 在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断对错练习.通过 总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块， 优化知识体系. 4101065 SSaaa −=+++  165 =a 2=q 6=n ( ) ( ) ( ) 30 1 8, 3 2 1 2 10 10 1 1 1 12 1 2 3 4 ...2 4 8 16 1 2 3 43 ...2 4 8 16 A B cm n n •书面作业 、必做题 课本: P 、选做题 画一个边长为 的正方形，再将这个正方形各 边的中点相连得到第二个正方形，以此类推一共 画了 个正方形，求这 个正方形的面积和. 求数列 ， ， ， 的前 项和. 求数列 ，，， 的前 项和. •4．巩固提高梯度化． 例 1 采用表格形式,突出表现五个基本量“知三求二”的关系，通过公式的正用和逆用进 一步提高学生运用知识的能力；例 2 由教科书中的例题改编而成，提高学生的模式识别的能 力，培养学生思维的深刻性和灵活性. 5．思路拓广数学化． 从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本 位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径.以生活中的实例作为思考，让学生认识到数 学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学． 6．作业布置弹性化． 通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识， 拓展学生的视野，提高学生的数学素养．