知识讲解_不等关系_提高

1 不等关系 【学习目标】 1. 了解不等式（组）的实际背景，会用不等式表示不等关系； 2. 了解实数运算的性质与大小顺序之间的关系，学会比较两实数的大小的方法； 3．掌握不等式的基本性质，并能运用这些性质解决有关问题. 【要点梳理】 要点一：符号法则与两实数大小的比较 1. 实数的符号： 任意 ，则 （ 为正数）、 或 （ 为负数）三种情况有且只有一种成立. 2. 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ① 两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言： ； ② 两个同号实数相乘，积是正数 符号语言： ； ③ 两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④ 任何实数的平方为非负数，0 的平方为 0 符号语言： ， . 3. 实数的运算性质与大小顺序之间的关系 要确定任意两个实数的大小关系，只需确定它们的差与 0 的大小关系即可： 对任意两个实数 、 ： ① ； ② ； ③ . 要点诠释：等价符号的左边反映的是实数的运算性质，右边反映的是实数的大小顺序，它是不等 式这一章的理论的基础，是不等式性质的证明，也是解不等式的重要依据. 要点二：不等关系 在现实世界和日常生活中，既有相等关系，又存在着大量的不等关系. 在数学意义上，不等关系 可以体现. 常量与常量之间的不等关系. 例如：“神舟五号”的质量大于“东方红一号”的质量； 变量与变量之间的不等关系. 例如：身高不足 的儿童可免费乘坐公交车； 函数与函数直接的不等关系. 例如：当 时，销售收入 大于销售成本 ； 一组变量之间的不等关系. 例如：购置软件的费用 与购置磁盘的费用 之和不超过 元. x∈R 0x > x 0x = 0x < x 0, 0 0a b a b> > ⇒ + > 0, 0 0a b a b< < ⇒ + < 0, 0 0a b ab> > ⇒ > 0, 0 0a b ab< < ⇒ > 0, 0 0a b ab> < ⇒ < 2 0x R x∈ ⇒ ≥ 20 0x x= ⇔ = a b 0a b a b− > ⇔ > 0a b a b− < ⇔ < 0a b a b− = ⇔ = 1.2m x a> ( )f x ( )g x 60x 70y 5002 常见文字语言与符号语言之间的转换 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少， 不低于 小于等于，至少， 不多于，不超过 符号语言 ＞ ＜ ≥ ≤ 要点诠释： （1）不等关系反映在日常生活中的方方面面，在数学上，常常用不等式（组）表示不等关系； （2）不等式 ＞ 或 ＜ ：表示严格的不等式； （3）不等式 ≥ 读作“ 大于或等于 ”，其含义是 ＞ 和 = 中至少有一个正确，等价于 “ 不小于 ”. 例如不等式 3≥2，2≥2 都是正确的. 同理“ ≤ ”表示 ＜ 和 = 中至少有一个正确. 要点三：不等式 1.定义 不等式：用不等号（＞，＜，≥，≤，≠）表示不等关系的式子. 2.同向与异向不等式 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式，例如 与 都是同向不等式； 异向不等式：两个不等号方向相反的不等式，例如 是同向不等式. 3.不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： (1) 对称性： ； (2) 传递性： ； (3) 加法法则（同向不等式可加性）： ； (4) 乘法法则：若 ，则 （5）除法法则：若 且 ，则 运算性质有： (1) 可加法则： ； (2) 可乘法则： ； (3) 可乘方性： ； a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ,a b c d> > ,a b c d< < ,a b c d> < a b b a> ⇔ < , a b b c a c> > ⇒ > ( )a b a c b c c> ⇔ + > + ∈R a b> 0 0 0 . c ac bc c ac bc c ac bc > ⇒ >  = ⇒ =  < ⇒ 0c ≠ 0 0 . a bc c c a bc c c  > ⇒ >  < ⇒ > ⇒ + > + 0, 0 0a b c d a c b d> > > > ⇒ ⋅ > ⋅ > ( )*0 0n na b n a b> > ∈ ⇒ > >N3 (4) 可开方性： . 要点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据. 要点四：比较两代数式大小的方法 作差法： 1. 任意两个代数式 、 ，可以作差 后比较 与 0 的关系，进一步比较 与 的大小. ① ； ② ； ③ . 作商法： 任意两个值为正的代数式 、 ，可以作商 后比较 与 1 的关系，进一步比较 与 的大小. ① ； ② ； ③ . 要点诠释：若代数式 、 都为负数，也可以用作商法. 中间量法： 若两个代数式 、 不容易直接判断大小，可引入第三个量 分别与 、 作比较，若满足 且 ，则 . 第三个量就是中间量. 这种方法就是中间量法，其实质是不等式的传递性.一般选 择 0 或 1 为中间量. 利用函数的单调性比较大小 若两个式子具有相同的函数结构，可以利用相应的基本函数的单调性比较大小. 作差比较法的步骤： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化为“积”； 第三步：定号，就是确定差是大于、等于还是小于 0； 最后下结论. 要点诠释：概括为：“三步一结论”.这里“定号”是目的，“变形”是关键过程. 【典型例题】 类型一：用不等式表示不等关系 例 1.某人有楼房一幢，室内面积共 ，拟分割成大、小两类房间作为旅游客房，大房间面积 为 ，可住游客 5 人，每名游客每天住宿费 40 元；小房间每间面积为 ，可住游客 3 人，每 ( )0 1 n na b n n a b+> > ∈ > ⇒ >N 且 a b a b− a b− a b 0a b a b− > ⇔ > 0a b a b− < ⇔ < 0a b a b− = ⇔ = a b a b÷ a b a b 1a a bb > ⇔ > 1a a bb < ⇔ < 1a a bb = ⇔ = a b a b c a b a b> b c> a c> 2180m 218m 215m4 名游客每天住宿费 50 元；装修大房间每间需要 1000 元，装修小房间每间需要 600 元，如果他只能筹 款 8000 元用于装修，试写出满足上述所有不等关系的不等式. 【思路点拨】把已知条件用等式或不等式列出来（代数化），把目标用代数式表示，再研究条件 和目标的关系. 【解析】假设装修大、小客房分别为 间， 间，根据题意，应由下列不等关系： （1） 总费用不超过 8000 元 （2） 总面积不超过 ； （3） 大、小客房的房间数都为非负数且为正整数. 即有： 即 此即为所求满足题意的不等式组 【总结升华】求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相 应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的 取值范围. 举一反三： 【变式】某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种.按照生产的要求，600mm 的数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍.怎样写出满足所有上述不等关系的不等式呢？ 【答案】假设截得 500 mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根.根据题意，应有如下的不等关系： （1）截得两种钢管的总长度不超过 4000mm ; （2）截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的 3 倍； （3）截得两种钢管的数量都不能为负. 要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示： 类型二：不等式性质的应用 例 2．已知 ，求 ， 的取值范围． 【解析】　因为 ，所以 ， . 两式相加，得 . 500 600 4000; 3 ; 0; 0. x y x y x y + ≤  ≥ ≥  ≥ x y 2180m * * 180 0 ( 0 ( 1000 600 8000 18 15 ) ) x x N y y N x y x y ≤ ≥ ∈ ≥ ∈ + ≤  +   * * 60 0 ( 0 ( 5 3 40 6 5 ) ) x x N y y N x y x y ≤ ≥ ∈ ≥ ∈ + ≤  +   2 2 π πα β− ≤ < ≤ 2 α β+ 2 α β− 2 2 π πα β− ≤ < ≤ 4 2 4 π α π− ≤ < 4 2 4 π β π− < ≤ 2 2 2 π α β π+− < 0，所以 . （３）正确 因为 ，所以 ， 又 ，所以 ， 综上， . （４）正确 两个负实数，绝对值大的反而小． （５）正确 因为 ，所以 ，所以 ，从而 . 又因 ，所以 ． 4 2 m n m n + =  − = 3 1 m n =  = a b c， ， a b> ac bc< 2 2ac bc> a b> 0a b< < 2 2a ab b> > 0a b< < a b> a b> 1 a 1 b 0 0a b> c 2c a b> 0 a b a 1 1 a b a b > > 0 1 1 0 a b a b − > − > 0 0 b a b a ab −  0ab < a b> 0 0a b> b>0,c， 1 1 1 1 - | | | |a b a a b > >， 2 21 1 1 1( ) ( )a ba b a b a > + > +− ， 2 21 1 1 1( ) ( )| | | | a ba b b a > + > +， 0,a b< < ∴ 2 1a b= − = −， 0a b c d − > 0a b c d − < a b d c > a b d c < 0, 0, 0, , c d c d a b ac bd ac bd cd cd a b d c < < ∴− > − > > > ∴− > − ∴− > − ∴ <   S u v 0u v> > 2 2 2S S uSt u v u v u v = + =+ − − 2 22S u vu t u −= =8 ∵ ， ∴ . 因此，船在流水中来回行驶一次的平均速度与船在静水中的速度不相等，平均速度小于船在静水中 的速度. 【总结升华】 恰当的设出变量，利用了作差法比较大小，注意符号的判断方法. 举一反三： 【变式】甲乙两车从 地沿同一路线到达 地，甲车一半时间的速度为 ，另一半时间的速度为 ；乙车用速度为 行走一半路程，用速度 行走另一半路程，若 ，试判断哪辆车先到达 地. 【答案】甲车先到达 地； 【解析】设从 到 的路程为 ，甲车用的时间为 ，乙车用的时间为 ，则 ， ∴ . ，  . 所以，甲车先到达 地. 类型三：作差比较大小 【高清课堂：不等关系与不等式 387156 题型一 比较大小】 例 5. 已知 是实数，试比较 与 的大小． 【思路点拨】此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负(注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在这里无关紧要). 根 据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小. 比较两个代数式大小的问题转化为实数运算符号问 题. 【解析】∵ = ， 当且仅当 a＝b＝c 时取等号． ∴ ≥ . 【总结升华】用作差法比较两个实数（代数式）的大小，其具体解题步骤可归纳为： 第一步：作差并化简，其目标应是 个因式之积或完全平方式或常数的形式； 第二步：判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论； 第三步：得出结论. 举一反三： 【变式 1】在以下各题的横线处适当的不等号： (1) ； 2 2 2 0u v vu u uu u −− = − = − < u u< A B a b a a a b≠ B B A B S 1t 2t 1 1 2 2 t ta b S+ = 1 2 2 1 1, ( )2 2 2 S S S St ta b a b a b = = + = ++ 2 2 1 2 2 1 1 2 ( ) 4 ( ) ( ) 02 2 2 ( ) 2 ( ) S S S a b S abS a b S a b St t a b a b a b ab ab a b ab a b  = = = = − > 1 2 log a 1 2 log b ( 5)( 9)x x+ + 2( 7)x + 2 22 2 2a b ab+ − 2 2 3a b+ − 2( 5)( 9) ( 7)x x x+ + < + 2 2(2 2 2 ) (2 2 3)a b ab a b+ − − + − 2 2 2 2( 2 1) ( 2 1) ( 2 ) 1a a b b a ab b= − + + − + + − + + 2 2 2( 1) ( 1) ( ) 1 1 0a b a b= − + − + − + ≥ > 2 22 2 2 2 2 3a b ab a b+ − > + − a b> 0ab ≠ 1 a 1 b 1 1 b a a b ab −− = a b> 0b a− < 0ab > 0b a ab − < 1 1 a b 1 1 a b > 0, 0a b a b> > ≠且 2 2a b a bb a + +与 2 2 ( )a b a bb a + − +（ ） 3 3 2 2 2 ( ) 2( )( ) ( )( ) 0 a b a bab a ab ba b ab a b a b ab += − + − += + + −= > 2 2 .a b a bb a + > + a b +∈R a b≠ a b b aa b a b与 a b +∈R 0a ba b > 0b aa b > ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b a b a b a b b a a b a b a a a a b b a b b b − −= = = 0a b> > 1a b > 0a b− > ( ) 1a ba b − > a b b aa b a b> 0b a> > 0 1a b < < 0a b− < ( ) 1a ba b − > a b b aa b a b> a b b aa b a b> → → → a b c、 、 2 2 2 .a b c b c c a a ba b c a b c+ + +> a b c、 、 0,a b c> > > 2 2 2 0a b ca b c > 0b c c a a ba b c+ + + > 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b c a b a c b c b a c a c b a b b c c a b c c a a b a b c a b ca b ca b c b c a − + − − + − − + − − − − + + + = =11 ∴ 由指数函数的性质可知： . ，即 . 0a b c> > > 1, 0; 1, 0;0 1, - 0a b ca b b c c ab c a > − > > − > < < < ( ) 1,( ) 1,( ) 1a b b c c aa b c b c a − − −> > > 2 2 2 1 a b c b c c a a b a b c a b c+ + +∴ > 2 2 2a b c b c c a a ba b c a b c+ + +>12 【巩固练习】 一、选择题 1．设 ，若 ＞0，则下列不等式中正确的是(　　) A． B． C． D． 2.（2016 绍兴二模）若 a、b 是任意实数，且 a＞b，则下列不等式成立的是（ ） A．a2＞b2 B． C．lg(a－b)＞0 D． 3．已知 ，则下面推理中正确的是( ) A． B． C． D． 4．（2015 河南一模）已知 ,则（ ） A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 5．已知 ，则有（ ） A． B． C． D． 6．已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其 0＜f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，则(　　) A．c≤3 B． 3＜c≤6 C． 6＜c≤9 D． c＞9 二、填空题 7．下列命题中的真命题为 （１）若 ， 则 ac2>bc2； （２）若 ，则 < ； （３）若 ，则 > ； （４）若 ，则 ； （５）若 ，则 ＞ ． 8．（2016 春·盐城校级月考）设 ，则 a，b，c 由小到大的顺 序为______ ． a b R， ∈ a b－ 0b a－ ＞ 3 3 0a b＋ ＜ 2 2 0a b－ ＜ 0b a＋ ＞ 1b a < 1 1( ) ( )3 3 a b< a b c R， ， ∈ 2 2a b am bm> ⇒ > a b c c > ⇒ a b> 3 3 0a b ab> >， ⇒ 1 1 a b < 2 2 0a b ab> >， ⇒ 1 1 a b < 1 2 1log 1, 1,2 32 b ca  > > =   0 1x y a< < < < log ( ) 0a xy < 0 log ( ) 1a xy< < 1 log ( ) 2a xy< < log ( ) 2a xy > a b> 0a b< < 1 a 1 b 0a b< < b a a b 0a b< < 1b a < 0c a b> > > a c a− b c b− tan2 12 2(sin ) , 2 , log (cos )12 12a b c ππ π= = =13 9 ． 已 知 ， ， ， ， 则 的 大 小 顺 序 是 ． 10．．设 ， ， ，则 ， ， ， 由小到大的排列顺序是 ． 三、解答题 11. 如图， 反映了某公司产品的销售收入 万元与销售量 x 吨的函数关系， 反映了该 公司产品的销售成本与销售量的函数关系，试问： (1)当销售量为多少时，该公司赢利(收入大于成本)? (2)当销售量为多少时，该公司亏损(收入小于成本)? 12．已知 ，且 ， ，比较 和 的大小. 13．设 且 ，比较 1+logx3 与 2logx2 的大小. 14.已知 ，试比较 的大小. 15. 甲、乙两位采购员同去一家销售公司买了两次粮食，且两次粮食的价格不同，两位采购员的购粮 方式也不同．其中，甲每次购粮 1 000 kg，乙每次购粮用去 1 000 元钱，谁的购粮方式更合算？ 16、已知 ，求 的取值范围. 【答案与解析】 1．【答案】　D 【解析】　a－|b|＞0 即－a＜b＜a∴ ∴D 正确． 对于 A：由 a－b＞0 则 b－a＜0∴A 错． 对于 B：a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)[(a－ b)2＋ b2]＞0∴B 错． 对于 C：a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0∴C 错． 2．【答案】D 【解析】由题意 a、b 是任意实数，且 a＞b， 由于 0＞a＞b 时，有 a2＜b2 成立，故 A 不对； 由于当 a=0 时， 无意义，故 B 不对； 由于 0＜a－b＜1 是存在的，故 lg(a－b)＞0 不一定成立，所以 C 不对； 由于函数 是一个减函数，当 a＞b 时一定有 成立，故 D 正确。 2a x a< < 2logaM x= log (log )a aN x= 2(log )aP x= M N P、 、 0a b> > 0m > 0n > b a a b b m a m + + a n b n + + ( )y f x＝ y ( )y g x＝ 0a > 1a ≠ 0m n> > 1m mA a a = + 1n nB a a = + 0x > 1x ≠ , , ,a b c a b cR 且+∈ ≠ ≠ ( ) ( ) ( ) 6ab a b bc b c ac a c abc与+ + + + + 1 5, 1 3a b a b≤ + ≤ − ≤ − ≤ 3 2a b− 0 0 a b a b + >  − > 1b a < 1( )3 xy = 1 1( ) ( )3 3 a b0. 　　 ∵a2+ab+b2>0 恒成立，故 a-b>0. 　　 ∴a>b，又∵ab>0，∴ < 　 (D)中 a2>b2 (a+b)(a-b)>0，不能说明 a>b，故本题应选(C). 4．【答案】B 【解析】 故选 B。 5．【答案】D 【解析】∵0＜x＜y＜a＜1，∴0＜xy＜1，故 loga(xy)＞0，排除 A， 又 xy＜y＜a，故 loga(xy)＞logaa＝1，排除 B， ∵loga(xy)＝logax＋logay＞logaa＋logaa＝1＋1＝2，故选 D. 6．【答案】C 【解析】由 f(－1)＝f(－2)＝f(－3)得 ，解得 ， f(x)＝x3＋6x2＋11x＋c， 由 0＜f(－1)≤3，得 0＜－1＋6－11＋≤3， 即 6＜c≤9， 故选 C． 7．【答案】（4）（5）【解析】 （１）∵c2≥0，当 c=0 时 ac2=bc2=0，故原命题为假命题. （２）举特例-2 ∴ < ∴ ∴ > c a b∴ > >    +−+−=+−+− +−+−=+−+− cbacba cbacba 39271 2481    = = 11 6 b a 1 215 （３）由于 ab>0，∴ ，∴c-b>c-a>0，∴ ＞ ＞0， 又∵a>b>0 ，∴ ＞ ，故原命题为真命题． 8．【答案】c＜a＜b 【解析】∵ ，∴ ，即 c＜0； ∵ ，∴ ，即 0＜a＜1； ∵ ，∴ ，即 b＞1。 故 c＜a＜b。 9．【答案】 【解析】 ， ， ， ， ， 10．【答案】 【解析】特殊值法：对 a、b、m、n 分别取特殊值， 比如：a=4，b=3，m=2，n=1，代入比较即得 . 11.【解析】　 (1)销售量大于 a 吨，即 x＞a 时，公司赢利， 即 f(x)＞g(x)． (2)当销售量小于 a 吨，即 0≤x＜a 时，公司亏损， 即 f(x)＜g(x) 12．【解析】 ， 0 1 1 a b a b − > − > > 0 1 1 0 a b b a − > − >− > − > a b b a > | | | | b a b a a b c a − < −  > 1 c a− 1 c b− a c a− b c b− 0 cos 112 π< < log 2(cos ) 012 π < 0 sin 112 π< < 20 (sin ) 112 π< < tan 012 π > tan122 1 π > M P N> >  2a x a< < 2a a∴ < 0 a 1∴ < < 20 a x a 1∴ < < < < loga1 x > b b m a n a a a m b n b + +< < 16 当 时， ， ， ， 即 . 当 时， ， ， 即 综上 13．【解析】作差： (1) 当 ， 即 0 m>n>0 m na a∴ >  m n 0a a 1+ > = A B 0∴ − > A B> 0 a 1< <  m na a< m n 0a a 1+ < = A B 0∴ − > A B> .A B> (1 log 3) 2log 2x x + − 3log 3 log 4 log 4x x x xx= − = 0 1 30 14 x x < 0 1 ,3 14 x xx <  1 413 30 14 x x x 即 > < ≤ < ≤ 3log 04x x ≤ 1 log 3 2log 2x x + ≤ 4 3x = 1 3 14 x x > > 4 3x > 3log 04x x > 1 log 3 2log 2x x + > 4 3 4 3 4 3 ( ) ( ) ( ) 6ab a b bc b c ac a c abc+ + + + + − 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) a b ab b c bc a c ac abc a b bc abc ab ac abc b c a c abc b a c ac a b c bc c b a ab b a c a b c c b a = + + + + + − = + − + + − + + − = + − + + − + + − = − + − + − , , ,a b c R a b c且+∈ ≠ ≠ ( ) ( ) ( ) 6ab a b bc b c ac a c abc+ + + + + > 1000 2 1000 2 a b a b+ +=×17 乙采购员两次购粮的平均单价为 元/kg. ∵ ， 又 a＋b＞0，a≠b，(a－b)2＞0， ∴ 0，即 . 所以乙采购员的购粮方式更合算． 16.【解析】令 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 2 1000 2 1000 1000 ab a b a b × = ++ 2 22 4 2 2 2 a b ab a b ab a b a b a b a b + + − −− = =+ + + 2 02 a b a b − >+ 2 2 a b ab a b + > + , , ,2 2 u v u vu a b v a b a b解得 + −= + = − = = 1 53 2 3 22 2 2 2 u v u va b u v + −− = ⋅ − ⋅ = + 1 5, 1 3,u v≤ ≤ − ≤ ≤ 1 1 5 5 5 15,2 2 2 2 2 2u v≤ ≤ − ≤ ≤ 1 52 10,2 2u v− ≤ + ≤ 2 3 2 10a b− ≤ − ≤