知识讲解_《不等式》全章复习与巩固_提高

1 《不等式》全章复习与巩固 【学习目标】 1. 了解不等式（组）的实际背景； 2. 通过图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系；会解一元二次不等式，对给定的一元二次 不等式，会设计求解的程序框图； 3. 能用平面区域表示二元一次不等式组，能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能 加以解决； 4. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题，注意基本不等式适用的条件. 【知识网络】 【要点梳理】 要点一：不等式的主要性质 (1)对称性： . (2)传递性： . (3)加法法则： ； . (4)乘法法则： ； ； . (5) 乘方法则： . (6) 开方法则： . 要点诠释：不等式性质中要注意等价双向推出和单向推出关系的不同. 要点二：三个“二次”的关系 abba cacbba >⇒>> , cbcaba +>+⇒> dbcadcba +>+⇒>> , bcaccba >⇒>> 0, bcaccba ⇒>>>> 0,0 0 n na b a b> > ⇒ > ( * 1)n n∈ >N ，且 0a b> > ⇒ n na b> ( * 1)n n∈ >N ，且2 1. 一元二次不等式 或 的解集： 设相应的一元二次方程 的两根为 ， ，则不等 式的解的各种情况如下表： 函数 （ ）的图象 方程 的根 有两相异实根 有两相等实根 无实根 的解集 R 的解集 2. 解一元二次不等式的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数： . （2）计算判别式 ，分析不等式的解的情况： ① 时，求根 （注意灵活运用因式分解和配方法）； ② 时，求根 ； ③ 时，方程无解. （3）写出解集. 2 0ax bx c+ + > 2 0ax bx c+ + < ( 0)a > 2 0ax bx c+ + = ( 0)a > 2121 xxxx ≤且、 acb 42 −=∆ 0>∆ 0=∆ 0a ( )2 0 0ax bx c a+ + = > )(, 2121 xxxx < a bxx 221 −== 2 0( 0)ax bx c a+ + > > { }21 xxxxx >< 或       −≠ a bxx 2 2 0( 0)ax bx c a+ + < > { }21 xxxx ∆ 0∆ > 1 2,x x 0∆ = a bxx 221 −== 0∆ 0Ax By C>+ + 0Ax By C+ + = 0Ax By C+ + = yx, yx, Ax By C+ + ( )0 0x y， 0 0Ax By C+ + 0Ax By C+ + ＞ 0C ≠ x y x y x y x y ( )z ax by a b= + ∈R， x y x y4 （2) 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3)求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； （4)作答． 要点四：基本不等式 1. 两个重要不等式 ① ，那么 （当且仅当 时取等号“=”） ② 基本不等式：如果 是正数，那么 （当且仅当 时取等号“=”）. 2. 算术平均数和几何平均数 ① 算术平均数： 称为 的算术平均数； ② 几何平均数： 称为 的几何平均数. 要点诠释：基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 3. 基本不等式的应用 ① ，且 （定值），那么当 时， 有最小值 ； ② ，且 （定值），那么当 时， 有最大值 . 要点诠释 ：在用基本不等式求函数的最值时，应具备的三个条件： ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 4. 几个常用变形不等式 ① （当且仅当 时等号成立）； , Ra b∈ 2 2 2a b ab+ ≥ a b= ,a b 2 a b ab + ≥ a b= 2 ba + ,a b ab ,a b , (0, )x y∈ +∞ xy P= x y= x y+ 2 P , (0, )x y∈ +∞ x y S+ = x y= xy 2S4 1 2 2 2 ( ) 2 a ba b ++ ≥ a b=5 ② （当且仅当 时等号成立）； ③ ；特别地： ； ④ . 【典型例题】 类型一：不等式性质的应用 例 1．已知 求证 . 【思路点拨】利用作差法比较两式大小. 【证明】 因为 ，所以 >0， ， 又因为 ， 所以 ， 即 ， 于是得 . 【总结升华】本题中不等号两边式子的符号可以确定，故也可采用作商法给予证明，同学们可以一试. 举一反三： 【变式】已知 ，则 成立的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 例 2 ． 已 知 函 数 ， 满 足 ， ， 那 么 的 取 值 范 围 0, 0,a b c> > < c c a b > 0a b> > c c a b > ( )2 4a b ab+ ≥ a b= ( )02 >⋅≥+ baa b b a ( )021 >≥+ aaa ba ababbaba +≥≥+≥+ 2 22 22 ( ), Ra b +∈ ( )c b ac c=a b ab ab 0b a < 0c < ( ) 0c b a ab > 0c c a b > ,m n R∈ 1 1 m n > 0m n> > 0n m> > ( ) 0mn m n− < 0m n< < 2( )f x ax c= − 4 (1) 1f− ≤ ≤ − 1 (2) 5f− ≤ ≤ (3)f6 是 . 【解析】利用整体的思想：将 用 和 表示，再利用不等式的性质写出 的取值范围. 解法一：方程思想(换元)： 由 ，求得 ∴ 又 ∴ ， 即 . 解法二：待定系数法 设 f(3)=9a-c=mf(1)+nf(2)=m(a-c)+n(4a-c) 解法三：数形结合(线性规划) 所确定区域如图： (3)f ( )1f ( )2f (3)f    =− =− )2(4 )1( fca fca [ ]1 (2) (1)3 4 1(1) (2)3 3 a f f c f f  = −  = − + )2(3 8)1(3 59)3( ffcaf +−=−= 3 40)2(3 8 3 8,3 20)1(3 5 3 5 ≤≤−≤−≤ ff 20)2(3 8)1(3 51 ≤+−≤− ff 20)3(1 ≤≤− f 5-4 9 3 ( )- - -1 8 3 mm n m n n  =+ = ⇒ ⇒ =  = 下略 -4 (1) -1 -4 - -1 -1 (2) 5 -1 4 - 5 f a c f a c ≤ ≤ ≤ ≤ ⇒ ≤ ≤ ≤ ≤ 7 设 ，将边界点(0，1)(3，7)代入即求出. 【总结升华】利用几个不等式的范围来确定某个不等式的范围是一类常见的综合问题，对于这类问题 要注意：“同向（异向）不等式的两边可以相加（相减）”，这种转化不是等价变形，在一个解题过程中多 次使用这种转化时，就有可能扩大真实的取值范围，解题时务必小心谨慎，先建立待求范围的整体与已知 范围的整体的等量关系，最后通过“一次性不等关系的运算，求得待求的范围”，是避免犯错误的一条途径. 举一反三： 【变式】已知 ， ，求 的取值范围. 【答案】[-3，10] 类型二：一元二次不等式的有关问题 例 3. 设 ， ，且 ，求 的取值范围． 【解析】令 由 ，及二次函数图象的性质可得 ，即 ，解之得 ． 因此 的取值范围是 ． 【总结升华】留足思考时间，弄清楚两个集合对应二次函数图象之间的关系． 举一反三： 【变式】若不等式 的解集为(-∞，-1] ∪[2，+ ∞），求实数 a 的值 【答案】由题设知 x=2 为方程 f(x)=0 的根， ∴f(2)=0 a=-2 ∴所求实数 a=-2 9 -z a c= 1 5a b− ≤ + ≤ 1 3a b− ≤ − ≤ 3 2a b− 2{ | 4 3 0}A x x x= − + < 2{ | 2 8 0}B x x x a= − + − ≤ A B⊆ a 2( ) 2 8f x x x a= − + − A B⊆ (1) 0 (3) 0 f f ≤  ≤ 1 2 8 0 9 6 8 0 a a − + − ≤  − + − ≤ 9a ≤ a 9a ≤ ( )( 1) 0x a x+ + ≥ ⇔8 例 4．不等式 的解集为{ }，则 =_______， =________. 【思路点拨】一元二次不等式 解集{ }中的端点 就是对于的方 程 的两个根，利用根与系数的关系（韦达定理）列方程组，即可求出 ， 的值. 【解析】由不等式的解集为{x|-1 02ax bx c+ + = x ( ) ( )21 1 1 0k x k x k− + + + + = k 5( 1,1) (1, )3 −  x ∈ ( )2 23 2 2 1x x m x x+ + > + + *( )m∈N m ∈ ( )2 23 2 2 1x x m x x+ + > + + ⇔ ∈ ( ) ( )23 2 2 0m x m x m− + − + − >（ ） 2 3 m 0 (2 m) 4(3 m)(2 m) 0 − >∴∆ = − − − − 0 且 Δ=b2-4ac