知识讲解_基本不等式_提高
加入VIP免费下载

知识讲解_基本不等式_提高

ID:104480

大小:1.18 MB

页数:18页

时间:2020-06-09

温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天资源网负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。
网站客服:403074932
资料简介
1 基本不等式 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明. 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一:基本不等式 1.对公式 及 的理解. (1)成立的条件是不同的:前者只要求 都是实数,而后者要求 都是正数; (2)取等号“=” 的条件在形式上是相同的,都是“当且仅当 时取等号”. 2.由公式 和 可以引申出常用的常用结论: (1) ( 同号); (2) ( 异号); (3) 或 . 要点诠释: 可以变形为: , 可以变形为: . 要点二:基本不等式 的证明 方法一:几何面积法 如图,在正方形 中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为 、 ,那么正方形的边长为 .这样,4 个直角三角形的面积 的和是 ,正方形 的面积为 .由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积,所以: .当直角三角形变为等腰直角三角形,即 时,正方形 缩为一个点,这时有 . 得到结论:如果 ,那么 (当且仅当 时取等号“=”) 特别的,如果 , ,我们用 、 分别代替 、 ,可得: 如果 , ,则 ,(当且仅当 时取等号“=”). 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ ,a b ,a b a b= 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 2b a a b + ≥ ,a b 2b a a b + ≤ − ,a b 2 22 ( 0, 0)1 1 2 2 a b a bab a b a b + +≤ ≤ ≤ > > + 2 2 2( ) ( 0, 0)2 2 a b a bab a b + +≤ ≤ > > 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2 a bab +≤ 2 a b ab + ≥ 2( )2 a bab +≤ a + bab 2 ≤ ABCD a b 2 2a b+ 2ab ABCD 2 2a b+ 2 2 2a b ab+ ≥ a b= EFGH 2 2 2a b ab+ = +, Ra b∈ 2 2 2a b ab+ ≥ a b= 0a > 0b > a b a b 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ a b=2 通常我们把上式写作:如果 , , ,(当且仅当 时取等号“=”) 方法二:代数法 ∵ , 当 时, ; 当 时, . 所以 ,(当且仅当 时取等号“=”). 要点诠释: 特别的,如果 , ,我们用 、 分别代替 、 ,可得: 如果 , ,则 ,(当且仅当 时取等号“=”). 通常我们把上式写作: 如果 , , ,(当且仅当 时取等号“=”). 要点三:基本不等式 的几何意义 如图, 是圆的直径,点 是 上的一点, , ,过点 作 交圆于点 D,连 接 、 . 易证 ,那么 ,即 . 这个圆的半径为 ,它大于或等于 ,即 ,其中当且仅当点 与圆心重合,即 时,等号成立. 要点诠释: 1. 在数学中,我们称 为 的算术平均数,称 为 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述 为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 如果把 看作是正数 的等差中项, 看作是正数 的等比中项,那么基本不等式可以叙 述为:两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四:用基本不等式 求最大(小)值 0a > 0b > 2 a bab +≤ a b= 2 2 22 ( ) 0a b ab a b+ − = − ≥ a b≠ 2( ) 0a b− > a b= 2( ) 0a b− = 2 2( ) 2a b ab+ ≥ a b= 0a > 0b > a b a b 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ a b= 0a > 0b > 2 a bab +≤ a b= a + bab 2 ≤ AB C AB AC a= BC b= C DC AB⊥ AD BD ~Rt ACD Rt DCB∆ ∆ 2CD CA CB= ⋅ CD ab= 2 a b+ CD 2 a b ab + ≥ C a b= 2 a b+ ,a b ab ,a b 2 a b+ ,a b ab ,a b a + bab 2 ≤3 在用基本不等式求函数的最值时,应具备三个条件:一正二定三等. ① 一正:函数的解析式中,各项均为正数; ② 二定:函数的解析式中,含变数的各项的和或积必须有一个为定值; ③ 三等:函数的解析式中,含变数的各项均相等,取得最值. 要点诠释: 1.两个不等式: 与 成立的条件是不同的,前者要求 a,b 都是实数,后者要 求 a,b 都是正数.如 是成立的,而 是不成立的. 2.两个不等式: 与 都是带有等号的不等式,对于“当且仅当……时,取“=”号 这句话的含义要有正确的理解. 当 a=b 取等号,其含义是 ; 仅当 a=b 取等号,其含义是 . 综合上述两条,a=b 是 的充要条件. 3.基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和,另一边是积的形式,则考虑 使用平均不等式;若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值,则“和”有最小值,对于给出的“积式”中的 各项的“和”为定值,则“积”有最大值. 4.利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件: ①各项都是正数; ②和(或积)为定值; ③各项能取得相等的值. 5.基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用,在应用时一般按以下步骤进行: ①先理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; ②建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; ③在定义域内,求出函数的最大或最小值; ④写出正确答案. 【典型例题】 类型一:对公式 及 的理解 例 1. , ,给出下列推导,其中正确的有 . (1) 的最小值为 ; (2) 的最小值为 ; 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 2 2( 3) ( 2) 2 ( 3) ( 2)− + − ≥ × − × − ( 3) ( 2) 2 ( 3) ( 2)2 − + − ≥ − × − 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 2 a ba b ab += ⇒ = 2 a b ab a b + = ⇒ = 2 a b ab + = 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 0a > 0b > 1a b ab + + 2 2 1 1( )( )a b a b + + 44 (3) 的最小值为 . 【思路点拨】利用基本不等式求最值,要注意使用的条件“一正、二定、三相等”,三个条件缺一不 可 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)∵ , ,∴ (当且仅当 时取等号). (2)∵ , ,∴ (当且仅当 时取等号). (3)∵ ,∴ , (当且仅当 即 时取等号) ∵ ,与 矛盾,∴上式不能取等号,即 . 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时,必须同时具备三个条件:“一正”,“二定”,“三等”, 缺一不可. 举一反三: 【变式 1】下列结论正确的是(  ) A.当 且 ≠1 时, B.当 >0 时, C.当 ≥2 时, 的最小值为 2 D.当 0< ≤2 时, 无最大值 【答案】 B 【变式 2】(2016 上海模拟)已知函数 ,(a>0),x∈(0,b),则下列判断正确的是( ) A.当 时,f(x)的最小值为 B.当 时,f(x)的最小值为 C.当 时,f(x)的最小值为 D.对任意的 b>0,f(x)的最小值均为 1 4a a + + 2− 0a > 0b > 1 12 2 2a b ab ab ab + + ≥ + ≥ 2 2a b= = 0a > 0b > 1 1 2( )( ) 2 4a b aba b ab + + ≥ ⋅ = a b= 0a > 1 1 14 4 2 ( 4) 4 24 4 4a a aa a a + = + + − ≥ + ⋅ − = −+ + + 14 4a a + = + 4 1 3a a+ = = −, 0a > 3a = − 1 24a a + > −+ 0x > x 1lg 2lgx x + ≥ x 1 2x x + ≥ x 1x x + x 1x x − 2 ( ) a xf x x += b a> 2 a 0 b a< ≤ 2 a 0 b a< ≤ 2a b b + 2 a5 【答案】∵ , ∴当 时, , 当且仅当 ,即 时取等号; 当 ,y=f(x)在(0,b)上单调递减, ∴ ,故 f(x)不存在最小值; 故选 A。 类型二:利用基本不等式证明不等式 例 2. 已知 、 、 都是正数,求证: . 【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑. 【解析】∵ 、 、 都是正数 ∴ (当且仅当 时,取等号) (当且仅当 时,取等号) (当且仅当 时,取等号) ∴ (当且仅当 时,取等号) 即 . 【总结升华】 1. 在运用 时,注意条件 、 均为正数,结合不等式的性质,进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时,三个式子才能相乘,最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中,常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式,以便于利用基本不等式. 举一反三: 【变式】已知 、 都是正数,求证: . 【答案】∵ 、 都是正数,∴ , , , , , (当且仅当 时,取等号) (当且仅当 时,取等号) 2 ( ) a x af x xx x += = + b a> ( ) 2f x a≥ ax x = x a= 0 b a< ≤ 2 ( ) a bf x b +< a b c ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ a b c 2 0a b ab+ ≥ > a b= 2 0b c bc+ ≥ > b c= 2 0c a ca+ ≥ > c a= ( )( )( ) 2 2 2 8a b b c c a ab bc ca abc+ + + ≥ ⋅ ⋅ = a b c= = ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ 2 a b ab + ≥ a b x y 2 2 3 3 3 3( )( )( ) 8x y x y x y x y+ + + ≥ x y 0x > 0y > 2 0x > 2 0y > 3 0x > 3 0y > 2 0x y xy+ ≥ > x y= 2 2 2 22 0x y x y+ ≥ > x y=6 (当且仅当 时,取等号) ∴ (当且仅当 时,取等号) 即 . 例 3. 已知 ,求证: . 【思路点拨】对于“和”式求最小值时,要设法配凑得“积”为定值,常采用“配分母”的办法. 【解析】 (当且仅当 即 ,等号成立). 【总结升华】注意凑出条件,再利用基本不等式证明. 举一反三: 【变式 1】已知 、 都是正数,求证: . 【答案】∵ 、 都是正数 ,∴ , , ∴ (当且仅当 即 时,等号成立) 故 . 【高清课堂:基本不等式 392186 例题 3】 【变式 2】已知 a>0,b>0,c>0,求证: . 【答案】证明: ∵a>0,b>0,c>0, ∴ , , . ∴ . 类型三:利用基本不等式求最值 例 4. 求函数 ( )的最小值. 【思路点拨】本题采用“配分母”的办法,所以整式部分一定应为(x-5)的倍数. 3 3 3 32 0x y x y+ ≥ > x y= 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3( )( )( ) 2 2 2 8x y x y x y xy x y x y x y+ + + ≥ ⋅ ⋅ = x y= 2 2 3 3 3 3( )( )( ) 8x y x y x y x y+ + + ≥ 3a > 4 73 aa + ≥− 4 4 4( 3) 3 2 ( 3) 3 2 4 3 73 3 3a a aa a a + = + − + ≥ ⋅ − + = + =− − − 4 33 aa = −− 5a = x y 2y x x y + ≥ x y 0x y > 0y x > 2 2x y x y y x y x + ≥ ⋅ = y x x y = x y= 2y x x y + ≥ bc ca ab a b ca b c + + ≥ + + 2 2 2bc ac abc ca b ab + ≥ = 2 2 2ac ab a bc ab c bc + ≥ = 2 2 2bc ab ab c ba c ac + ≥ = bc ca ab a b ca b c + + ≥ + + 9( ) 4 5f x x x = + − 5x >7 【解析】∵ ,∴ ∴ (当且仅当 即 时,取等号) 故当 时,函数 ( )的最小值为 32. 【总结升华】 1. 形如 ( , , )的函数的最值可以用基本不等式求最值; 2. 利用基本不等式求最值时,应注意“一正”,“二定”,“三相等”的条件. 举一反三: 【变式 1】已知 ,当 取什么值时,函数 的值最小?最小值是多少? 【答案】∵ ,∴ ,∴ (当且仅当 即 时,取等号) 故当 时, 的值最小为 18. 【变式 2】已知 ,求 的最大值. 【答案】∵ ,∴ , ∴ (当且仅当 ,即 时,等号成立) ∴ (当且仅当 ,即 时,等号成立) 故当 时, 的最大值为 4. 例 5. 已知 >0, >0,且 ,求 的最小值. 【思路点拨】要求 的最小值,根据基本不等式,应构建某个积为定值,这需要对条件进行必要的 变形,下面给出三种解法,请认真体会. 【解析】 方法一:∵ ,∴ ∵x>0,y>0,∴ (当且仅当 ,即 y=3x 时,取等号) 5x > 5 0x − > 9 9( ) 4( 5) 20 2 4( 5) 20 325 5f x x xx x = − + + ≥ − ⋅ + =− − 94( 5) 5x x − = − 35 2x − = 13 2x = 9( ) 4 5f x x x = + − 5x > ( ) Bf x Ax x = + 0x > 0A > 0B > 0x ≠ x 2 2 81( )f x x x = + 0x ≠ 2 0x > 2 2 2 2 81 81( ) 2 18f x x xx x = + ≥ ⋅ = 2 2 81x x = 3x = ± 3x = ± 2 2 81x x + 0x < 16( ) 20 4f x x x = + + 0x < 0x− > 4 4( ) 2 ( ) 2 2 4x xx x − + ≥ − ⋅ = × =− − 4x x − = − 2x = − 4( ) 20 4[( ) ] 20 4 4 4f x x x = − − + ≤ − × =− 4x x − = − 2x = − 2x = − ( )f x x y 1 9 1x y + = x y+ x y+ 1 9 1x y + = 1 9 9( ) 10 y xx y x y x y x y  + = + ⋅ + = + +   9 92 6y x y x x y x y + ≥ ⋅ = 9y x x y =8 又 ,∴x=4,y=12 ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 方法二:由 ,得 ∵x>0,y>0,∴y>9 ∵y>9,∴y-9>0, ∴ (当且仅当 ,即 y=12 时,取等号,此时 x=4) ∴当 x=4,y=12 时,x+y 取最小值 16. 【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法,方法二用了消元的方式化为函数的最值来求. 举一反三: 【高清课堂:基本不等式 392186 例题 1】 【变式 1】已知 >0, >0,且 ,则 的最小值为________. 【答案】 【变式 2】(2015 福建文)若直线 过点(1,1),则 a+b 的最小值等于( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 由已知得 , 则 , 因为 a>0,b>0,所以 因为 a>0,b>0,所以 故 a+b≥4,当 ,即 a=b=2 时取等号. 例 6. 已知 . (1)若 ,求 的最小值; (2)若 ,求 的最大值. 1 9 1x y + = 1 9 1x y + = 9 yx y = − 9 9 9 91 ( 9) 109 9 9 9 y yx y y y y yy y y y − ++ = + = + = + + = − + +− − − − 9 99 2 ( 9) 69 9y yy y − + ≥ − ⋅ =− − 99 9y y − = − x y 2 1x y+ = 1 1 x y + 3 2 2+ 1( 0 0)x y a ba b + = > >, 1 1 1a b + = 1 1( )( ) 2 b aa b a b a b a b + = + + = + + 2 2,+ ≥ ⋅ =b a b a a b a b 2 2,+ ≥ ⋅ =b a b a a b a b b a a b = 0a b >, 4ab = a b+ 4a b+ = ab9 【解析】(1) 方法一:∵ 且 , ∴ ,即 (当且仅当 时取等号) ∴ , 的最小值为 4. 方法二:∵ 且 , ∴ ,即 (当且仅当 时取等号) ∴ , 的最小值为 4. (2) 方法一:∵ ,∴ ,即 (当且仅当 时取等号) ∴ , 的最大值为 4. 方法二:∵ ,∴ ,(当且仅当 时取等号) ∴ , 的最大值为 4. 方法三:∵ , , ∴ (当且仅当 时取等号) ∴ , 的最大值为 4. 【总结升华】 1. 两个正数的和为定值时,它们的积有最大值,即若 ,且 , 为定值,则 ,等号当且仅当 时成立. 2. 两 个 正 数 的 积 为 定 值 时 , 它 们 的 和 有 最 小 值 , 即 若 , 且 , 为 定 值 , 则 ,等号当且仅当 时成立. 举一反三: 【变式 1】已知 , , ,求 的最小值. 【答案】∵ , , , ∴由 (等号当且仅当 时成立) 故当 时, 的最小值为 6. 【变式 2】已知 , , ,求 的最大值. 【答案】 , 0a b > 4ab = 2 4a b ab+ ≥ = 4a b+ ≥ 2a b= = 2a b= = a b+ , 0a b > 4ab = 4 42 4a b a aa a + = + ≥ ⋅ = 4a b+ ≥ 2a b= = 2a b= = a b+ , 0a b > 4 2a b ab= + ≥ 4 ab≥ 2a b= = 2a b= = ab , 0a b > 2( ) 42 a bab +≤ = 2a b= = 2a b= = ab , 0a b > 4a b+ = 2 2(4 ) 4 ( 2) 4 4ab a a a a a= − = − + = − − + ≤ 2a b= = 2a b= = ab ,a b R+∈ a b M+ = M 2 4 Mab ≤ 2 Ma b= = ,a b R+∈ ab P= P 2a b P+ ≥ a b P= = 0x > 0y > 9xy = x y+ 0x > 0y > 9xy = 2 6x y xy+ ≥ = 3x y= = 3x y= = xy 0x > 0y > 8x y+ = xy10 解法一:∵ , , , ∴ (当且仅当 即 时,等号成立) 故当 时, 的最大值为 16. 解法二:∵ , , , 即 ,可得 ,(当且仅当 时,等号成立) 故当 时, 的最大值为 16. 类型四:利用基本不等式解应用题 例 7. 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为 、 (单位: )的矩形.上部是 等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为 . 问 、 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 【解析】由题意可得 , ∴ . 于是,框架用料长度为 . 当 ,即 时等号成立. 此时, , . 故当 约为 2.343 m, 约为 2.828 m 时用料最省. 【总结升华】 用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行: (1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数; (2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题; (3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值; (4)正确写出答案. 举一反三: 0x > 0y > 8x y+ = 28(8 ) ( ) 162 x xxy x x + −= − ≤ = 8x x= − 4x = 4x = xy 0x > 0y > 8 2x y xy= + ≥ 8 42 2 x yxy +≤ = = 16xy ≤ 4x y= = 4x = xy x y m 28m x y 1 82 2 xx y x⋅ + ⋅ = 2 8 84 (0 4 2)4 x xy xx x − = = − < < 22 2 2 2l x y x= + + × 3 16 3( 2) 2 16( 2) 4 6 4 22 2x x = + + ≥ + = + 3 16( 2)2 x x + = 4 8 4 2 3 22 x = = − + 2.343x ≈ 2 2 2.828y = ≈ x y11 【变式 1】如图所示,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周,一面可利用原有的墙,其他各面用 钢筋网围成. (1)现有可围 36 m 长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大? (2)若使每间虎笼面积为 24 m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小? 【解析】  (1)设每间虎笼长为 x m,宽为 y m,则由条件知 4x+6y=36,即 2x+3y=18.设每间虎笼面积为 S,则 S=xy. 由于 , ∴ ,得 , 即 ,当且仅当 2x=3y 时等号成立. 由 ,解得 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时,可使每间虎笼面积最大. (2)由条件知 S=xy=24.设钢筋网总长为 l,则 l=4x+6y. ∵ , ∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48, 当且仅当 2x=3y 时等号成立. 由 ,解得 . 故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时,可使钢筋网总长最小. 【变式 2】(2014 湖北)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量 F(单位时间内经过测 量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶,单位:米/秒)、平均车长 (单 位:米)的值有关,其公式为 F= . (Ⅰ)如果不限定车型, =6.05,则最大车流量为  辆/小时; (Ⅱ)如果限定车型, =5,则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加  辆/小时. 【答案】(Ⅰ)F= , ∵v+ ≥2 =22,当 v=11 时取最小值, ∴ , 故最大车流量为:1900 辆/小时; 2 3 2 2 3 2 6x y x y xy+ ≥ ⋅ = 2 6 18xy ≤ 27 2xy ≤ 27 2S ≤ 2 3 18 2 3 x y x y + =  = 4.5 3 x y =  = 2 3 2 2 3 2 6 24x y x y xy+ ≥ ⋅ = = 2 3 24 x y xy =  = 6 4 x y =  = l lvv v 2018 76000 2 ++ l l 18121 76000 2018 76000 2 ++ =++ vvlvv v v 121 121 1900 18121 76000F ≤ ++ = vv12 (Ⅱ)F= = = , ∵v+ ≥2 =20, ∴F≤2000, 2000-1900=100(辆/小时) 故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 100 辆/小时. lvv v 2018 76000 2 ++ 10018 76000 2 ++ vv v 18100 76000 ++ vv v 100 10013 【巩固练习】 一、选择题 1. 下列结论正确的是(  ) A.当 x>0 且 x≠1 时, B.当 x>0 时, C.当 x≥2 时, 的最小值为 2 D.当 00,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的 a,b 恒成立的个数为(  ) ①ab≤1;② ;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤ . A.1            B.2 C.3 D.4 3. 若 log4(3a+4b)=log2 ,则 a+b 的最小值是(  ) A.6+2 B. 7+2 C. 6+4 D. 7+4 4.若-4+− bb axb ay= b zxb ay +−= 522 =ba + 0522 =−+ ba16 则 a2+b2 的最小值为 . 故选:B. 7.【答案】 3 【解析】 由 为定值知 . ∴当且仅当 时 xy 有最大值 3. 8.【答案】 【解析】设 x+2=s,y+1=t,则 s+t=x+y+3=4, 。 因为 所以 。 故答案为 。 9. 【答案】 【解析】 ,当且仅当 时取等号. 10. 答案: 【解析】  又 4 5 52 2 =      − 13 4 x y+ = 2 3 412 12 33 4 2 x y x yxy  +  = ⋅ ⋅ ≤ =      3 4 x y= 1 4 2 2 2 2( 2) ( 1) 4 1( 4 ) ( 2 )2 1 4 1 4 1( ) ( ) 6 ( ) 2 x y s t s tx y s t s t s t s t s t − −+ = + = − + + − ++ + = + + + − = + − 4 1 1 4 1 1 4 9( )( ) ( 4)4 4 4 t ss ts t s t s t + = + + = + + ≥ 2 2 1 2 1 4 x y x y + ≥+ + 1 4 1 16 21 1 4 144 4 2 16 x yxy x y + = ⋅ ≤ =   14 2x y= = 1 5a ≥ 2 1 13 1 3 xa x x x x ≥ =+ + + + 1 2x x + ≥17 ∴ ∴ 11. 【答案】2500 m2 【 解 析 】 设 所 围 场 地 的 长 为 x , 则 宽 为 , 其 中 0 1 11 1 2 1 11 1x xx x + = + + − ≥ − =+ + 11 1x x + = + 0x = 1 1a b c b c a a a a + += = + + 1 1a b c a c b b b b + += = + + 1 1a b c a b c c c c + += = + + 1 1 1 1 1 1 3b c a c a b b a c b a c a b c a a b b c c a b b c c a + + = + + + + + + + + = + + + + + + 3 2 2 2b a c b a c a b b c c a ≥ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 1 1 9a b c + + ≥ 1 4 1 4 5 2 5 2 5 9( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 a b b a b a a b a b a b a b ++ = + ⋅ = + + ≥ + ⋅ = + = min 1 4 9( ) 2a b + = 2 4,3 3a b= = 1 4 | 2 1| | 1|x xa b + ≥ − − + , (0, )a b∀ ∈ +∞ 19| 2 1| | 1| 92 2 1 1 2 x x x x x ≤ −− − + ≤ ⇔ − + + + ≤ 11 2 92 1 1 2 x x x − < ≤ − + − − ≤ 1 2 92 1 1 2 x x x  >  − − − ≤18 或 或 , ,∴ 。 15. 【解析】 (1)每次购买原材料后,当天用掉的 400 千克原材料不需要保管费,第二天用掉的 400 千克原材料需保 管 1 天,第三天用掉的 400 千克原材料需保管 2 天,第四天用掉的 400 千克原材料需保管 3 天,…,第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克原材料需保管(x-1)天. ∴每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用为 y1=400×0.03×[1+2+3+…+(x-1)]=(6x2-6x)(元). (2)由(1)可知,购买一次原材料的总费用为 6x2-6x+600+1.5×400x 元, ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 . ∴ , 当且仅当 ,即 x=10 时,取等号. ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最小,为 714 元. 5 12 x⇔ − ≤ ≤ − 11 2x− < ≤ 1 13 2 2x< ≤ 5 13 2 2x⇔ − ≤ ≤ 5 13[ , ]2 2x∈ − 21 600(6 6 600) 1.5 400 6 594y x x xx x = − + + × = + + 6002 6 594 714y xx ≥ ⋅ + = 600 6xx =

资料: 584

进入主页

人气:

10000+的老师在这里下载备课资料